条件期望

设${\displaystyle X}$ 和${\displaystyle Y}$ 是离散随机变量，则${\displaystyle X}$ 在给定事件${\displaystyle Y=y}$ 条件时的条件期望是${\displaystyle x}$ 的在${\displaystyle Y}$ 的值域的函数

${\displaystyle \operatorname {E} (X|Y=y)=\sum _{x\in {\mathcal {X}}}x\ \operatorname {P} (X=x|Y=y)=\sum _{x\in {\mathcal {X}}}x\ {\frac {\operatorname {P} (X=x,Y=y)}{\operatorname {P} (Y=y)}},}$

其中，${\displaystyle {\mathcal {X}}}$ 是处于${\displaystyle X}$ 的值域。

如果现在${\displaystyle X}$ 是一个连续随机变量，而${\displaystyle Y}$ 仍然是一个离散变量，条件期望是：

${\displaystyle \operatorname {E} (X|Y=y)=\int _{\mathcal {X}}xf_{X}(x|Y=y)dx}$

其中，${\displaystyle f_{X}(\,\cdot \,|Y=y)}$ 是在给定${\displaystyle Y=y}$ 下${\displaystyle X}$ 的条件概率密度函数。

给定${\displaystyle X}$ 是一个定义在概率空间${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}}_{0},P)}$ 上的随机变量，${\displaystyle {\mathcal {F}}\subset {\mathcal {F}}_{0}}$ 是${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ 的一个子σ-代数，且${\displaystyle E|X|<\infty }$ 。则定义${\displaystyle X}$ 在给定${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ 下的条件期望${\displaystyle E(X|{\mathcal {F}})}$ 是满足以下两个条件的随机变量${\displaystyle Y}$ ：

1. ${\displaystyle Y}$ 是${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ 上的可测函数；
2. ${\displaystyle \forall A\in {\mathcal {F}}:\int _{A}XdP=\int _{A}YdP}$ 。

在这一定义下，${\displaystyle E(X|{\mathcal {F}})}$ 是存在且在几乎必然的意义下唯一的。^[1]

• 全概率公式
• 全期望公式
• 联合分布

• （英文）Ushakov, N.G., Conditional mathematical expectation, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4