数值分析中,交替方向隐式法(Alternating direction implicit method)是有限差分法的一种,用于求解抛物线型偏微分方程或椭圆型偏微分方程[1]。特别适用于求解二维及更高维度的热传导方程与扩散方程。
求解热传导方程在传统上使用Crank-Nicolson方法,该方法较为耗时。ADI的优点在于,每一迭代步中,所求解的方程具有更为简单的结构,因此更易于求解。
方法
考虑二维扩散方程,
隐式Crank-Nicolson方法将给出以下有限差分方程:
其中,是关于坐标方向p上的中心差分算符。通过稳定性分析可以证明该方法对于任意都表现稳定。
但是,Crank-Nicolson方法的缺点在于,上述方程中的带状矩阵分布过宽,这使得求解方程相当耗时。
ADI方法的思想在于将一个有限差分方程分割为两个,一个在x方向上隐式求导,另一个在y方向上隐式求导。
这样,该方程系统涉及一个对称阵和一个三角矩阵,可以用三对角阵的求解算法进行计算。
可以证明,二维条件下该方法无条件稳定[2]。
在此基础上扩展有更多的ADI方法,如Douglas[3],f-factor方法[4],可用于求解三维及更高维的问题。
参考文献
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| 有限差分法 | 热传导方程及其相关 | |
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| 双曲方程 | Lax–Friedrichs 方法 · Lax–Wendroff 方法 · MacCormack 方法 · 迎风格式 · 特征线法 |
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| 其他方法 | |
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| 有限体积法 | 戈杜诺夫格式 · High-resolution scheme · MUSCL 格式 · AUSM · Riemann solver |
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| 有限元法 | hp-FEM · 扩展有限元法 · 不连续伽辽金法(Galerkin) · Spectral element method · Meshfree methods · Mortar methods |
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| 无网格方法 | 光滑粒子流体动力学 (SPH) · 移动粒子半隐式法 (MPS) · Material point method (MPM) |
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| 区域分解法 | Schur complement method · Fictitious domain method · Schwarz alternating method · Additive Schwarz method · Abstract additive Schwarz method · Neumann–Dirichlet method · Neumann–Neumann methods · Poincaré–Steklov operator · Balancing domain decomposition · BDDC · FETI · FETI-DP |
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| 其他方法 | 谱方法 · 拟谱方法 · Method of lines · 多重网格法 · Collocation method · 水平集方法 · Boundary element method · Analytic element method · Particle-in-cell · 無限差分法 · 無限单元法 · 基本解方法 |
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