敘述
洛必達法則可以求出特定函數趨近於某數的極限值。令
(擴展實數),兩函數
在以
為端點的開區間可微,
,並且
。
如果
或
其中一者成立,則稱欲求的極限
為未定式。
此時洛必达法则表明:
。
對於不符合上述分數形式的未定式,可以通過運算轉為分數形式,再以本法則求其值。以下列出數例:
欲求的極限 | 條件 | 轉換為分數形式的方法 |
---|
(1) | | 或 |
(2) | | |
(3) | 或
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(4) | | |
注意:不能在数列形式下直接用洛必達法則,因為對於離散變量是无法求导数的。但此时有形式类近的斯托尔兹-切萨罗定理(Stolz-Cesàro theorem)作为替代。
證明
下面仅给出
的证明。
设两函數
及
在a 點附近连续可导,
及
都在 a 點連續,且其值皆為 0 ,
为了叙述方便,假设两函数在 a 点附近都不为0。另一方面,两函数的导数比值在 a 点存在,记为
由極限的定义,对任何一个
(試想像y軸),都存在
(試想像x軸),使得对任意的
,都有:
而根据柯西中值定理(逆定理),对任意的
,都存在一个介于
和
之间的数
,使得:
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于是, | |
因此,
- 极限
例子
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参阅
参考文献