近十年来，在科学计算与数值模拟领域受到了广泛的关注的基本解方法 （method of fundamental solutions）是一种与边界元方法相对应的无网格数值技术，选用微分算子的基本解作为插值基函数 ，成功将问题的维数降低一维，同时也避免了边界元方法中复杂的奇异数值积分问题，在处理无限、薄体材料及反问题上比有限元法、有限体积法等基于网格的数值方法等更具有优势。
为了避免基本解的源点奇异性，基本解方法需要在物理边界外选取虚假边界，其设置有较大的随意性，同时也阻碍了基本解方法在实际中的广泛应用。即使如此，基本解方法在处理无限域等问题中仍然是一种可取的技术手段，具有很大的优势。
在一些文献中，基本解方法也被称为regular boundary element method、superposition method、desingularized method及charge simulation method等。
主要思路及公式 简要介绍基本解方法的求解思路，以下述偏微分方程的求解过程为例，
L u = 0 , ( x , y ) ∈ Ω , {\displaystyle Lu=0,\ \ \left(x,y\right)\in \Omega ,} u = g ( x , y ) , ( x , y ) ∈ ∂ Ω D , {\displaystyle u=g\left(x,y\right),\ \ \left(x,y\right)\in \partial \Omega _{D},} ∂ u ∂ n = h ( x , y ) , h ( x , y ) ∈ ∂ Ω N , {\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial n}}=h\left(x,y\right),\ \ h\left(x,y\right)\in \partial \Omega _{N},} 其中 L {\displaystyle L} Ω {\displaystyle \Omega } ∂ Ω D {\displaystyle \partial \Omega _{D}} ∂ Ω N {\displaystyle \partial \Omega _{N}} ∂ Ω D ∪ ∂ Ω N = ∂ Ω {\displaystyle \partial \Omega _{D}\cup \partial \Omega _{N}=\partial \Omega } ∂ Ω D ∩ ∂ Ω N = ∅ {\displaystyle \partial \Omega _{D}\cap \partial \Omega _{N}=\varnothing }
u ∗ ( x , y ) = ∑ i = 1 N α i ϕ ( r i ) {\displaystyle {{u}^{*}}\left(x,y\right)=\sum \limits _{i=1}^{N}\alpha _{i}\phi \left(r_{i}\right)} 其中 r i = ‖ ( x , y ) − ( s x i , s y i ) ‖ {\displaystyle r_{i}=\left\|\left(x,y\right)-\left(sx_{i},sy_{i}\right)\right\|} ( x , y ) {\displaystyle \left(x,y\right)} ( s x i , s y i ) {\displaystyle \left(sx_{i},sy_{i}\right)} α i {\displaystyle {{\alpha }_{i}}} ϕ ( ⋅ ) {\displaystyle \phi \left(\cdot \right)}
L ϕ = δ {\displaystyle L\phi =\delta \,} 其中 δ {\displaystyle \delta } ( s x i , s y i ) {\displaystyle \left(sx_{i},sy_{i}\right)}
[ ϕ ( r j | x i , y i ) ∂ ϕ ( r j | x k , y k ) ∂ n ] ⋅ α = ( g ( x i , y i ) h ( x k , y k ) ) , {\displaystyle \left[{\begin{matrix}\phi \left(\left.r_{j}\right|_{x_{i},y_{i}}\right)\\{\frac {\partial \phi \left(\left.r_{j}\right|_{x_{k},y_{k}}\right)}{\partial n}}\\\end{matrix}}\right]\ \cdot \ \alpha =\left({\begin{matrix}g\left(x_{i},y_{i}\right)\\h\left(x_{k},y_{k}\right)\\\end{matrix}}\right),} 未知系数 α i {\displaystyle {{\alpha }_{i}}}
历史及最近进展 基本解方法的思想最早在20世纪50年代末和60年代初就由V. D. Kupradze和M. A. Alexidze提出[1] [2] [3] [4] [5] [6]
20世纪90年代，M. A. Golberg和C. S. Chen解决了基本解方法中的一个重大障碍，使得该方法可以求解非齐次方程和时变问题[7] [8] [9] [10] [11]
针对虚假边界的设置带给基本解方法的阻碍，近年来许多新型方法得到了深入研究，如边界节点法（boundary knot method）、奇异边界法（singular boundary method）、正则化无网格方法（regularized meshless method）等。
参阅
参考文献
相关链接 
（*）
![{\displaystyle \left[{\begin{matrix}\phi \left(\left.r_{j}\right|_{x_{i},y_{i}}\right)\\{\frac {\partial \phi \left(\left.r_{j}\right|_{x_{k},y_{k}}\right)}{\partial n}}\\\end{matrix}}\right]\ \cdot \ \alpha =\left({\begin{matrix}g\left(x_{i},y_{i}\right)\\h\left(x_{k},y_{k}\right)\\\end{matrix}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a22082fef71002f1b9f62123ebdd1b38cad646bd)