分类
词源
性质
误差函数是奇函数:
-
对于任何 复数 z:
-
其中 表示 z的 复共轭。
复平面上,函数 ƒ = exp(−z2) 和 ƒ = erf(z) 如图所示。粗绿线表示 Im(ƒ) = 0,粗红线表示 Im(ƒ) < 0, 粗蓝线为 Im(ƒ) > 0。细绿线表示 Im(ƒ) = constant,细红线表示 Re(ƒ) = constant<0,细蓝线表示 Re(ƒ) = constant>0。
在实轴上, z → ∞时,erf(z) 趋于1,z → −∞时,erf(z) 趋于−1 。在虚轴上, erf(z) 趋于 ±i∞。
泰勒级数
误差函数是整函数,没有奇点(无穷远处除外),泰勒展开收敛。
误差函数泰勒级数:
-
对每个复数 z均成立。上式可以用迭代形式表示:
-
误差函数的导数:
-
误差函数的 不定积分为:
-
逆函数
逆误差函数 可由 麦克劳林级数表示:
-
其中, c0 = 1 ,
-
即:
-
逆互补误差函数定义为:
-
渐近展开
互补误差函数的渐近展开,
-
其中 (2n – 1)!! 为 双阶乘,x为实数,该级数对有限 x发散。对于 ,有
-
其中余项用以 大O符号表示为
- as .
余项的精确形式为:
-
对于比较大的 x, 只需渐近展开中开始的几项就可以得到 erfc(x)很好的近似值。
连分式展开
互补误差函数的连分式展开形式:[3]
-
初等函数近似表达式
- (最大误差: 5·10−4)
其中, a1 = 0.278393, a2 = 0.230389, a3 = 0.000972, a4 = 0.078108
- (最大误差:2.5·10−5)
其中, p = 0.47047, a1 = 0.3480242, a2 = −0.0958798, a3 = 0.7478556
- (最大误差: 3·10−7)
其中, a1 = 0.0705230784, a2 = 0.0422820123, a3 = 0.0092705272, a4 = 0.0001520143, a5 = 0.0002765672, a6 = 0.0000430638
- (最大误差: 1.5·10−7)
其中, p = 0.3275911, a1 = 0.254829592, a2 = −0.284496736, a3 = 1.421413741, a4 = −1.453152027, a5 = 1.061405429
以上所有近似式适用范围是: x ≥ 0. 对于负的 x, 误差函数是奇函数这一性质得到误差函数的值, erf(x) = −erf(−x).
另有近似式:
-
其中,
-
该近似式在0或无穷的邻域非常准确,x整个定义域上,近似式最大误差小于0.00035,取 a ≈ 0.147 ,最大误差可减小到0.00012。[4]
逆误差函数近似式:
-
数值近似
与其他函数的关系
误差函数本质上与标准正态累积分布函数 是等价的,
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可整理为如下形式:
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的逆函数为正态分位函数,即概率单位函数,
-
误差函数为标准正态分布的尾概率Q函数的关系为,
-
误差函数是米塔-列夫勒函数的特例,可以表示为合流超几何函数,
-
误差函数用正则Γ函数P和 不完全Γ函数表示为
-
为 符号函数.
广义误差函数
广义误差函数为:
-
其中,E0(x)为通过原点的直线, 。E2(x) 即为误差函数 erf(x)。
x > 0时,广义误差函数可以用Γ函数和 不完全Γ函数表示,
-
因此,误差函数可以用不完全Γ函数表示为:
-
互补误差函数的迭代积分
互补误差函数的迭代积分定义为:
-
可以展开成幂级数:
-
满足如下对称性质:
-
和
-
函数表
x | erfc(x)/2 |
---|
1 | 7.86496e−2 | 2 | 2.33887e−3 | 3 | 1.10452e−5 | 4 | 7.70863e−9 | 5 | 7.6873e−13 | 6 | 1.07599e−17 | 7 | 2.09191e−23 | 8 | 5.61215e−30 | 9 | 2.06852e−37 | 10 | 1.04424e−45 | 11 | 7.20433e−55 | 12 | 6.78131e−65 | 13 | 8.69779e−76 | 14 | 1.51861e−87 | 15 | 3.6065e−100 | 16 | 1.16424e−113 | 17 | 5.10614e−128 | 18 | 3.04118e−143 | 19 | 2.45886e−159 | 20 | 2.69793e−176 | 21 | 4.01623e−194 | 22 | 8.10953e−213 | 23 | 2.22063e−232 | 24 | 8.24491e−253 | 25 | 4.15009e−274 | 26 | 2.8316e−296 | 27 | 2.61855e−319 |
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注释
参见
参考文献
外部链接