前6个公理又叫做藤田公理,公理7由羽鳥公士郎发现,贾斯汀和罗伯特·朗(Robert J. Lang)也同样发现了公理7。7条公理如下:
- 给定两点
和
,有且仅有一条折痕同时过这两点。 - 给定两点
和
,有且仅有一种方法把
折到
上。 - 给定两直线
和
,可以把
折到
上。 - 给定一点
和一条直线
,有且仅有一种方法过
折出
的垂线。 - 给定两点
和
和一条直线
,可以沿过
的直线将
折到
上。 - 给定两点
和
和两直线
和
,可以一次将
、
分别折到
、
上。 - 给定一点
和两直线
和
,可以沿着
的垂线将
折到
上。
公理5可能有最多2个解,公理6可能有最多3个解,而尺规作图的公理最多只有两个解。所以,折纸的作图能力要强于尺规作图。就是说,尺规作图相当于在解二次方程,而折纸几何相当于解三次方程。因而诸如三等分角、倍立方等尺规作图无法解决的问题却可以用折纸几何解决。但是公理6在实践中需要将纸“滑动”,这其实相当于二刻尺作图,这在标准的尺规作图中是不被允许的。
罗伯特·朗证明了这七个公理已经是折纸几何的全部公理了。
公理 1
给定两点
和
,有且仅有一条折痕同时过这两点。
以参数方程表示的话,过2点的直线可以表示为:
公理 2
给定两点
和
,有且仅有一种方法把
折到
上。
这条公理相当于是作线段
的垂直平分线。这可以通过以下四个步骤完成:
- 使用公理1作出连结
和
的直线
- 找到直线
的中点
- 找到垂直于
的向量
- 折痕的参数方程表示为:
公理 3
给定两直线
和
,可以把
折到
上。
这条公理相当于是找出
和
组成的角的平分线。假设
和
是
上任意两点,
和
是
上任意两点,
和
分别是
和
方向的单位向量:
如果两直线不平行,它们的交点为:
其中
两条直线所夹的一个角的平分线方向是:
折痕的参数方程是:
这两直线还有另一个角平分线,两条角平分线互相垂直,且都过点
。而沿着任意一条角平分线折都能将
折到
上。但在实践中可能因为交点的位置(比如交点在纸外)使沿着其中一条角平分线的折叠无法实施。
如果两条直线平行,那么只要沿着两直线中间的一条线(与两直线平行,到两直线距离相等)折叠就可以将
折到
上
公理 4
给定一点
和一条直线
,有且仅有一种方法过
折出
的垂线。
向量
是垂直于
的单位向量,那么折痕的参数方程是:
公理 5
给定两点
和
和一条直线
,可以沿过
的直线将
折到
上。
这个公理相当于找出圆和直线的交点,所以有最多2个解,最少也可能无解。这取决于直线
和以
为圆心,
到
的距离为半径的圆的位置关系。如果直线和圆不相交则无解,相切则有1解,相交则有2解.
如果我们知道直线上两点
和
,那么直线可以表示为:
如果圆心
,半径
。那么这个圆可以表示为:
为了确定圆和直线的交点,将直线方程代入圆方程,得:
或者可以简化为:
其中:
然后,只要解以下方程就能确定直线和圆的交点:
如果判别式
,那么方程无实数解,圆和直线没有交点;如果辨别式等于0,那么方程有一解,圆和直线相切;如果辨别式大于0,方程有两解,圆和直线有两个交点。令
和
是两个交点(如果存在),那么,我们可以得到线段如下:
折痕
垂直平分
,可以将
折到
。同样,折痕
垂直平分
,可以将
折到
。只要应用公理2就可以找到垂直平分线。折痕的参数方程是:
公理 6
给定两点
和
和两直线
和
,可以一次将
、
分别折到
、
上。
这个公理相当于找到同时与两条抛物线相切的直线,等价于解一个三次方程。两条抛物线的焦点分别是
和
,准线分别是
和
。
公理 7
给定一点
和两直线
和
,可以沿着
的垂线将
折到
上。
过
点作
的平行线,交
于
,这个公理就是要找出线段
的垂直平分线。沿着这条垂直平分线折,就可以将
折到
上。