在数学中,结合律(associative property)是二元运算可以有的一個性质,意指在一个包含有二个以上的可结合运算子的表示式,只要运算数的位置没有改变,其运算的順序就不会对运算出来的值有影响。亦即,重新排列表示式中的括号并不会改变其值。例如:
![{\displaystyle (5+2)+1=5+(2+1)=8}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5fa645122001a5060d3f0341534c92de1d234a4)
上式中的括号虽然重新排列了,但表示式的值依然不变。當这在任何實数的加法上都成立时,我们说「实数的加法是一个可结合的运算」。
结合律不应该和交换律相混淆。交换律会改变表示式中运算元的位置,而结合律则不会。例如:
![{\displaystyle (5+2)+1=5+(2+1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f2108c6cf13fc5428505827d9d6d268229bf87b)
是一个结合律的例子,因为其中的括號改变了(且因此运算子在运算中的順序也改变了),而运算元
、
、
则在原来的位置中。再来,
![{\displaystyle (5+2)+1=(2+5)+1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89961582a9b8e323ee301bd454860d4fca948010)
则不是一个结合律的例子,因为运算元
和
的位置互换了。
可結合的运算在数学中是很常见的,且事实上,大多数的代数结構确实会需要它们的二元运算是可结合的。不过,也有許多重要且有趣的运算是不可结合的;其中一个簡單的例子为向量積。
定義
例子
一些可結合的運算的例子如下。
- 複數和四元數的加法與乘法是可結合的。八元數的加法也是可結合的,但其乘法則是不可結合的。
- 因為線性變換是個可表示成矩陣的函數,其中的函數複合則可以用矩陣乘法來表示,立即可知矩陣乘法為可結合的。
- 若
是某個集合且
為所有從
映射至
的函數所組成的集合,則在
上的函數複合的運算是可結合的:
。
- 更一般性地,給定四個集合
、
、
和
,且
、
,則
- 和前面一樣。簡單地說,映射的複合總會是可結合的。
- 給定一個有三個元素
、
和
的集合,其運算如下:
|
| A | B | C |
---|
A | A | A | A |
---|
B | A | B | C |
---|
C | A | A | A |
---|
是可結合的。不過,此運算不是可交換的。
不可結合性
參考文獻
參見