定義 給定n+1個數據點
( x 0 , y 0 ) , … , ( x n , y n ) {\displaystyle (x_{0},y_{0}),\ldots ,(x_{n},y_{n})} 定義前向均差 為:
[ y ν ] = y ν , ν ∈ { 0 , … , n } [ y ν , … , y ν + j ] = [ y ν + 1 , … , y ν + j ] − [ y ν , … , y ν + j − 1 ] x ν + j − x ν , ν ∈ { 0 , … , n − j } , j ∈ { 1 , … , n } {\displaystyle {\begin{aligned}{\mathopen {[}}y_{\nu }]&=y_{\nu },\quad \nu \in \{0,\ldots ,n\}\\{\mathopen {[}}y_{\nu },\ldots ,y_{\nu +j}]&={\frac {[y_{\nu +1},\ldots ,y_{\nu +j}]-[y_{\nu },\ldots ,y_{\nu +j-1}]}{x_{\nu +j}-x_{\nu }}},\quad \nu \in \{0,\ldots ,n-j\},\ j\in \{1,\ldots ,n\}\\\end{aligned}}} 定義後向均差 為:
[ y ν ] = y ν , ν ∈ { 0 , … , n } [ y ν , … , y ν − j ] = [ y ν , … , y ν − j + 1 ] − [ y ν − 1 , … , y ν − j ] x ν − x ν − j , ν ∈ { j , … , n } , j ∈ { 1 , … , n } {\displaystyle {\begin{aligned}{\mathopen {[}}y_{\nu }]&=y_{\nu },\quad \nu \in \{0,\ldots ,n\}\\{\mathopen {[}}y_{\nu },\ldots ,y_{\nu -j}]&={\frac {[y_{\nu },\ldots ,y_{\nu -j+1}]-[y_{\nu -1},\ldots ,y_{\nu -j}]}{x_{\nu }-x_{\nu -j}}},\quad \nu \in \{j,\ldots ,n\},\ j\in \{1,\ldots ,n\}\\\end{aligned}}}
表示法 假定數據點給出為函數 ƒ,
( x 0 , f ( x 0 ) ) , … , ( x n , f ( x n ) ) {\displaystyle (x_{0},f(x_{0})),\ldots ,(x_{n},f(x_{n}))} 其均差可以寫為:
f [ x ν ] = f ( x ν ) , ν ∈ { 0 , … , n } f [ x ν , … , x ν + j ] = f [ x ν + 1 , … , x ν + j ] − f [ x ν , … , x ν + j − 1 ] x ν + j − x ν , ν ∈ { 0 , … , n − j } , j ∈ { 1 , … , n } {\displaystyle {\begin{aligned}f[x_{\nu }]&=f(x_{\nu }),\qquad \nu \in \{0,\ldots ,n\}\\f[x_{\nu },\ldots ,x_{\nu +j}]&={\frac {f[x_{\nu +1},\ldots ,x_{\nu +j}]-f[x_{\nu },\ldots ,x_{\nu +j-1}]}{x_{\nu +j}-x_{\nu }}},\quad \nu \in \{0,\ldots ,n-j\},\ j\in \{1,\ldots ,n\}\end{aligned}}} 對函數 ƒ 在節點 x 0 , ..., x n 上的均差還有其他表示法,如:
[ x 0 , … , x n ] f [ x 0 , … , x n ; f ] D [ x 0 , … , x n ] f {\displaystyle {\begin{matrix}{\mathopen {[}}x_{0},\ldots ,x_{n}]f\\{\mathopen {[}}x_{0},\ldots ,x_{n};f]\\{\mathopen {D}}[x_{0},\ldots ,x_{n}]f\\\end{matrix}}}
例子 給定ν=0:
[ y 0 ] = y 0 [ y 0 , y 1 ] = y 1 − y 0 x 1 − x 0 [ y 0 , y 1 , y 2 ] = [ y 1 , y 2 ] − [ y 0 , y 1 ] x 2 − x 0 [ y 0 , y 1 , y 2 , y 3 ] = [ y 1 , y 2 , y 3 ] − [ y 0 , y 1 , y 2 ] x 3 − x 0 [ y 0 , y 1 , … , y n ] = [ y 1 , y 2 , … , y n ] − [ y 0 , y 1 , … , y n − 1 ] x n − x 0 {\displaystyle {\begin{aligned}{\mathopen {[}}y_{0}]&=y_{0}\\{\mathopen {[}}y_{0},y_{1}]&={\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}\\{\mathopen {[}}y_{0},y_{1},y_{2}]&={\frac {{\mathopen {[}}y_{1},y_{2}]-{\mathopen {[}}y_{0},y_{1}]}{x_{2}-x_{0}}}\\{\mathopen {[}}y_{0},y_{1},y_{2},y_{3}]&={\frac {{\mathopen {[}}y_{1},y_{2},y_{3}]-{\mathopen {[}}y_{0},y_{1},y_{2}]}{x_{3}-x_{0}}}\\{\mathopen {[}}y_{0},y_{1},\dots ,y_{n}]&={\frac {{\mathopen {[}}y_{1},y_{2},\dots ,y_{n}]-{\mathopen {[}}y_{0},y_{1},\dots ,y_{n-1}]}{x_{n}-x_{0}}}\end{aligned}}} 為了使涉及的遞歸過程更加清楚,以列表形式展示均差的計算過程[5] :
x 0 [ y 0 ] = y 0 [ y 0 , y 1 ] x 1 [ y 1 ] = y 1 [ y 0 , y 1 , y 2 ] [ y 1 , y 2 ] [ y 0 , y 1 , y 2 , y 3 ] x 2 [ y 2 ] = y 2 [ y 1 , y 2 , y 3 ] [ y 2 , y 3 ] x 3 [ y 3 ] = y 3 {\displaystyle {\begin{matrix}x_{0}&[y_{0}]=y_{0}&&&\\&&[y_{0},y_{1}]&&\\x_{1}&[y_{1}]=y_{1}&&[y_{0},y_{1},y_{2}]&\\&&[y_{1},y_{2}]&&[y_{0},y_{1},y_{2},y_{3}]\\x_{2}&[y_{2}]=y_{2}&&[y_{1},y_{2},y_{3}]&\\&&[y_{2},y_{3}]&&\\x_{3}&[y_{3}]=y_{3}&&&\\\end{matrix}}}
展開形式 用數學歸納法 可證明[6] :
[ y 0 ] = y 0 [ y 0 , y 1 ] = y 0 x 0 − x 1 + y 1 x 1 − x 0 [ y 0 , y 1 , y 2 ] = y 0 ( x 0 − x 1 ) ( x 0 − x 2 ) + y 1 ( x 1 − x 0 ) ( x 1 − x 2 ) + y 2 ( x 2 − x 0 ) ( x 2 − x 1 ) [ y 0 , y 1 , … , y n ] = ∑ j = 0 n y j ∏ k = 0 , k ≠ j n ( x j − x k ) {\displaystyle {\begin{aligned}{\mathopen {[}}y_{0}]&=y_{0}\\{\mathopen {[}}y_{0},y_{1}]&={\frac {y_{0}}{x_{0}-x_{1}}}+{\frac {y_{1}}{x_{1}-x_{0}}}\\{\mathopen {[}}y_{0},y_{1},y_{2}]&={\frac {y_{0}}{(x_{0}-x_{1})(x_{0}-x_{2})}}+{\frac {y_{1}}{(x_{1}-x_{0})(x_{1}-x_{2})}}+{\frac {y_{2}}{(x_{2}-x_{0})(x_{2}-x_{1})}}\\{\mathopen {[}}y_{0},y_{1},\dots ,y_{n}]&=\sum _{j=0}^{n}{\frac {y_{j}}{\prod _{k=0,\,k\neq j}^{n}(x_{j}-x_{k})}}\\\end{aligned}}} 此公式體現了均差的對稱性質。[7] 故可推知:任意调换數據點次序,其值不变。[8]
性质 对称性:若 σ : { 0 , … , n } → { 0 , … , n } {\displaystyle \sigma :\{0,\dots ,n\}\to \{0,\dots ,n\}} 是一个排列 则 f [ x 0 , … , x n ] = f [ x σ ( 0 ) , … , x σ ( n ) ] {\displaystyle f[x_{0},\dots ,x_{n}]=f[x_{\sigma (0)},\dots ,x_{\sigma (n)}]} ( f + g ) [ x 0 , … , x n ] = f [ x 0 , … , x n ] + g [ x 0 , … , x n ] ( λ ⋅ f ) [ x 0 , … , x n ] = λ ⋅ f [ x 0 , … , x n ] {\displaystyle {\begin{aligned}(f+g)[x_{0},\dots ,x_{n}]&=f[x_{0},\dots ,x_{n}]+g[x_{0},\dots ,x_{n}]\\(\lambda \cdot f)[x_{0},\dots ,x_{n}]&=\lambda \cdot f[x_{0},\dots ,x_{n}]\\\end{aligned}}} ( f ⋅ g ) [ x 0 , … , x n ] = f [ x 0 ] ⋅ g [ x 0 , … , x n ] + f [ x 0 , x 1 ] ⋅ g [ x 1 , … , x n ] + ⋯ + f [ x 0 , … , x n ] ⋅ g [ x n ] {\displaystyle (f\cdot g)[x_{0},\dots ,x_{n}]=f[x_{0}]\cdot g[x_{0},\dots ,x_{n}]+f[x_{0},x_{1}]\cdot g[x_{1},\dots ,x_{n}]+\dots +f[x_{0},\dots ,x_{n}]\cdot g[x_{n}]} ∃ ξ ∈ ( min { x 0 , … , x n } , max { x 0 , … , x n } ) f [ x 0 , … , x n ] = f ( n ) ( ξ ) n ! {\displaystyle \exists \xi \in (\min\{x_{0},\dots ,x_{n}\},\max\{x_{0},\dots ,x_{n}\})\quad f[x_{0},\dots ,x_{n}]={\frac {f^{(n)}(\xi )}{n!}}}
等價定義 通過對換 n 阶均差中(x0 ,y0 )与(xn-1 ,yn-1 ),可得到等價定義:
[ y 0 , y 1 , … , y n − 1 , y n ] = [ y 1 , y 2 , … , y n ] − [ y 0 , y 1 , … , y n − 1 ] x n − x 0 = [ y 1 , … , y n − 2 , y 0 , y n ] − [ y n − 1 , y 1 , … , y n − 2 , y 0 ] x n − x n − 1 = [ y 0 , … , y n − 2 , y n ] − [ y 0 , y 1 , … , y n − 1 ] x n − x n − 1 {\displaystyle {\begin{aligned}{\mathopen {[}}y_{0},y_{1},\dots ,y_{n-1},y_{n}]&={\frac {{\mathopen {[}}y_{1},y_{2},\dots ,y_{n}]-{\mathopen {[}}y_{0},y_{1},\dots ,y_{n-1}]}{x_{n}-x_{0}}}\\&={\frac {{\mathopen {[}}y_{1},\dots ,y_{n-2},y_{0},y_{n}]-{\mathopen {[}}y_{n-1},y_{1},\dots ,y_{n-2},y_{0}]}{x_{n}-x_{n-1}}}\\&={\frac {{\mathopen {[}}y_{0},\dots ,y_{n-2},y_{n}]-{\mathopen {[}}y_{0},y_{1},\dots ,y_{n-1}]}{x_{n}-x_{n-1}}}\\\end{aligned}}} 這個定義有著不同的計算次序:
[ y 0 ] = y 0 [ y 0 , y 1 ] = y 1 − y 0 x 1 − x 0 [ y 0 , y 1 , y 2 ] = [ y 0 , y 2 ] − [ y 0 , y 1 ] x 2 − x 1 [ y 0 , y 1 , y 2 , y 3 ] = [ y 0 , y 1 , y 3 ] − [ y 0 , y 1 , y 2 ] x 3 − x 2 [ y 0 , y 1 , … , y n ] = [ y 0 , … , y n − 2 , y n ] − [ y 0 , y 1 , … , y n − 1 ] x n − x n − 1 {\displaystyle {\begin{aligned}{\mathopen {[}}y_{0}]&=y_{0}\\{\mathopen {[}}y_{0},y_{1}]&={\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}\\{\mathopen {[}}y_{0},y_{1},y_{2}]&={\frac {{\mathopen {[}}y_{0},y_{2}]-{\mathopen {[}}y_{0},y_{1}]}{x_{2}-x_{1}}}\\{\mathopen {[}}y_{0},y_{1},y_{2},y_{3}]&={\frac {{\mathopen {[}}y_{0},y_{1},y_{3}]-{\mathopen {[}}y_{0},y_{1},y_{2}]}{x_{3}-x_{2}}}\\{\mathopen {[}}y_{0},y_{1},\dots ,y_{n}]&={\frac {{\mathopen {[}}y_{0},\dots ,y_{n-2},y_{n}]-{\mathopen {[}}y_{0},y_{1},\dots ,y_{n-1}]}{x_{n}-x_{n-1}}}\\\end{aligned}}} 以列表形式展示這個定義下均差的計算過程[9] :
x 0 [ y 0 ] = y 0 [ y 0 , y 1 ] x 1 [ y 1 ] = y 1 [ y 0 , y 1 , y 2 ] [ y 0 , y 2 ] [ y 0 , y 1 , y 2 , y 3 ] x 2 [ y 2 ] = y 2 [ y 0 , y 1 , y 3 ] [ y 0 , y 3 ] x 3 [ y 3 ] = y 3 {\displaystyle {\begin{matrix}x_{0}&[y_{0}]=y_{0}&&&\\&&[y_{0},y_{1}]&&\\x_{1}&[y_{1}]=y_{1}&&[y_{0},y_{1},y_{2}]&\\&&[y_{0},y_{2}]&&[y_{0},y_{1},y_{2},y_{3}]\\x_{2}&[y_{2}]=y_{2}&&[y_{0},y_{1},y_{3}]&\\&&[y_{0},y_{3}]&&\\x_{3}&[y_{3}]=y_{3}&&&\\\end{matrix}}}
牛頓插值法 《自然哲學的數學原理 》的第三編“宇宙體系”的引理五的图例。這裡在橫坐標上有6個點H,I,K,L,M,N,對應著6個值A,B,C,D,E,F,生成一個多項式函數對這6個點上有對應的6個值,計算任意點S對應的值R。牛頓給出了間距為單位值和任意值的兩種情況。 牛頓插值公式,得名於伊薩克·牛頓 爵士,最早发表为他在1687年出版的《自然哲學的數學原理 》中第三編“宇宙體系”的引理五,此前詹姆斯·格雷果里 於1670年和牛頓於1676年已經分別獨立得出這個成果。一般稱其為連續泰勒展開 的離散對應。
使用均差的牛顿插值法 為[10] :
N n ( x ) = y 0 + ( x − x 0 ) ( [ y 0 , y 1 ] + ( x − x 1 ) ( [ y 0 , y 1 , y 2 ] + ⋯ ) ) = [ y 0 ] + [ y 0 , y 1 ] ( x − x 0 ) + ⋯ + [ y 0 , y 1 , … , y n ] ∏ k = 0 n − 1 ( x − x k ) {\displaystyle {\begin{aligned}N_{n}(x)&=y_{0}+(x-{x}_{0})\left([{y}_{0},{y}_{1}]+(x-{x}_{1})\left([{y}_{0},{y}_{1},{y}_{2}]+\cdots \right)\right)\\&=[y_{0}]+[{y}_{0},{y}_{1}](x-{x}_{0})+\cdots +[{y}_{0},{y}_{1},\ldots ,{y}_{n}]\prod _{k=0}^{n-1}(x-{x}_{k})\end{aligned}}} 可以在计算过程中任意增添节点如點(xn+1 ,yn+1 ),只需計算新增的n+1階均差及其插值基函數,而无拉格朗日插值法 需重算全部插值基函数之虞。
對均差採用展開形式[11] :
N n ( x ) = y 0 + y 0 x − x 0 x 0 − x 1 + y 1 x − x 0 x 1 − x 0 + ⋯ + ∑ j = 0 n y j ∏ k = 0 n − 1 ( x − x k ) ∏ k = 0 , k ≠ j n ( x j − x k ) {\displaystyle {\begin{aligned}N_{n}(x)&=y_{0}+y_{0}{\frac {x-{x}_{0}}{x_{0}-x_{1}}}+y_{1}{\frac {x-{x}_{0}}{x_{1}-x_{0}}}+\cdots +\sum _{j=0}^{n}y_{j}{\frac {\prod _{k=0}^{n-1}(x-{x}_{k})}{\prod _{k=0,\,k\neq j}^{n}(x_{j}-x_{k})}}\\\end{aligned}}} 以2階均差牛頓插值為例:
N 2 ( x ) = y 0 ( 1 + x − x 0 x 0 − x 1 + ( x − x 0 ) ( x − x 1 ) ( x 0 − x 1 ) ( x 0 − x 2 ) ) + y 1 ( x − x 0 x 1 − x 0 + ( x − x 0 ) ( x − x 1 ) ( x 1 − x 0 ) ( x 1 − x 2 ) ) + y 2 ( x − x 0 ) ( x − x 1 ) ( x 2 − x 0 ) ( x 2 − x 1 ) = y 0 ( x − x 1 ) ( x − x 2 ) ( x 0 − x 1 ) ( x 0 − x 2 ) + y 1 ( x − x 0 ) ( x − x 2 ) ( x 1 − x 0 ) ( x 1 − x 2 ) + y 2 ( x − x 0 ) ( x − x 1 ) ( x 2 − x 0 ) ( x 2 − x 1 ) = ∑ j = 0 2 y j ∏ k = 0 k ≠ j 2 x − x k x j − x k {\displaystyle {\begin{aligned}N_{2}(x)&=y_{0}\left(1+{\frac {x-{x}_{0}}{x_{0}-x_{1}}}+{\frac {(x-x_{0})(x-x_{1})}{(x_{0}-x_{1})(x_{0}-x_{2})}}\right)+y_{1}\left({\frac {x-{x}_{0}}{x_{1}-x_{0}}}+{\frac {(x-x_{0})(x-x_{1})}{(x_{1}-x_{0})(x_{1}-x_{2})}}\right)+y_{2}{\frac {(x-x_{0})(x-x_{1})}{(x_{2}-x_{0})(x_{2}-x_{1})}}\\&=y_{0}{\frac {(x-x_{1})(x-x_{2})}{(x_{0}-x_{1})(x_{0}-x_{2})}}+y_{1}{\frac {(x-x_{0})(x-x_{2})}{(x_{1}-x_{0})(x_{1}-x_{2})}}+y_{2}{\frac {(x-x_{0})(x-x_{1})}{(x_{2}-x_{0})(x_{2}-x_{1})}}\\&=\sum _{j=0}^{2}y_{j}\prod _{\begin{smallmatrix}k=0\\k\neq j\end{smallmatrix}}^{2}{\frac {x-{x}_{k}}{x_{j}-x_{k}}}\\\end{aligned}}}
前向差分 當數據點呈等距分佈的時候,這個特殊情況叫做“前向差分 ”。它們比計算一般的均差要容易。
定義 給定n+1個數據點
( x 0 , y 0 ) , … , ( x n , y n ) {\displaystyle (x_{0},y_{0}),\ldots ,(x_{n},y_{n})} 有著
x i = x 0 + i h , h > 0 , 0 ≤ i ≤ n {\displaystyle x_{i}=x_{0}+ih,\quad h>0{\mbox{ , }}0\leq i\leq n} 定義前向差分 為:
△ 0 y i = y i △ k y i = △ k − 1 y i + 1 − △ k − 1 y i , 1 ≤ k ≤ n − i {\displaystyle {\begin{aligned}\triangle ^{0}y_{i}&=y_{i}\\\triangle ^{k}y_{i}&=\triangle ^{k-1}y_{i+1}-\triangle ^{k-1}y_{i},\quad 1\leq k\leq n-i\\\end{aligned}}} 前向差分所对应的均差为[12] :
f [ x 0 , x 1 , … , x k ] = 1 k ! h k Δ ( k ) f ( x 0 ) {\displaystyle f[x_{0},x_{1},\ldots ,x_{k}]={\frac {1}{k!h^{k}}}\Delta ^{(k)}f(x_{0})}
例子 y 0 △ y 0 y 1 △ 2 y 0 △ y 1 △ 3 y 0 y 2 △ 2 y 1 △ y 2 y 3 {\displaystyle {\begin{matrix}y_{0}&&&\\&\triangle y_{0}&&\\y_{1}&&\triangle ^{2}y_{0}&\\&\triangle y_{1}&&\triangle ^{3}y_{0}\\y_{2}&&\triangle ^{2}y_{1}&\\&\triangle y_{2}&&\\y_{3}&&&\\\end{matrix}}}
展開形式 差分的展開形式是均差展開形式的特殊情況[13] :
△ k y i = ∑ j = 0 k ( − 1 ) k − j ( k j ) y i + j , 0 ≤ k ≤ n − i {\displaystyle {\begin{aligned}\triangle ^{k}y_{i}&=\sum _{j=0}^{k}(-1)^{k-j}{\binom {k}{j}}y_{i+j},\quad 0\leq k\leq n-i\end{aligned}}} 這裡的表達式
( n k ) = ( n ) k k ! ( n ) k = n ( n − 1 ) ( n − 2 ) ⋯ ( n − k + 1 ) {\displaystyle {n \choose k}={\frac {(n)_{k}}{k!}}\quad \quad (n)_{k}=n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)} 是二項式係數 ,其中的(n)k 是“下降階乘冪 ”,空積 (n)0 被定義為1。
插值公式 其對應的牛頓插值公式為:
f ( x ) = y 0 + x − x 0 h ( Δ 1 y 0 + x − x 0 − h 2 h ( Δ 2 y 0 + ⋯ ) ) = y 0 + ∑ k = 1 n Δ k y 0 k ! h k ∏ i = 0 n − 1 ( x − x 0 − i h ) = y 0 + ∑ k = 1 n Δ k y 0 k ! ∏ i = 0 n − 1 ( x − x 0 h − i ) = ∑ k = 0 n ( x − x 0 h k ) Δ k y 0 {\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&=y_{0}+{\frac {x-x_{0}}{h}}\left(\Delta ^{1}y_{0}+{\frac {x-x_{0}-h}{2h}}\left(\Delta ^{2}y_{0}+\cdots \right)\right)\\&=y_{0}+\sum _{k=1}^{n}{\frac {\Delta ^{k}y_{0}}{k!h^{k}}}\prod _{i=0}^{n-1}(x-x_{0}-ih)\\&=y_{0}+\sum _{k=1}^{n}{\frac {\Delta ^{k}y_{0}}{k!}}\prod _{i=0}^{n-1}({\frac {x-x_{0}}{h}}-i)\\&=\sum _{k=0}^{n}{{\frac {x-x_{0}}{h}} \choose k}~\Delta ^{k}y_{0}\\\end{aligned}}}
無窮級數 牛頓 在1665年得出並在1671年寫的《流數法》中發表了ln(1+x)的無窮級數 ,在1666年得出了arcsin(x)和arctan(x)的無窮級數,在1669年的《分析學》中發表了sin(x)、cos(x)、arcsin(x)和ex 的無窮級數;萊布尼茨 在1673年大概也得出了sin(x)、cos(x)和arctan(x)的無窮級數。布魯克·泰勒 在1715年著作《Methodus Incrementorum Directa et Inversa》[14] 中研討了“有限差分”方法,其中論述了他在1712年得出的泰勒定理 ,這個成果此前詹姆斯·格雷果里 在1670年和萊布尼茨 在1673年已經得出,而約翰·伯努利 在1694年已經在《教師學報》發表。
他對牛頓的均差的步長取趨於0的極限 ,得出:
f ( x ) = f ( a ) + lim h → 0 ∑ k = 1 ∞ Δ h k [ f ] ( a ) k ! h k ∏ i = 0 k − 1 ( ( x − a ) − i h ) = f ( a ) + ∑ k = 1 ∞ d k d x k f ( a ) ( x − a ) k k ! {\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&=f(a)+\lim _{h\to 0}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\Delta _{h}^{k}[f](a)}{k!h^{k}}}\prod _{i=0}^{k-1}((x-a)-ih)\\&=f(a)+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {d^{k}}{dx^{k}}}f(a){\frac {(x-a)^{k}}{k!}}\\\end{aligned}}}
冪函數的均差 使用普通函數記號表示冪运算, p n ( x ) = x n {\displaystyle p_{n}(x)=x^{n}} ,有:
p j [ x 0 , … , x n ] = 0 ∀ j < n p n [ x 0 , … , x n ] = 1 p n + 1 [ x 0 , … , x n ] = x 0 + ⋯ + x n p n + m [ x 0 , … , x n ] = ∑ k 0 + ⋯ + k n = m ∏ t = 0 n x t k t {\displaystyle {\begin{aligned}p_{j}[x_{0},\dots ,x_{n}]&=0\qquad \forall j<n\\p_{n}[x_{0},\dots ,x_{n}]&=1\\p_{n+1}[x_{0},\dots ,x_{n}]&=x_{0}+\dots +x_{n}\\p_{n+m}[x_{0},\dots ,x_{n}]&=\sum _{k_{0}+\cdots +k_{n}=m}{\begin{matrix}\prod _{t=0}^{n}x_{t}^{k_{t}}\end{matrix}}\\\end{aligned}}} 此中n+1元m次齊次多項式 的記法同於多項式定理 。
泰勒形式 泰勒級數 和任何其他的函數級數,在原理上都可以用來逼近均差。將泰勒級數表示為:
f = f ( 0 ) p 0 + f ′ ( 0 ) p 1 + f ″ ( 0 ) 2 ! p 2 + … {\displaystyle f=f(0)p_{0}+f'(0)p_{1}+{\frac {f''(0)}{2!}}p_{2}+\dots } 均差的泰勒級數為:
f [ x 0 , … , x n ] = f ( 0 ) p 0 [ x 0 , … , x n ] + f ′ ( 0 ) p 1 [ x 0 , … , x n ] + ⋯ + f ( n ) ( 0 ) n ! p n [ x 0 , … , x n ] + … {\displaystyle f[x_{0},\dots ,x_{n}]=f(0)p_{0}[x_{0},\dots ,x_{n}]+f'(0)p_{1}[x_{0},\dots ,x_{n}]+\dots +{\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}p_{n}[x_{0},\dots ,x_{n}]+\dots } 前 n {\displaystyle n} 項消失了,因為均差的階高於多項式的階。可以得出均差的泰勒級數本質上開始於:
f ( n ) ( 0 ) n ! {\displaystyle {\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}} 依據均差中值定理 ,這也是均差的最簡單逼近。
皮亞諾形式 均差還可以表達為
f [ x 0 , … , x n ] = 1 n ! ∫ x 0 x n f ( n ) ( t ) B n − 1 ( t ) d t {\displaystyle f[x_{0},\ldots ,x_{n}]={\frac {1}{n!}}\int _{x_{0}}^{x_{n}}f^{(n)}(t)B_{n-1}(t)\,dt} 這裡的Bn-1 是數據點x0 ,...,xn 的n-1次B樣條 ,而f(n) 是函數f的n階導數 。這叫做均差的皮亞諾形式 ,而Bn-1 是均差的皮亞諾 核。
註釋與引用
参考书目
參見