在数学中,椭圆是平面上到两个相異固定点的距离之和为常数的点之轨迹。
椭圆和它的某些数学性质根據該定義,可以用手繪橢圓:先準備一條線,將這條線的兩端各綁在固定的點上(這兩個點就當作是橢圓的兩個焦點,且距離小於線長);取一支筆,用筆尖将線繃緊,這時候兩個點和筆就形成一個三角形(的兩邊);然後左右移動筆尖拉住線開始作圖,持續地使線繃緊,最後就可以完成一個橢圓圖形。
由於兩個固定點之間的距離也是一定的,所以可以省去綁在點上這一步驟而改將線綁成環狀,然後以筆尖和這兩個焦點將線繃直即可。下同。
概述
离心率
方程
在正規位置上的橢圓的參數方程。參數 t 是藍線對於 X-軸的角度。中心位于点
的主轴平行于 x 轴的椭圆由如下方程指定
这个椭圆可以参数化表达为
这里的
可以限制于区间
。
如果
且
(就是说,如果中心是原点(0,0)),则
这个参数方程揭示了两个方向相互垂直的简谐运动(表现为具有周期性的简谐波)合成了闭合的椭圆形周期性运动(表现为轨迹是椭圆)。
椭圆方程 | | |
图像 | | |
范围 | | |
相對於中心的極坐標形式
用极坐标可表达为
这里的
是椭圆的离心率;
是
与
的夹角
相對於焦點的極坐標形式
橢圓的極坐標,原點在 F1 有一个焦点在原点的椭圆的极坐标方程是
这里的
是
与
的夹角
半正焦弦和极坐标
椭圆的半正焦弦(通常指示为
),是从椭圆的一个焦点到椭圆自身,沿着垂直主轴的直线测量的距离。它有关于
和
(椭圆的半轴),通过公式
或者如果使用离心率的话
。
椭圆,使用半正焦弦展示
在极坐标中,一个焦点在原点而另一个焦点在负 x 轴上的椭圆给出自方程
椭圆可以被看作是圆的投影:在与水平面有角度 φ 的平面上的圆垂直投影到水平面上给出离心率 sin φ 的椭圆,假定 φ 不是 90°。
橢圓(用紅色繪制)可以表達為内旋轮线在 R=2r 時的特殊情況。
面积和周长
椭圆所包围的面积是
,这里的
,和
,是半长轴和半短轴。在圆的情况下
,表达式简化为
。
椭圆的周长是
,这里的函数
是第二类完全椭圆积分。
周长为:
或者
精确的无穷级数为:
或:
拉马努金给出一较为接近的式子:
它还可以写为:
还有一条近似很高的公式:
标准方程的推导
- 如果在一个平面内一个动点到两个定点的距离的和等于定长,那么这个动点的轨迹叫做椭圆。
假设(注意所有假设只是为了导出椭圆方程时比较简便)动点为
,两个定点为
和
,则根据定义,动点
的轨迹方程满足(定义式):
,其中
为定长。
用两点的距离公式可得:
,
,代入定义式中,得:
①
上式左方分子凑出平方差,并化简,得:
分子大部分相消,分母移项即得
②
①、②式相加并平方,整理得
当
时,并设
,则上式可以进一步化简:
因为
,将上式两边同除以
,可得:
则该方程即动点
的轨迹方程,即椭圆的方程。这个形式也是椭圆的标准方程。
- 椭圆的图像如果在直角坐标系中表示,那么上述定义中两个定点被定义在了x轴。若将两个定点改在y轴,可以用相同方法求出另一个椭圆的标准方程:
- 在方程中,所设的
称为长轴长,
称为短轴长,而所设的定点称为焦点,那么
称为焦距。在假设的过程中,假设了
,如果不这样假设,会发现得不到椭圆。当
时,这个动点的轨迹是一个线段;当
时,根本得不到实际存在的轨迹,而这时,其轨迹称为虚椭圆。另外还要注意,在假设中,还有一处:
。 - 通常认为圆是椭圆的一种特殊情况。
椭圆的旋转和平移
对于平面上任意椭圆
,总可以将之转化为
的形式。具体步骤为,将后式的各乘积乘方项展开,根据与前式对应项係数相等的法则便可求得u,v,D',E',F'的值(
,
,
)。其中,
便是该椭圆的中心(F'=0)。
若将
代入式中便可得到平移前的椭圆。
若
,则表示椭圆的长短轴与坐标系的坐标轴并不平行或垂直,即发生了旋转。设旋转的角度为
,则有
当
,则说明
。
若将
代入式中便可得到旋转前的椭圆。
漸開線及其導數
有了橢圓漸開線的導數,可以計算它的長度,其中
是第二類完全橢圓積分。
参见
外部链接