古爾丁定理
古爾丁定理(英語:Guldinus theorem),最初由古希臘的帕普斯發現,後來在16世紀保羅·古爾丁又重新發現了這個定理。
表面積
- 有一條平面曲線,跟它的同一個平面上有一條軸。由該平面曲線以該條軸與旋轉而產生的旋轉曲面的表面積
,等於曲線的長度
乘以曲線的幾何中心經過的距離
:
。
若有平面連續曲線 ,求
在
時,曲線以
軸旋轉所得的曲面表面積。可考慮一小段曲線,其幾何中心便是
,曲線長度為
,因此這個曲面的表面積便是:
。
體積
- 由平面形狀繞和它的同一個平面上的軸旋轉而產生的旋轉體的體積
,等於平面形狀面積
乘以平面形狀的幾何中心經過的距離
的積:
。
再考慮一般平面曲線下的面積的情況,可得旋轉體體積 。