数列极限
序列的項“趨向於”何值
(重定向自極限 (數列))
数列極限(英語:limit of a sequence)為某些数列才擁有的特殊值,當數列的下標越來越大的時候,數列的值也就越接近那個特殊值。
定義
實數數列的極限
從上面的定義可以證明,對實數數列 來說,若
則其極限 一定為实数 ,因為假設
的虛部
的話,則對極限定義取
的話,會存在
,使得任意的
,只要
有
這是矛盾的,所以根據反證法, ,即
。
基本性質
唯一性
定理 — 若數列 的極限存在,則極限是唯一的。[1]:29
證明
設數列 有兩個不相等的極限值
,則根據假設,對任意的
,存在
,使任意
,只要
就有
這樣根據三角不等式,對任意的 , 只要自然數
就有則
這樣的話,假設 會得到
這樣是矛盾的,故根據反證法, ,也就是
,故極限唯一。
有界性
根據实质条件的意義,上面的定理等價於「如果一個實數數列無界,則這個實數數列一定發散。」[1]:30
注意有界數列不一定有極限,如數列 是一個有界數列,但沒有極限。
但是當數列有界,存在一個遞增或是遞減的子數列的話,則可以證明,數列存在極限。
保序性
證明
左至右:
取 ,則由前提假設,存在
使任何
只要
就有
从而
故
這樣取 ,左至右就得證。
右至左:
由前提假設,對任意的 ,存在
使任何
只要
就有
从而
故得證。
四則運算定理
設 ,
,則
;
;
- 若
,則
.
審斂法
其中一個判斷數列是否收斂的定理,称为单调收敛定理,和實數完備性相關:單調有界數列必收斂,即是說,有上界的單調遞增數列,或是有下界的單調遞減數列,必然收斂。