定義
历史動機
無窮乘積
Γ積分
递推公式
重要性质
- 當
時,
- 歐拉反射公式(余元公式):
.- 由此可知当
时,
.
- 伽马函数还是负自然指数函数的梅林变换:
。
.
.
[2]
此式可用來協助計算t分布機率密度函數、卡方分布機率密度函數、F分布機率密度函數等的累計機率。
對任何實數α
斯特靈公式
斯特靈公式能用以估計
函数的增長速度。公式為:
其中e約等於2.718281828459。
特殊值
连分数表示
伽马函数也可以在复数域表示为两个连分数之和[3]:
导数
Γ函數(藍色)、Γ函數的微分(橘色),其中,大於50與小於-20的部分被截掉。
對任何複數z,滿足 Re(z) > 0,有
於是,對任何正整數 m
其中γ是歐拉-馬歇羅尼常數。
复数值
解析延拓
Γ函數的絕對值函數圖形注意到在
函數的積分定義中若取
為實部大於零之複數、則積分存在,而且在右半複平面上定義一個全純函數。利用函數方程
並注意到函數
在整個複平面上有解析延拓,我們可以在
時設
從而將
函數延拓為整個複平面上的亞純函數,它在
有單極點,留數為
程式實現
許多程式語言或試算表軟體有提供Γ函数或對數的Γ函数,例如EXCEL。而對數的Γ函数還要再取一次自然指數才能獲得Γ函数值。例如在EXCEL中,可使用GAMMALN函数,再用EXP[GAMMALN(X)]
,即可求得任意實数的伽玛函数的值。
- 例如在EXCEL中:
EXP[GAMMALN(4/3)]
=0.89297951156925
而在沒有提供Γ函数的程式環境中,也能夠過泰勒級數或斯特靈公式等方式來近似,例如Robert H. Windschitl在2002年提出的方法,其在十進制可獲得有效數字八位數的精確度[4],已足以填滿單精度浮點數的二進制有效數字24位:
参见
參考文獻
外部链接