在數學中,交換環上的代數或多元環是一種代數結構,上下文不致混淆時通常逕稱代數。
本頁面中的環都是指有單位的環,並使用么環一詞表示則是不一定有單位的環。
定義
給定一個交換環
。
代數
給定一個四元組
。如果以下兩個條件成立:
是一個
-模。
是一個
的內部運算(即
),並且是
-雙線性的。也就是說內部運算
符合以下三點:
那麼我們說四元組
是一個
上的代數(或稱
-代數),或簡稱集合
是一個
-代數。
結合代數、有單位的代數、交換代數
設
為一個
-代數。
- 如果內部運算
符合結合律,那麼我們說
是一個結合代數。 - 如果內部運算
有一個單位元(即
),那麼此單位元是唯一的並且我們說
是一個有單位的代數。 - 如果內部運算
符合交換律,那麼我們說
是一個交換代數。
註:有些作者用結合代數來稱呼結合且有單位的代數,或是用交換代數來稱呼結合、有單位且交換的代數。本頁面使用上述段落給的定義而不採用這些稱呼。
等價定義
一樣給定一個交換環
。
給定一個四元組
。 這是一個
上的結合代數(
結合且有單位的代數、
結合、有單位且交換的代數)當且僅當以下三個條件成立:
是一個
-模。
是一個環(
一個幺環、
一個交換環)。
是一個
的內部運算(即
),並且是
-雙線性的。
註:上述條件中的第三個條件在第一及第二條件成立下等價為:
是一個
的內部運算(即
),並符合
上述只是將最初定義重整理一次。然而我們可以用別種結構來理解結合且有單位的代數:
- 給定一個結合且有單位的
-代數
就等於給定一個二元組
:其中
是一個環,而
是一個滿足
的環同態。(
代表環
的中心,也就是
)。
原因是如果
是一個結合且有單位的
-代數,那麼
是一個環並且
是一個環同態,滿足
。反過來看,如果
是一個環,而
是一個滿足
的環同態,那麼我們可以定義外部運算
(即
)。
上環的結構與此外部運算結構使其成為一個
-模並且成為一個結合且有單位的
-代數。
將上述性質套用在交換環上,我們便可得到結合、有單位且交換的代數的另一種看法:
- 給定一個結合、有單位且交換的
-代數
就等於給定一個二元組
:其中
是一個交換環,而
是一個的環同態。
結構常數
例子
參見
文獻