周期函数
在数学中,周期函数是無論任何独立变量上經過一个确定的周期之后数值皆能重复的函数。我们日常所见的钟表指针以及月亮的月相都呈现出周期性的特点。周期性运动是系统的运动位置呈现周期性的运动。
对于实数或者整数函数来说,周期性意味着按照一定的间隔重复一个特定部分就可以绘制出完整的函数图。如果在函数中所有的位置都满足
那么,就是周期为的周期函数。非周期函数就是没有类似周期的函数。
如果周期函数的周期为,那么对于中的任意以及任意整数,有
若,則。但是函数周期不一定是满足上述等式的最小值,也可以是。常見的周期函數有,和等。
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/38/Sine_cosine_plot.svg/300px-Sine_cosine_plot.svg.png)
一个简单的例子是的小数变量:
通用定义
设 为封闭性运算
上的一个集合,在
中周期为
的周期函数是满足如下条件的函数
集合
:
- 对于
中的所有
,满足
且
。
注意:除非 是可交换的,否则
必须位于右侧。
周期 不是唯一的,
的所有整数倍都是函数的周期。若最小正週期
存在,則稱
為函數的基本週期。
周期序列
平移对称
如果用周期函数描述一件物体,如用位置的函数表示无限图像的颜色,那么函数的周期性就对应于物体的平移对称。