力矩 (moment of force [1] ,moment[2] )在物理学 中,是作用力 促使物體繞著轉動軸 或支點 轉動的趨向[3] ;也就是作用力使物体产生“转”、“扭”或“弯”效应的量度。簡略地说,力矩是一種施加於例如螺栓 、飛輪 一類的物體,或是擰毛巾、扳鋼筋的扭轉力。例如,用扳手 的開口箝緊螺栓 或螺帽 ,然後轉動扳手,這動作會產生力矩來轉動螺栓或螺帽。
在一个旋转系统裏,作用力 F {\displaystyle \mathbf {F} \,\!} 、位置向量 r {\displaystyle \mathbf {r} \,\!} 、力矩 τ {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}\,\!} 、动量 p {\displaystyle \mathbf {p} \,\!} 、角动量 L {\displaystyle \mathbf {L} \,\!} ,這些物理量之間的关系。 使机械元件转动的力矩又称转矩 (turning moment[4] ,moment of rotation[5] )即转动力矩 ;在材料力学 、土木工程 和建筑学 中,作用引起的结构或构件某一截面上的剪力所构成的力偶矩 ,称为扭矩 [6] (torsional moment,torque),而作用引起的结构或构件某一截面上的正应力所构成的力矩,则称为弯矩 [7] (bending moment)。
力矩能够使物体改变其旋转运动 。推擠或拖拉涉及到作用力,而扭转則涉及到力矩。如上图,力矩 τ {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}\,\!} 等於径向向量 r {\displaystyle \mathbf {r} \,\!} 与作用力 F {\displaystyle \mathbf {F} \,\!} 的叉積 。
根據国际单位制 ,力矩的单位是牛顿 ⋅ {\displaystyle \cdot } 米 。本物理量非能量,因此不能以焦耳 (J)作單位;根據英制单位 ,力矩的单位则是英尺 ⋅ {\displaystyle \cdot } 磅。力矩的表示符号是希腊字母 τ {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}\,\!} ,或 M {\displaystyle \mathbf {M} \,\!} 。
力矩與三個物理量有關:施加的作用力 F {\displaystyle \mathbf {F} \,\!} 、從轉軸到施力點的位移向量 r {\displaystyle \mathbf {r} \,\!} 、兩個向量之間的夾角 θ {\displaystyle \theta \,\!} 。力矩 τ {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}\,\!} 以向量方程式表示為
τ = r × F {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} \,\!} 。力矩的大小為
τ = r F sin θ {\displaystyle \tau =rF\sin \theta \,\!} 。
定义 用右手定則决定力矩方向 力矩 等於作用於杠杆的作用力 乘以支点 到力的垂直距离 。例如,3 牛顿 的作用力,施加於离支点2 米 处,所产生的力矩,等於1牛顿的作用力,施加於离支点6米处,所产生的力矩。力矩是个向量 。力矩的方向与它所造成的旋转运动的旋转轴同方向。力矩的方向可以用右手定則 来决定。假设作用力垂直於杠杆。将右手往杠杆的旋转方向弯捲,伸直的大拇指与支点的旋转轴同直线,则大拇指指向力矩的方向[8] 。
假設作用力 F {\displaystyle \mathbf {F} \,\!} 施加於位置為 r {\displaystyle \mathbf {r} \,\!} 的粒子。選擇原點(以紅點表示)為參考點,只有垂直分量 F ⊥ {\displaystyle F_{\perp }\,\!} 會產生力矩。這力矩 τ = r × F {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} \,\!} 的大小為 τ = | r | | F ⊥ | = | r | | F | sin θ {\displaystyle \tau =|\mathbf {r} ||\mathbf {F} _{\perp }|=|\mathbf {r} ||\mathbf {F} |\sin \theta \,\!} ,方向為垂直於屏幕向外。 更一般地,如圖右,假設作用力 F {\displaystyle \mathbf {F} \,\!} 施加於位置為 r {\displaystyle \mathbf {r} \,\!} 的粒子。選擇原點為參考點,力矩 τ {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}\,\!} 以方程式定義為
τ = d e f r × F {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}\ {\stackrel {def}{=}}\ \mathbf {r} \times \mathbf {F} \,\!} 。力矩大小為
τ = | r | | F | sin θ {\displaystyle \tau =|\mathbf {r} ||\mathbf {F} |\sin \theta \,\!} ;其中, θ {\displaystyle \theta \,\!} 是兩個向量 F {\displaystyle \mathbf {F} \,\!} 與 r {\displaystyle \mathbf {r} \,\!} 之間的夾角。
力矩大小也可以表示為
τ = r F ⊥ {\displaystyle \tau =rF_{\perp }\,\!} ;其中, F ⊥ {\displaystyle F_{\perp }\,\!} 是作用力 F {\displaystyle \mathbf {F} \,\!} 對於 r {\displaystyle \mathbf {r} \,\!} 的垂直分量。
任何與粒子的位置向量平行的作用力不會產生力矩。
從叉積的性質,可推論,力矩垂直於位置向量 r {\displaystyle \mathbf {r} \,\!} 和作用力 F {\displaystyle \mathbf {F} \,\!} 。力矩的方向與旋轉軸平行,由右手定則決定。
力矩與角動量之間的關係 地心引力 F g {\displaystyle \mathbf {F_{g}} \,\!} 的力矩造成角动量 L {\displaystyle \mathbf {L} \,\!} 的改变。因此,陀螺 呈现进动 現象。假設一個粒子的位置為 r {\displaystyle \mathbf {r} \,\!} ,動量為 p {\displaystyle \mathbf {p} \,\!} 。選擇原點為參考點,此粒子的角動量 L {\displaystyle \mathbf {L} \,\!} 為
L = r × p {\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} \,\!} 。粒子的角動量對於時間的導數為
d L d t = d r d t × p + r × d p d t = v × m v + r × m d v d t = r × m a {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\mathbf {L} }{dt}}&={\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\times \mathbf {p} +\mathbf {r} \times {\frac {d\mathbf {p} }{dt}}\\&=\mathbf {v} \times m\mathbf {v} +\mathbf {r} \times m{\frac {d\mathbf {v} }{dt}}\\&=\mathbf {r} \times m\mathbf {a} \\\end{aligned}}\,\!} ; 其中, m {\displaystyle m\,\!} 是質量, v {\displaystyle \mathbf {v} \,\!} 是速度, a {\displaystyle \mathbf {a} \,\!} 是加速度。
應用牛頓第二定律 , F = m a {\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} \,\!} ,可以得到
d L d t = r × F {\displaystyle {\frac {d\mathbf {L} }{dt}}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} \,\!} 。按照力矩的定義, τ = d e f r × F {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}\ {\stackrel {def}{=}}\ \mathbf {r} \times \mathbf {F} \,\!} ,所以,
τ = d L d t {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}\,\!} 。作用於一物體的力矩,決定了此物體的角動量 L {\displaystyle \mathbf {L} \,\!} 對於時間 t {\displaystyle t\,\!} 的導數。
假設幾個力矩共同作用於物體,則這幾個力矩的合力矩 τ n e t {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{\mathrm {net} }\,\!} 共同決定角動量的對於時間的變化:
τ 1 + ⋯ + τ n = τ n e t = d L d t {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{1}+\cdots +{\boldsymbol {\tau }}_{n}={\boldsymbol {\tau }}_{\mathrm {net} }={\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}\,\!} 。關於物體的繞著固定軸的旋轉運動,
L = I ω {\displaystyle \mathbf {L} =I{\boldsymbol {\omega }}\,\!} ;其中, I {\displaystyle I\,\!} 是物體對於固定軸的轉動慣量 , ω {\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}\,\!} 是物體的角速度 。
所以,取上述方程式對時間的導數:
τ n e t = d L d t = d ( I ω ) d t = I d ω d t = I α {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{\mathrm {net} }={\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} (I{\boldsymbol {\omega }})}{\mathrm {d} t}}=I{\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\omega }}}{\mathrm {d} t}}=I{\boldsymbol {\alpha }}\,\!} ;其中, α {\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}\,\!} 是物體的角加速度 。
单位
矩臂方程式
静力概念
力矩、能量和功率之間的關係 假設施加作用力於一物體,使得此物體移動一段距離,則作用力對於此物體做了機械功 。類似地,假設施加力矩於一物體,使得此物體旋轉一段角位移,則力矩對於此物體做了機械功 。對於穿過質心的固定軸的旋轉運動,以數學方程式表達,
W = ∫ θ 1 θ 2 τ d θ {\displaystyle W=\int _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}\tau \ \mathrm {d} \theta \,\!} ;其中, W {\displaystyle W\,\!} 是機械功, θ 1 {\displaystyle \theta _{1}\,\!} 、 θ 2 {\displaystyle \theta _{2}\,\!} 分別是初始角和終結角, d θ {\displaystyle \mathrm {d} \theta \,\!} 是無窮小角位移元素。
根據功能定理 , W {\displaystyle W\,\!} 也代表物體的旋轉動能 K r o t {\displaystyle K_{\mathrm {rot} }\,\!} 的改變,以方程式表達,
K r o t = 1 2 I ω 2 {\displaystyle K_{\mathrm {rot} }={\tfrac {1}{2}}I\omega ^{2}\,\!} 。功率 是單位時間內所做的機械功 。對於旋轉運動,功率 P {\displaystyle P\,\!} 以方程式表達為
P = τ ⋅ ω {\displaystyle P={\boldsymbol {\tau }}\cdot {\boldsymbol {\omega }}\,\!} 。請注意,力矩注入的功率只跟瞬時角速度有關,而角速度是否在增加中,或在減小中,或保持不變,功率都與這些狀況無關。
實際上,在與大型輸電網路相連接的發電廠裏,可以觀察到這關係。發電廠的發電機的角速度是由輸電網路的頻率設定,而發電廠的功率輸出是由作用於發電機轉動軸的力矩所決定。
在計算功率時,必須使用一致的單位。採用國際單位制,功率的單位是瓦特,力矩的單位是牛頓-米,角速度的單位是每秒弧度 (不是每分鐘轉速 rpm,也不是每秒鐘轉速)。
力矩原理 力矩原理 闡明,幾個作用力施加於某位置所產生的力矩的總和,等於這些作用力的合力所產生的力矩。力矩原理又名伐里農定理 (Varignon's theorem )[11] (以法国科学家兼神父皮埃爾·伐里農 命名),以方程式表達,
( r × F 1 ) + ( r × F 2 ) + ⋯ = r × ( F 1 + F 2 + ⋯ ) {\displaystyle (\mathbf {r} \times \mathbf {F} _{1})+(\mathbf {r} \times \mathbf {F} _{2})+\cdots =\mathbf {r} \times (\mathbf {F} _{1}+\mathbf {F} _{2}+\cdots )\,\!} 。
参考文献
延伸阅读
參閱
外部链接