Erdős-Borwein 常數

可以好容易證明到以下嘅和都係等於Erdős-Borwein 常數：

${\displaystyle E=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n^{2}}}}{\frac {2^{n}+1}{2^{n}-1}}}$

${\displaystyle E=\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{mn}}}}$

${\displaystyle E=1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}(2^{n}-1)}}}$

${\displaystyle E=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma _{0}(n)}{2^{n}}}}$

其中${\displaystyle \sigma _{0}(n)=d(n)}$ 係除數函數，即係數${\displaystyle n}$ 有幾多個因數，係一個乘性函數嚟。要證明佢哋真係一樣，可以留意佢哋係寫咗做Lambert 級數嘅形式，所以可以調次序嚟加。^[1]

Erdős 喺 1948年證明咗呢個常數${\displaystyle E}$ 係一個無理數，^[2]之後 Borwein 提供咗另一個證明。^[3]

雖然佢係無理數，佢嘅二進制表達係可以好容易計到出嚟。^[4][5]

喺堆排序（heapsort）嘅最差情況分析入邊會出現Erdős-Borwein 常數，佢控制著將一個未排序陣列轉換成堆嘅時間。^[6]

• Weisstein, Eric W., "Erdos-Borwein Constant" - MathWorld.（英文）