数学子领域数值分析中的德卡斯特里奥算法(英語:De Casteljau's algorithm),以发明者保尔·德·卡斯特里奥命名,是计算伯恩斯坦形式的多项式或貝茲曲線的递归方法。
虽然对于大部分的体系结构,该算法和直接方法相比较慢,但它在数值上更为稳定。
定义
贝兹曲线B(角度为n,控制点)可用以下方式运用德卡斯特里奥算法
- ,
其中b为伯恩施坦基本多项式
- .
曲线在t0点上可以用遞迴關係式运算
然后,在点上的计算可以此算法的步计算。的结果为:
再者,贝兹曲线可在分成带有各种控制点的两段曲线:
注意事项
进行手算时把系数写成三角形形式很有用。
当选择一点t0来计算波恩斯坦多项式时,我们可以用三角形形式的两个对角线来构造多项式的分段表示。
把它变成
以及
例子
我们要计算2次波恩斯坦多项式,其伯恩斯坦系数为
在t0点计算。
我们有下式开始递归
递归的第二次重复结束于
这就是我们所预料的n阶伯恩斯坦多项式。
贝塞尔曲線
在计算带n+1个控制点Pi的三维空间中的n次贝塞尔曲線 (Bézier curve) 时
其中
- .
我们把Bézier曲线分成三个分立的方程
然后我们用de Casteljau算法分别计算。
伪代码例子
这是一个递归的画出一条从点P1到P4,弯向P2和P3的曲线的伪代码例子。级数参数是递归的次数。该过程用增加了的级数参数来递归的调用它自己。当级别达到最大级别这个全局变量时,在P1和P4之间就画上直线。函数中点(midpoint)去两个点,并返回这两点间的线段的中点。
global max_level = 5 procedure draw_curve(P1, P2, P3, P4, level) if (level > max_level) draw_line(P1, P4) else L1 = P1 L2 = midpoint(P1, P2) H = midpoint(P2, P3) R3 = midpoint(P3, P4) R4 = P4 L3 = midpoint(L2, H) R2 = midpoint(R3, H) L4 = midpoint(L3, R2) R1 = L4 draw_curve(L1, L2, L3, L4, level + 1) draw_curve(R1, R2, R3, R4, level + 1) end procedure draw_curve
代码实现
用线性插值计算P和Q之间的一点R,插值参数为t用法:linearInterp P Q t P = 代表一个点的表 Q = 代表一个点的表 t = 线性插值的参数值, t<-[0..1]返回:代表点(1-t)P + tQ的表>linearInterp :: [Float]->[Float]->Float->[Float]>linearInterp [] [] _ = []>linearInterp (p:ps) (q:qs) t = (1-t)*p + t*q : linearInterp ps qs t计算一对控制点间的线性插值的中间结果用法:eval t b t = 线性插值的参数值, t<-[0..1] b = 控制点的表返回:对n个控制点,返回n-1个插值点的表>eval :: Float->[[Float]]->[[Float]]>eval t(bi:bj:[])= [linearInterp bi bj t]>eval t (bi:bj:bs) = (linearInterp bi bj t) : eval t (bj:bs)用de Casteljau算法计算Bezier曲线上一点用法:deCas t b t = 线性插值的参数值, t<-[0..1] b = 控制点的表返回:代表Bezier曲线上一个点的列表>deCas :: Float->[[Float]]->[Float]>deCas t(bi:[])= bi>deCas t bs = deCas t (eval t bs)用de Casteljau算法计算沿着Bezier曲线的一系列点。点用一个列表返回。用法:bezierCurve n b n = 要计算的点的个数 b = Bezier控制点列表返回:Bezier曲线上n+1个点例子:bezierCurve 50 <nowiki>[[0,0],[1,1],[0,1],[1,0]]</nowiki>>bezierCurve :: Int->[[Float]]->[[Float]]>bezierCurve n b = [deCas (fromIntegral x / fromIntegral n) b | x<-[0 .. n] ]
(该代码用到Python图像库(页面存档备份,存于互联网档案馆))
import Imageimport ImageDrawSIZE=128image = Image.new("RGB", (SIZE, SIZE))d = ImageDraw.Draw(image)def midpoint((x1, y1), (x2, y2)): return ((x1+x2)/2, (y1+y2)/2)MAX_LEVEL = 5def draw_curve(P1, P2, P3, P4, level=1): if level == MAX_LEVEL: d.line((P1, P4)) else: L1 = P1 L2 = midpoint(P1, P2) H = midpoint(P2, P3) R3 = midpoint(P3, P4) R4 = P4 L3 = midpoint(L2, H) R2 = midpoint(R3, H) L4 = midpoint(L3, R2) R1 = L4 draw_curve(L1, L2, L3, L4, level+1) draw_curve(R1, R2, R3, R4, level+1)draw_curve((10,10),(100,100),(100,10),(100,100))image.save(r"c:\DeCasteljau.png", "PNG")print "ok."
参考
- Farin, Gerald & Hansford, Dianne (2000). The Essentials of CAGD. Natic, MA: A K Peters, Ltd. ISBN 1-56881-123-3
参看
- Horner法:计算单项式形式多项式
- Clenshaw算法:计算切比雪夫形式多项式