正交 (Orthogonal) 係直觀概念入面垂直 嘅推廣。作為一個形容詞,只有喺一個確定嘅內積空間 當中先至有意義。若果內積空間 入面兩向量 嘅內積 係 0 ,咁就係叫做正交 。如果能夠定義向量間嘅夾角,咁正交就可以直接理解成垂直 。
各種正交概念
正交子空間 若內積空間 中兩個向量 嘅內積 都係 0,咁佢地兩者就係正交 。類似地,若內積空間 入面嘅向量 v 同子空間 A 入面嘅每個向量都正交嘅話,咁呢個向量就係同子空間A 正交。若果內積空間 嘅子空間 A 同 B 滿足其中一個嘅每個向量都同另一者正交,咁佢地就都係正交子空間。
正交變換 正交變換 T : V → V {\displaystyle T:V\rightarrow V} 係保持內積 嘅線性變換。即是話,對兩個向量,佢地嘅內積等於佢地喺函數 T 下嘅像嘅內積:
⟨ T x , T y ⟩ = ⟨ x , y ⟩ . {\displaystyle \langle Tx,Ty\rangle =\langle x,y\rangle .} 即係話正交變換保持向量嘅長度唔變,亦都保持兩個向量之間嘅角度不變。
歐氏空間嘅例子 喺 2D 或者 3D 嘅歐幾裡德空間入面,兩個向量正交 if and only if 佢地嘅點積 係零,即係佢地成 90°角。可以睇得出正交嘅概念正係喺呢個基礎上推廣而嚟嘅。喺 3D 空間入面,一條直線嘅正交子空間係一個平面,相反亦都係一樣。4D 空間入面,一條直線嘅正交子空間就係一個超平面(Hyperplane)。
正交函數集 對於兩個函數 f 同g ,可以定義如下的內積:
⟨ f , g ⟩ w = ∫ a b f ( x ) g ( x ) w ( x ) d x . {\displaystyle \langle f,g\rangle _{w}=\int _{a}^{b}f(x)g(x)w(x)\,dx.} 呢度引進一個非負嘅權函數 w ( x ) {\displaystyle w(x)} 。呢個內積叫做帶權 w ( x ) {\displaystyle w(x)} 嘅內積。
兩個函數帶權 w ( x ) {\displaystyle w(x)} 正交 ,係指佢地帶權 w ( x ) {\displaystyle w(x)} 嘅內積係 0 。
∫ a b f ( x ) g ( x ) w ( x ) d x = 0. {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)g(x)w(x)\,dx=0.} 由此可以類似定義帶權 w ( x ) {\displaystyle w(x)} 嘅模。
| | f | | w = ⟨ f , f ⟩ w {\displaystyle ||f||_{w}={\sqrt {\langle f,f\rangle _{w}}}} 一個函數列{ f i : i = 1, 2, 3, ... }如果滿足:
⟨ f i , f j ⟩ = ∫ − ∞ ∞ f i ( x ) f j ( x ) w ( x ) d x = | | f i | | 2 δ i , j = | | f j | | 2 δ i , j {\displaystyle \langle f_{i},f_{j}\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }f_{i}(x)f_{j}(x)w(x)\,dx=||f_{i}||^{2}\delta _{i,j}=||f_{j}||^{2}\delta _{i,j}} 就叫做帶權 w ( x ) {\displaystyle w(x)} 嘅正交函數族 。
如果滿足:
⟨ f i , f j ⟩ = ∫ − ∞ ∞ f i ( x ) f j ( x ) w ( x ) d x = δ i , j {\displaystyle \langle f_{i},f_{j}\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }f_{i}(x)f_{j}(x)w(x)\,dx=\delta _{i,j}} 其中
δ i , j = { 1 i f i = j 0 i f i ≠ j } {\displaystyle \delta _{i,j}=\left\{{\begin{matrix}1&\mathrm {if} \ i=j\\0&\mathrm {if} \ i\neq j\end{matrix}}\right\}} 為克羅內克函數。 就叫做帶權 w ( x ) {\displaystyle w(x)} 嘅標準正交函數族
參見正交多項式
睇埋