解析几何

古希腊数学家梅内克缪斯(Menaechmus)的解题、证明方式与现在使用坐标系十分相似，以至于有时会认为他是解析几何的鼻祖。^[1] 阿波罗尼奥斯在《论切触》中解题方式在现在被称之为单维解析几何；他使用直线来求得一点与其它点之间的比例。^[2]阿波罗尼奥斯在《圆锥曲线论》中进一步发展了这种方式，这种方式与解析几何十分相似，比起笛卡儿早了1800多年。他使用了参照线、直径、切线与现今所使用坐标系没有本质区别，即从切点沿直径所量的距离为横坐标，而与切线平行、并与数轴和曲线向交的线段为纵坐标。他进一步发展了横坐标与纵坐标之间的关系，即两者等同于夸张的曲线。然而，阿波罗尼奥斯的工作接近于解析几何，但他没能完成它，因为他没有将负数纳入系统当中。在此，方程是由曲线来确定的，而曲线不是由方程得出的。坐标、变量、方程不过是一些给定几何题的脚注罢了。^[3]

十一世纪波斯帝国数学家欧玛尔·海亚姆发现了几何与代数之间的密切联系，在求三次方程使用了代数和几何，取得了巨大进步。^[4][5]但最关键的一步由笛卡儿完成。^[4]

从传统意义上讲，解析几何是由勒内·笛卡儿创立的。^[4][6][7]笛卡儿的创举被记录在《几何学》(La Geometrie)当中，在1637年与他的《方法论》一道发表。这些努力是以法语写成的，其中的哲学思想为创立无穷小演算提供了基础。最初，这些著作并没有得到认可，部分原因是由于其中论述的间断，方程的复杂所致。直到1649年，著作被翻译为拉丁语，并被冯·斯霍滕(van Schooten)恭维后，才被大众所认可接受。^[8]

费马也为解析几何的发展做出了贡献。他的《平面与立体轨迹引论》(Ad locos planos et solidos isagoge)虽然没有在生前发表，但手稿于1637年在巴黎出现，正好早于笛卡儿《方法论》一点。^[9]《引论》文字清晰，获得好评，为解析几何提供了铺垫。费马与笛卡儿方法的不同在于出发点。费马从代数公式开始，然后描述它的几何曲线，而笛卡儿从几何曲线开始，以方程的完结告终。^[8]结果，笛卡儿的方法可以处理更复杂的方程，并发展到使用高次多项式来解决问题。

在解析几何当中，平面给出了坐标系，即每个点都有对应的一对实数坐标。最常见的是笛卡儿坐标系，其中，每个点都有${\displaystyle x}$ 坐标对应水平位置，和${\displaystyle y}$ 坐标对应垂直位置。这些常写为有序对${\displaystyle (x,y)}$ 。这种系统也可以被用在三维几何当中，空间中的每个点都以多元组呈现${\displaystyle (x,y,z)}$ 。

坐标系也以其它形式出现。在平面中最常见的另类坐标系是极坐标系，其中每个点都以从原点出发的半径${\displaystyle r}$ 和角度${\displaystyle \theta }$ 表示。在三维空间中，最常见的另类坐标系统是圆柱坐标系和 球坐标系。

在解析几何当中，任何方程都包含确定面的子集，即方程的解集。例如，方程${\displaystyle y=x}$ 在平面上对应的是所有${\displaystyle x}$ 坐标等于${\displaystyle y}$ 坐标的解集。这些点汇集成为一条直线，${\displaystyle y=x}$ 被称为这道方程的直线。总而言之，线性方程中${\displaystyle x}$ 和${\displaystyle y}$ 定义线，一元二次方程定义圆锥曲线，更复杂的方程则阐述更复杂的形象。

通常，一个简单的方程对应平面上的一条曲线。但这不一定如此：方程${\displaystyle x=x}$ 对应整个平面，方程${\displaystyle x^{2}+y^{2}=0}$ 只对应${\displaystyle (0,0)}$ 一点。在三维空间中，一个方程通常对应一个曲面，而曲线常常代表两个曲面的交集，或一条参数方程。方程${\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}}$ 代表了是半径为r且圆心在${\displaystyle (0,0)}$ 上的所有圆。

在解析几何当中，距离、角度等几何概念是用公式来表达的。这些定义与背后的欧几里得几何所蕴含的主旨相符。例如，使用平面笛卡儿坐标系时，两点${\displaystyle A(x_{1},y_{1})}$ 和${\displaystyle B(x_{2},y_{2})}$ 之间的距离 ${\displaystyle d}$ (又写作${\displaystyle {\overline {AB}}}$ ，被定义为

${\displaystyle d={\overline {AB}}={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}},\!}$

上述可被认为是一种勾股定理的形式。类似地，直线与水平线所成的角可以定义为

${\displaystyle \theta =\arctan(m)\!=\arctan \left({\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}\right)}$

其中${\displaystyle m}$ 是线的斜率。

变化可以使母方程变为新方程，但保持原有的特性。例如，母方程 ${\displaystyle y={\frac {1}{x}}}$ 有水平和垂直的渐近线，处在第一和第三象限当中能够，它所有的变形都有水平和垂直的渐近线，出现在第一或第三、第二或第四象限当中。总的来说，如果${\displaystyle y=f(x)}$ ，那么它可以变为${\displaystyle y=af[b(x-k)]+h}$ 。新的变形方程，${\displaystyle a}$ 因素如果大于1，就垂直拉伸方程；如果小于1，就压缩方程。如果${\displaystyle a}$ 值为负，那么方程就反映在 ${\displaystyle x}$ -轴上。 ${\displaystyle b}$ 值如果大于1就水平压缩方程，小于1就拉伸方程。与${\displaystyle a}$ 一样，如果为负就反映在${\displaystyle y}$ -轴上。${\displaystyle k}$ 和 ${\displaystyle h}$ 值为平移，${\displaystyle h}$ 值是垂直，${\displaystyle k}$ 为水平。${\displaystyle h}$ 和 ${\displaystyle k}$ 的正值意味着方程往数轴的正方向移动，负值意味这往数轴的负方向移动。

变化可以应用到任意几何等式中，不论等式是否代表某一方程。变化可以被认为是个体处理、或是组合处理。

例如，${\displaystyle R(x,y)}$ 在 ${\displaystyle xy}$ 平面上${\displaystyle x^{2}+y^{2}-1=0}$ 指代单位圆。图像${\displaystyle R(x,y)}$ 可以被变化为：

• 将${\displaystyle x}$ 变为${\displaystyle x-h}$ ，使得图像向右移动${\displaystyle h}$ 个单位。

• 将${\displaystyle y}$ 变为${\displaystyle y-k}$ ，使得图像向上移动${\displaystyle k}$ 个单位。

• 将${\displaystyle x}$ 变为${\displaystyle {\frac {x}{b}}}$ ，使得图像以${\displaystyle b}$ 值拉伸。 (想象一下${\displaystyle x}$ 被膨胀了)

• 将${\displaystyle y}$ 变为${\displaystyle {\frac {y}{a}}}$ ，使得图像垂直拉伸。

• 将${\displaystyle x}$ 变为${\displaystyle x\cos A+y\sin A}$ ，将 ${\displaystyle y}$ 变为 ${\displaystyle -x\sin A+y\cos A}$ ，使得图像旋转 ${\displaystyle A}$ 个角度。

在基础的解析几何中，不会考虑太多的变化，例如偏移。更多信息请参阅仿射变换。

虽然本讨论仅限于${\displaystyle xy}$ 平面上，但它可以很容易地衍生为更高维的空间中。两个几何对象${\displaystyle P}$ 和${\displaystyle Q}$ 指代${\displaystyle P(x,y)}$ 和${\displaystyle Q(x,y)}$ ，其交集是所有点${\displaystyle (x,y)}$ 的集合。例如，${\displaystyle P}$ 可以是半径为1的圆，圆心在${\displaystyle (0,0)}$ : ${\displaystyle P=\{(x,y)|x^{2}+y^{2}=1\}}$ , ${\displaystyle Q}$ 可以是半径为1的圆，圆心在${\displaystyle (1,0):Q=\{(x,y)|(x-1)^{2}+y^{2}=1\}}$ 。两圆的交叉点是满足方程的所有点的集合。点${\displaystyle (0,0)}$ 是否满足方程呢？将${\displaystyle (0,0)}$ 带入${\displaystyle (x,y)}$ ，${\displaystyle Q}$ 便成为${\displaystyle (0-1)^{2}+0^{2}=1}$ 或${\displaystyle (-1)^{2}=1}$ ，结论为真，因此${\displaystyle (0,0)}$ 在${\displaystyle Q}$ 上。换句话来说，接着将${\displaystyle (0,0)}$ 带入${\displaystyle (x,y)}$ ，方程 ${\displaystyle P}$ 成为 ${\displaystyle 0^{2}+0^{2}=1}$ 或 ${\displaystyle 0=1}$ ，结论为假。${\displaystyle (0,0)}$ 不在 ${\displaystyle P}$ 上，因此不是它的集合。

${\displaystyle P}$ 与 ${\displaystyle Q}$ 的交集可以通过同时解方程来求得：

${\displaystyle {\begin{cases}x^{2}+y^{2}&=1\\(x-1)^{2}+y^{2}&=1\\\end{cases}}}$ 解得${\displaystyle {\begin{cases}x={\frac {1}{2}}\\y=\pm {\frac {\sqrt {3}}{2}}\\\end{cases}}}$

我们的交集有两点：

${\displaystyle \left({\frac {1}{2}},{\frac {+{\sqrt {3}}}{2}}\right)\;\;\cup \;\;\left({\frac {1}{2}},{\frac {-{\sqrt {3}}}{2}}\right)}$

就圆锥曲线而言，交集可能会出现至多4个点。

被广泛研究的一种交集是几何对象与${\displaystyle x}$ 和${\displaystyle y}$ 坐标轴的交集。

几何对象与 ${\displaystyle y}$ 轴的交集被称之为对象的 ${\displaystyle y}$ 截距。与${\displaystyle x}$ 轴的交集被称之为对象的${\displaystyle x}$ 截距。

就线 ${\displaystyle y=mx+b}$ 而言，参数${\displaystyle b}$ 定义线在何处与${\displaystyle y}$ 轴相交。据此，${\displaystyle b}$ 或${\displaystyle (0,b)}$ 点被称之为${\displaystyle y}$ 截距。

解析几何中的重要问题：

• 向量空间
• 平面的定义
• 距离问题
• 点积求两个向量的角度
• 外积求一向量垂直于两个已知向量（以及它们的空间体积）
• 交點问题

${\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0}$ . 如果${\displaystyle Bxy}$ 被考虑进去的话，就会常常用到旋转。这些问题常涉及到线性代数。

下面是美国初中数学竞赛(USMTS)中的题，可以用解析几何来解：

问题：在凸面五边形${\displaystyle ABCDE}$ 中，边长为 ${\displaystyle 1}$ , ${\displaystyle 2}$ , ${\displaystyle 3}$ , ${\displaystyle 4}$ , ${\displaystyle 5}$ ，虽然顺序不一定如此。设${\displaystyle F}$ , ${\displaystyle G}$ , ${\displaystyle H}$ , ${\displaystyle I}$ 成为 ${\displaystyle AB}$ , ${\displaystyle BC}$ , ${\displaystyle CD}$ , ${\displaystyle DE}$ 的各个中点。设 ${\displaystyle X}$ 为线段 ${\displaystyle FH}$ 的中点, ${\displaystyle Y}$ 为线段 ${\displaystyle GI}$ 的中点。线段 ${\displaystyle XY}$ 的长度为整数。求边 ${\displaystyle AE}$ 的所有可能长度。

解： 为了不失一般性，假设 ${\displaystyle A}$ , ${\displaystyle B}$ , ${\displaystyle C}$ , ${\displaystyle D}$ , ${\displaystyle E}$ 为 ${\displaystyle A=(0,0)}$ , ${\displaystyle B=(a,0)}$ , ${\displaystyle C=(b,e)}$ , ${\displaystyle D=(c,f)}$ , ${\displaystyle E=(d,g)}$ 。

应用中点公式，点 ${\displaystyle F}$ , ${\displaystyle G}$ , ${\displaystyle H}$ , ${\displaystyle I}$ , ${\displaystyle X}$ , ${\displaystyle Y}$ 位于

${\displaystyle F\left({\frac {a}{2}},0\right)}$ , ${\displaystyle G\left({\frac {a+b}{2}},{\frac {e}{2}}\right)}$ , ${\displaystyle H\left({\frac {b+c}{2}},{\frac {e+f}{2}}\right)}$ , ${\displaystyle I\left({\frac {c+d}{2}},{\frac {f+g}{2}}\right)}$ , ${\displaystyle X\left({\frac {a+b+c}{4}},{\frac {e+f}{4}}\right)}$ , ${\displaystyle Y\left({\frac {a+b+c+d}{4}},{\frac {e+f+g}{4}}\right).}$

使用距离公式，

${\displaystyle AE={\sqrt {d^{2}+g^{2}}}}$

以及

${\displaystyle XY={\sqrt {{\frac {d^{2}}{16}}+{\frac {g^{2}}{16}}}}={\frac {\sqrt {d^{2}+g^{2}}}{4}}.}$

由于 ${\displaystyle XY}$ 为整数，

${\displaystyle AE\equiv 0{\pmod {4}}}$

(见同余) 因此 ${\displaystyle AE=4}$ .

解析簇(analytic variety)定义为几个解析函数的共同解集。类似与实数与复数的代数簇。任何复流形都是一种解析簇。由于解析簇可能有奇点，但不是所有解析簇都是复数。.

解析几何总体上来说等同与实数与复数代数几何，让-皮埃尔·塞尔在他的著作《代数几何与解析几何》(Géometrie Algébrique et Géométrie Analytique)阐述了这个观点。然而，两个领域依然有其独特性，而证明方式也十分不同，代数几何也包括几何的有限特征。

• Katz, Victor J., A History of Mathematics: An Introduction (2nd Ed.), Reading: Addison Wesley Longman, 1998, ISBN 0-321-01618-1 
• Boyer, Carl B., History of Analytic Geometry, Dover Publications, ISBN 978-0486438320 
• Cajori, Florian, A History of Mathematics, AMS, ISBN 978-0821821022 
• Struik, D. J., A Source Book in Mathematics, 1200-1800, Harvard University Press, ISBN 978-0674823556 

• Boyer, Carl B. Analytic Geometry: The Discovery of Fermat and Descartes, Mathematics Teacher 37, no. 3 (1944): 99-105
• Boyer, Carl B., Johann Hudde and space coordinates 
• Bissell, C. C., Cartesian geometry: The Dutch contribution 
• Pecl, J., Newton and analytic geometry 
• Coolidge, J. L., The Beginnings of Analytic Geometry in Three Dimensions 

• Coordinate Geometry topics （页面存档备份，存于互联网档案馆） with interactive animations