雙曲正弦

雙曲正弦一般計為${\displaystyle \sinh }$ ^[3]（有時會簡寫為${\displaystyle \operatorname {sh} }$ ^[4]），其在複變分析中定義為:^[5]

${\displaystyle \sinh :z\mapsto {\frac {\mathrm {e} ^{z}-\mathrm {e} ^{-z}}{2}}}$

其中${\displaystyle z\mapsto \mathrm {e} ^{z}}$ 是複變指數函數（日语：複素指数函数）。

也就是說，雙曲正弦等同於指數函數與其倒數之差的一半^[6]。雙曲正弦也可以視為自然指數函數的奇函數部分（英语：Even–odd decomposition#Even–odd decomposition）^[7]

在雙曲幾何中，雙曲正弦函數類似於歐幾里得幾何中的正弦函數。^[8]

• 雙曲正弦在實數中是一個連續函數，在複數中是一個全純函數，因此在整個複數域中雙曲正弦處處可微，其導函數為雙曲餘弦函數。^[9]
• 雙曲正弦是一個奇函數。^[10]
• 在實數域中，雙曲正弦是一個嚴格遞增函數。其中在區間${\displaystyle \left[-\infty ,0\right]}$ 上是凹函數、在區間${\displaystyle \left[0,+\infty \right]}$ 上是凸函數。^[9]

根據雙曲正弦與雙曲餘弦的指數定義，可以推得：^[8][11]

${\displaystyle \mathrm {e} ^{z}=\cosh z+\sinh z}$

${\displaystyle \mathrm {e} ^{-z}=\cosh z-\sinh z}$

其與經典的歐拉公式類似。

當${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ 時，有以下恆等式:^[8][12]

${\displaystyle \sinh(\mathrm {i} x)={\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}-\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} x}}{2}}=\mathrm {i} \sin(x)}$

${\displaystyle \sinh(x)=-\mathrm {i} \sin(\mathrm {i} x)}$ ^[8]

${\displaystyle \sinh(x+y)=\sinh(x)\cosh(y)+\cosh(x)\sinh(y)}$

${\displaystyle \sinh x=2\sinh \left({\frac {x}{2}}\right)\cosh \left({\frac {x}{2}}\right)}$

${\displaystyle \sinh x=x\prod _{n=1}^{\infty }{\cosh \left(x/2^{n}\right)}}$

${\displaystyle \sinh ^{2}\left({\frac {x}{2}}\right)={\frac {\cosh(x)-1}{2}}}$

雙曲正弦存在一些特殊值^[5]：

• ${\displaystyle \sinh(0)=0}$
• ${\displaystyle \sinh(1)={\frac {\mathrm {e} ^{2}-1}{2\mathrm {e} }}}$
• ${\displaystyle \sinh(\mathrm {i} )=\mathrm {i} \sin(1)}$
• ${\displaystyle \sinh(\ln \varphi )={\frac {1}{2}}}$

其中${\displaystyle \varphi }$ 為黃金比例

• 正弦