四次方程的解法
数学家们为了解开四次方程——确切地说,找到解开四次方程的方法——做出了许多努力。像其它多项式一样,有时可以对四次方程进行因式分解;但高次幂下的因式分解往往非常困难,尤其是当根是无理数或复数时。因此找到一个公式解(就像二次方程的求根公式那样, 能解所有的一元二次方程)意义重大。经过诸多研究后,数学家们终于找到了四次方程的公式解。不过之后埃瓦里斯特·伽罗瓦证明,求根公式止步于四次方程,更高次幂的方程无法通过固定的公式求出。对于五次及以上的方程,需要一种更为有效的方式来求解。
由于四次方程的复杂性(参见下文),求解公式并不常用。如果只要求求解有理实根,可以使用试错法,该方法对于任意次数的多项式求解都有效。或是使用鲁菲尼法则求出,前提是所给的多项式的系数都是有理的。利用计算机编程,通过牛顿法等數值方法,可以轻易得到任意次方程的實數(數值)解。
特殊情况
名义上的四次方程
如果
,那么其中一个根为
,其它根可以通过消去四次项,并解产生的三次方程,
双二次方程
四次方程式中若
和
均為
者有下列形态:
因此它是一個雙二次方程式。解雙二次方程式非常容易,只要設
,我們的方程式便成為:
這是一個簡單的二次方程式,其根可用二次方程式的求根公式來解:
當我們求得 z 的值以後,便可以從中得到
的值:
若任何一個
的值為負數或複數,那麼一些
的值便是複數。
费拉里的方法
开始时,四次方程首先要被转化为低级的四次方程式。
转变成减少次数的四次方程
要让以下四次方程式变成标准的四次方程式,先在等式两边分别除以
第一步:消除
列。为了做到这一步,先把变量
变成
,其中
.
将变量替换:
展开后变成:
整理后变成以u为变量的表达式
现在改变表达式的系数,为
结果就是我们期望的低级四次方程式,为
如果
那么等式就变成了雙二次方程式,更加容易解决(解释上面);利用反向替代,我们可以获得我们要解决的变量
的值.
费拉里的解法
这种降低的四次方程的方法是被费拉里发现的,然而,这种方式曾经被发现过。接下来,利用一个恆等式
从方程 (1)和上式,得出:
结果把
配成了完全平方式:
。左式中,
并不出现,但其符号已改变并被移到右边。
下一步是在方程
左边的完全平方中插入变量
,相应地在右边插入一项
。根据恒等式
及
两式相加,可得
(
的插入)
与等式(2)相加,得
也就是
现在我们需要寻找一个
值,使得方程
的右边为完全平方。而这只要令二次方程的判别式为零。为此,首先展开完全平方式为二次式:
右边的二次式有三个系数。可以验证,把第二项系数平方,再减去第一与第三项系数之积的四倍,可得到零:
因此,为了使方程(3)的右边为完全平方,我们必须解出下列方程:
把二项式与多项式相乘,
两边除以
,再把
移动到右边,
这是关于
的三次方程。两边除以
,
转化嵌套的三次方程为降低次数的三次方程
方程
是嵌套的三次方程。为了解方程
,我们首先用换元法把它转化为减少次数的三次方程:
方程
变为
展开,得
合并同类项,得
这是嵌套的三次方程。
记
则此三次方程变为
解嵌套的降低次数的三次方程
方程
的解(三个解中任何一个都可以)为
- 令
- (由三次方程)
则原来的嵌套三次方程的解为
- 注意
:
- 注意
:
配成完全平方项
的值已由
式给定,现在知道等式
的右边是完全平方的形式
- 这对于平方根的正负号均成立,只要等式两边取相同的符号。
的正负是多余的,因为它将被本页后面马上将提到的另一个
消去。
从而它可分解因式为:
.- 注:若
则
。如果
则方程为双二次方程,前面已讨论过。
因此方程
化为
.
等式
两边各有一个乘起来的完全平方式。两完全平方式相等。
如果两平方式相等,则两平方式的因子也相等,即有下式:
.
对
合并同类项,得
.- 注:
及
中的下标
用来标记它们是相关的。
方程
是关于
的二次方程。其解为
化简,得
这就是降低次数的四次方程的解,因此原来的四次方程的解为
- 注意:两个
来自等式
的同一处,并且它们应有相同的符号,而
的符号是无关的。
费拉里方法的概要
给定一个四次方程
其解可用如下方法求出:
- 若
,求解
并代入
,求得根
.
(平方根任一正负号均可)
(有三个复根,任一个均可)
- 两个
必须有相同的符号,
的符号无关。为得到全部的根,对
,
,
,
,
及
及
及
来求
。二重根将得出两次,三重根及四重根将得出四次(尽管有
,是一种特殊的情况)。方程根的次序取决于立方根
的选取。(见对
相对
的注)
此即所求。
还有解四次方程的其他方法,或许更好些。费拉里首先发现这些迷宫般的解之一。他所解的方程是
,
它已经化为简约的形式。它有一对解,可由上面给出的公式得到。
笛卡兒方法
此四次方程是下列两个二次方程之积:
以及
由于
因此
设
则方程
变为
同时有(未知的)变量
和
使方程
变为
方程
与
相乘,得
把方程
与原来的二次方程比较,可知
及
因此
方程
的解为
这两个解中的一个应是所求的实解。
歐拉的方法
寫出式子
,令
,把上式改寫為
,再利用係數
造出另一式子:
, 求出
的三根,並用
代表它們。那麼
的四個根就是
合併來看二次方程根的樣式為
,其中
三次方程根的樣式為
,其中
四次方程根的樣式為
,其中
延伸這樣式,暗示了五次方程尋根的方向。
其它方法
化为双二次方程
一个例子可见双二次方程。
求根公式
四次方程的求根公式可以通过上述的伽罗瓦理论和因式分解得到。[1]对于
,有:[2]
[來源請求]
PlanetMath指出,这四个形式直接使用,即使是在计算机上也过于复杂。[2]这四个解的推导过程的最后几步有较为简单的中间形式可以采用。得到这些解需要用到三次方程的求根公式。[1]
參見
文獻