區間(英語:interval)在數學上是指某個範圍的數的集合,或者更一般地是指某个范围的预序集元素的集合,一般以集合形式表示。
在圖中的數軸上,所有大于x和小于x+a的数组成了一个开区间。
簡說
定义
实区间
在赋予通常序的实数集
里,以
为端点的开区间和闭区间分别是:
类似地,以
为端点的两个半开区间定义为:
在一些上下文中,两个端点要求满足
。这排除了
从而区间或是单元素集合或是空集的情形,也排除了
从而区间为空集的情形。
只有左端点
的开区间和半开区间分别如下。
只有右端点
的开区间和半开区间分别如下。
整个实数线等于没有端点的区间:
偏序集或预序集中的区间
区间的概念在任何偏序集或者更一般地,在任何预序集中有定义。对于预序集
和两个元素
,我们可以类似定义[2]:11, Definition 11
其中
意思是
。其实,只有一个端点或者没有端点的区间等同于更大的预序集
上具有两个端点的区间,使得它是
的子集。当
时,可以取
为扩展实数线。
序凸集和序凸分支
预序集
的子集
是序凸集,如果对于任意
以及任意
有
。与实区间的情形不同,预序集的序凸集不一定是区间。例如,在有理数的全序集
中,
是序凸集,但它不是
的区间,这是因为2的平方根在
中是不存在的。
设
是一个预序集,且
。包含在
中的
的序凸集关于包含关系构成偏序集。这个偏序集的极大元叫做
的序凸分支。[3]:Definition 5.1由佐恩引理,包含在
中的
的任意序凸集包含于
的一个序凸分支,然而这种序凸分支不一定是唯一的。在全序集中,这样的序凸分支确实唯一。也就是说,全序集的子集的序凸分支构成分划。
區間算術
區間算術又稱區間數學、區間分析、區間計算,在1950、60年代引進以作數值分析上計算捨去誤差的工具。
屬於
的某些
,及屬於
的某些
,使得
區間算術的基本運算是,對於實數線上的子集
及
:
被一個包含零的區間除,在基礎區間算術上無定義。
加法和乘法符合交換律、結合律和子分配律:集
是
的子集。
另一種寫法
在法国及其他一些欧洲国家,用
代替
來表示开区间,例如:
國際標準化組織編制的ISO 31-11也允許這種寫法[4]。
另外,在小數點以逗號來表示的情況下,為免產生混淆,分隔兩數的逗號要用分號來代替,例如將
寫成
。若只把小數點寫成逗號,就會變成
,此時不易判斷究竟是
與
之間,還是
與
之間的閉區間。
參考