Стала Ейлера — Маскероні

Константа вперше з'явилася в 1734 році в роботі швейцарського математика Леонарда Ейлера «De Progressionibus harmonicis observationes» (Eneström Index 43). Для константи Ейлер використовував позначення C та O. У 1790 році італійський математик Лоренцо Маскероні^[it] використав для константи позначення A та a. Позначення γ ніде не зустрічається в роботах ні Ейлера, ні Маскероні, і було обране^[3] пізніше, можливо, через зв'язок константи з гамма-функцією. Наприклад, німецький математик Карл Антон Бретшнайдер^[de] використовував позначення γ у 1835 році, ^[4] а Август де Морган використовував його в підручнику, опублікованому частинами з 1836 по 1842 роки.^[5]

Стала Ейлера, серед іншого, зустрічається ('*' означає, що відповідний елемент містить рівняння у явному вигляді), зокрема, в таких поняттях:

• співвідношення з експоненційним інтегралом*;
• перетворення Лапласа* для натурального логарифма;
• перший член розкладу в Ряд Лорана для Дзета-функції Рімана*, де вона є першою з констант Стілтьєса*;
• обчислення дигамма-функції;
• формула добутку для гамма-функції;
• асимптотичний розклад гамма-функції для малих аргументів;
• нерівність для функції Ейлера;
• швидкість зростання функції дільників;
• у регуляризації розмірності Діаграм Фейнмана в квантовій теорії поля;
• обчислення сталої Мейселя — Мертенса;
• третя теорема Мертенса*;
• розв'язок рівняння Бесселя другого роду;
• у регуляризації/перенормуванні гармонічного ряду як скінченне значення;
• математичне сподівання розподілу Гамбеля^[en];
• інформаційна ентропія розподілів Вейбулла і Леві і, неявно, розподілу хі-квадрат для одного або двох степенів вільності;
• розв'язок задачі про збирача купонів*;
• у деяких формулюваннях закону Ципфа;
• означення інтегрального косинуса*;
• нижня межа щілини простих чисел;
• верхня межа ентропії Шеннона в квантовій теорії інформації;^[6].
• модель Фішера—Орра для генетики адаптації в еволюційній біології;^[7]

Не доведено чи є число ${\displaystyle \gamma }$ алгебраїчним або трансцендентним. Насправді навіть невідомо, чи є ${\displaystyle \gamma }$ ірраціональним. Використовуючи ланцюгові дроби, Папаніколау показав у 1997 році, що якщо ${\displaystyle \gamma }$ є раціональним, його знаменник повинен бути більшим за 10²⁴⁴⁶⁶³.^[8][9] Універсальність числа ${\displaystyle \gamma }$ підтверджується великою кількістю рівнянь нижче, що робить питання ірраціональності ${\displaystyle \gamma }$ є головним відкритим питанням у математиці.^[10]

Проте певний прогрес все ж досягнуто.Курт Малер показав у 1968 р., що число ${\displaystyle {\dfrac {\pi Y_{0}(2)}{2J_{0}(2)}}-\gamma }$ є трансцендентним (тут ${\displaystyle J_{\alpha }(x)}$ і ${\displaystyle Y_{\alpha }(x)}$ є функціями Бесселя^[11]. У 2009 році Олександр Аптекарев довів, що принаймні одна з констант Ейлера ${\displaystyle \gamma }$ або Ейлера — Гомперца^[en] ${\displaystyle \delta }$ є ірраціональною^[12]. Тангі Рівоаль довів у 2012 році, що принаймні одна з них є трансцендентною.^[13] У 2010 р. М. Рам Мурті^[en] та Н.Сарадха показали, що принаймі одне з чисел вигляду

${\displaystyle \gamma (a,q)=\lim _{n\to +\infty }\left(\left(\sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{a+kq}}\right)-{\frac {\log(a+nq)}{q}}\right),}$

де ${\displaystyle q\geq 2}$ і ${\displaystyle 1\leq a<q}$ , є алгебраїчним; це сімейство включає частинний випадок ${\displaystyle \gamma (2,4)={\frac {\gamma }{4}}}$ .^[14] У 2013 році М. Рам Мурті та А. Зайцева знайшли іншу сім'ю, що містить ${\displaystyle \gamma }$ , яке базується на сумах обернених цілих чисел, які не діляться на фіксований список простих чисел з однією і тією ж властивістю.^[15]

${\displaystyle \gamma }$ пов'язана з дигамма-функцією ${\displaystyle \Psi }$ , а отже із похідною від гамма-функції, якщо обидві функції обчислювати в 1. Таким чином,

${\displaystyle -\gamma =\Gamma '(1)=\Psi (1).}$

Це дорівнює границям:

${\displaystyle {\begin{aligned}-\gamma &=\lim _{z\to 0}\left(\Gamma (z)-{\frac {1}{z}}\right)=\lim _{z\to 0}\left(\Psi (z)+{\frac {1}{z}}\right).\end{aligned}}}$

Подальші обчислення границь:^[16]

${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{z\to 0}{\frac {1}{z}}\left({\frac {1}{\Gamma (1+z)}}-{\frac {1}{\Gamma (1-z)}}\right)&=2\gamma \\\lim _{z\to 0}{\frac {1}{z}}\left({\frac {1}{\Psi (1-z)}}-{\frac {1}{\Psi (1+z)}}\right)&={\frac {\pi ^{2}}{3\gamma ^{2}}}.\end{aligned}}}$

Границя пов'язана з бета-функцією (записана за допомогою гамма-функції):

${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {\Gamma \left({\frac {1}{n}}\right)\Gamma (n+1)\,n^{1+{\frac {1}{n}}}}{\Gamma \left(2+n+{\frac {1}{n}}\right)}}-{\frac {n^{2}}{n+1}}\right)=\lim \limits _{m\to \infty }\sum _{k=1}^{m}{m \choose k}{\frac {(-1)^{k}}{k}}\log {\big (}\Gamma (k+1){\big )}.\end{aligned}}}$

${\displaystyle \gamma }$ також можна виразити як нескінченну суму, члени якої включають дзета-функцію Рімана, яка обчислюється для цілих додатних числах:

${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=\sum _{m=2}^{\infty }(-1)^{m}{\frac {\zeta (m)}{m}}=\log {\frac {4}{\pi }}+\sum _{m=2}^{\infty }(-1)^{m}{\frac {\zeta (m)}{2^{m-1}m}}.\end{aligned}}}$

Інші ряди, пов'язані з дзета-функцією, включають:

${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &={\tfrac {3}{2}}-\log 2-\sum _{m=2}^{\infty }(-1)^{m}\,{\frac {m-1}{m}}{\big (}\zeta (m)-1{\big )}=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {2n-1}{2n}}-\log n+\sum _{k=2}^{n}\left({\frac {1}{k}}-{\frac {\zeta (1-k)}{n^{k}}}\right)\right)=\\&=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {2^{n}}{e^{2^{n}}}}\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {2^{mn}}{(m+1)!}}\sum _{t=0}^{m}{\frac {1}{t+1}}-n\log 2+O\left({\frac {1}{2^{n}\,e^{2^{n}}}}\right)\right).\end{aligned}}}$

Похибка в останньому рівнянні є швидкоспадною функцією змінної ${\displaystyle n}$ .У результаті формула добре підходить для ефективного обчислення константи з високою точністю.

Іншими цікавими границями, що дорівнюють сталій Ейлера, є антисиметрична границя:^[17]

${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=\lim _{s\to 1^{+}}\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n^{s}}}-{\frac {1}{s^{n}}}\right)=\lim _{s\to 1}\left(\zeta (s)-{\frac {1}{s-1}}\right)=\lim _{s\to 0}{\frac {\zeta (1+s)+\zeta (1-s)}{2}}\end{aligned}}}$

і наступна формула, отримана в 1898 році де ла Валле-Пуссеном:

${\displaystyle \gamma =\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\,\sum _{k=1}^{n}\left(\left\lceil {\frac {n}{k}}\right\rceil -{\frac {n}{k}}\right)}$

де ${\displaystyle \lceil \,\rceil }$ функція стеліЦя формула вказує, що коли беремо будь-яке натуральне число ${\displaystyle n}$ і ділимо його на будь—яке натуральне число ${\displaystyle k}$ менше за ${\displaystyle n}$ , то середня частка до якої спадає частка ${\displaystyle {\frac {n}{k}}}$ менша наступного цілого числа, прямує до ${\displaystyle \gamma }$ (ніж до ${\displaystyle 0{,}5}$ ), якщо ${\displaystyle n}$ прямує до нескінченності.

З цим тісно пов'язане представлення у вигляді раціонального дзета-ряду.Взявши окремо декілька перших членів ряду наведеного вище, можна отримати оцінку для класичної границі ряду:

${\displaystyle \gamma =\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}-\log n-\sum _{m=2}^{\infty }{\frac {\zeta (m,n+1)}{m}},}$

де ${\displaystyle \zeta (s,k)}$ дзета-функція Гурвіца.Сума в цьому рівнянні включає гармонічні числа ${\displaystyle H_{n}}$ .Розписавши деякі члени дзета-функції Гурвіца отримуємо:

${\displaystyle H_{n}=\log(n)+\gamma +{\frac {1}{2n}}-{\frac {1}{12n^{2}}}+{\frac {1}{120n^{4}}}-\varepsilon ,}$

де ${\displaystyle 0<\varepsilon <{\dfrac {1}{252n^{6}}}}$ .${\displaystyle \gamma }$ також можна представити наступним чином:

${\displaystyle \gamma =12\,\log(A)-\log(2\pi )+{\frac {6}{\pi ^{2}}}\,\zeta '(2)}$

де ${\displaystyle A}$ стала Глейшера — Кінкеліна.${\displaystyle \gamma }$ також можна представити у вигляді:

${\displaystyle \gamma =\lim _{n\to \infty }{\biggl (}-n+\zeta {\Bigl (}{\frac {n+1}{n}}{\Bigr )}{\biggr )}}$

який отримується з розкладу дзета-функції у ряд Лорана.

${\displaystyle \gamma }$ дорівнює таким значенням визначених інтегралів:

${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=-\int _{0}^{\infty }e^{-x}\log x\,dx\quad =-\int _{0}^{1}\log \left(\log {\frac {1}{x}}\right)dx\quad =\int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{e^{x}-1}}-{\frac {1}{x\cdot e^{x}}}\right)dx=\\&=\int _{0}^{1}{\frac {1-e^{-x}}{x}}\,dx-\int _{1}^{\infty }{\frac {e^{-x}}{x}}\,dx\quad =\int _{0}^{1}\left({\frac {1}{\log x}}+{\frac {1}{1-x}}\right)dx=\\&=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{1+x^{k}}}-e^{-x}\right){\frac {dx}{x}},\quad k>0\\&=2\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-x^{2}}-e^{-x}}{x}}\,dx\quad =\int _{0}^{1}H_{x}\,dx,\end{aligned}}}$

де ${\displaystyle H_{x}}$ дробове Гармонічне число.Третю формулу в інтегральному списку можна довести наступним чином:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{e^{x}-1}}-{\frac {1}{xe^{x}}}\right)dx=\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-x}+x-1}{x[e^{x}-1]}}dx=\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{x[e^{x}-1]}}\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{m+1}x^{m+1}}{(m+1)!}}dx\\[2pt]&=\int _{0}^{\infty }\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{m+1}x^{m}}{(m+1)![e^{x}-1]}}dx=\sum _{m=1}^{\infty }\int _{0}^{\infty }{\frac {(-1)^{m+1}x^{m}}{(m+1)![e^{x}-1]}}dx=\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{m+1}}{(m+1)!}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{m}}{e^{x}-1}}dx\\[2pt]&=\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{m+1}}{(m+1)!}}m!\zeta (m+1)=\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{m+1}}{m+1}}\zeta (m+1)=\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{m+1}}{m+1}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{m+1}}}=\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{m+1}}{m+1}}{\frac {1}{n^{m+1}}}\\[2pt]&=\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{m+1}}{m+1}}{\frac {1}{n^{m+1}}}=\sum _{n=1}^{\infty }\left[{\frac {1}{n}}-\ln \left(1+{\frac {1}{n}}\right)\right]=\gamma \end{aligned}}}$

Інтеграл у третьому рядку— значення функції Дебая в ${\displaystyle +\infty }$ , яке в свою чергу дорівнює ${\displaystyle m!\zeta (m+1)}$ .

Визначені інтеграли, у яких зустрічається ${\displaystyle \gamma }$  :

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }e^{-x^{2}}\log x\,dx&=-{\frac {(\gamma +2\log 2){\sqrt {\pi }}}{4}}\\\int _{0}^{\infty }e^{-x}\log ^{2}x\,dx&=\gamma ^{2}+{\frac {\pi ^{2}}{6}}\\\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{-|x|}\log |x|}{2}}\,dx&=\gamma \end{aligned}}}$

Можна виразити ${\displaystyle \gamma }$ , використовуючи частинний випадок формули Хаджикостаса^[18] як подвійний інтеграл з еквівалентним рядом:

${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {x-1}{(1-xy)\log xy}}\,dx\,dy=\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n}}-\log {\frac {n+1}{n}}\right).\end{aligned}}}$

Цікавим є порівняння Сондоу:

${\displaystyle {\begin{aligned}\log {\frac {4}{\pi }}&=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {x-1}{(1+xy)\log xy}}\,{\rm {d}}x\,{\rm {d}}y\\&=\sum _{n=1}^{\infty }\left((-1)^{n-1}\left({\frac {1}{n}}-\log {\frac {n+1}{n}}\right)\right).\end{aligned}}}$

Це показує, що ${\displaystyle \log {\frac {4}{\pi }}}$ можна розглядати як «знакозмінну сталу Ейлера».Ці дві сталі також пов'язані за допомогою пари рядів^[19]

${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {N_{1}(n)+N_{0}(n)}{2n(2n+1)}}\\\log {\frac {4}{\pi }}&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {N_{1}(n)-N_{0}(n)}{2n(2n+1)}},\end{aligned}}}$

де ${\displaystyle N_{1}(n)}$ і ${\displaystyle N_{0}(n)}$ — відповідно кількість одиниць і нулів у розкладі ${\displaystyle n}$ за основою 2.Також ${\displaystyle \gamma }$ можна записати за допомогою інтеграла^[20] Каталана

${\displaystyle \gamma =\int _{0}^{1}\left({\frac {1}{1+x}}\sum _{n=1}^{\infty }x^{2^{n}-1}\right)\,dx.}$

У загальному випадку

${\displaystyle \gamma =\lim _{n\to \infty }\left({\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\ldots +{\frac {1}{n}}-\log(n+\alpha )\right)\equiv \lim _{n\to \infty }\gamma _{n}(\alpha )}$

для будь-якого ${\displaystyle \alpha >-n}$ .Однак швидкість збіжності цього розкладу значною мірою залежить від ${\displaystyle \alpha }$ .Зокрема, ${\displaystyle \gamma _{n}\left({\frac {1}{2}}\right)}$ демонструє набагато швидшу збіжність, ніж стандартний розклад ${\displaystyle \gamma _{n}(0)}$ .^[21][22] Це тому, що

${\displaystyle {\frac {1}{2(n+1)}}<\gamma _{n}(0)-\gamma <{\frac {1}{2n}},}$

коли

${\displaystyle {\frac {1}{24(n+1)^{2}}}<\gamma _{n}(1/2)-\gamma <{\frac {1}{24n^{2}}}.}$

Тим не менш, існують інші розклади рядів, які збігаються швидше, ніж цей; деякі з них розглянуті нижче.

Ейлер показав, що наступний нескінченний ряд збігається до ${\displaystyle \gamma }$ :

${\displaystyle \gamma =\sum _{k=1}^{\infty }\left({\frac {1}{k}}-\log \left(1+{\frac {1}{k}}\right)\right).}$

Цей ряд для ${\displaystyle \gamma }$ еквівалентний ряду Нільсена, знайденому в 1897 році:^[23][24]

${\displaystyle \gamma =1-\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\left\lfloor \log _{2}k\right\rfloor }{k+1}}.}$

У 1810 році Вакка знайшов тісно пов'язаний ряд^{[25][26][27][28][29][30][31]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\left\lfloor \log _{2}k\right\rfloor }{k}}\\[5pt]&={\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {1}{3}}+2\left({\tfrac {1}{4}}-{\tfrac {1}{5}}+{\tfrac {1}{6}}-{\tfrac {1}{7}}\right)+3\left({\tfrac {1}{8}}-{\tfrac {1}{9}}+{\tfrac {1}{10}}-{\tfrac {1}{11}}+\cdots -{\tfrac {1}{15}}\right)+\cdots ,\end{aligned}}}$

де ${\displaystyle \log _{2}}$  — це логарифм за основою 2, ${\displaystyle \lfloor ~\rfloor }$  — функція підлоги.

У 1926 році він знайшов інший ряд:

${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma +\zeta (2)&=\sum _{k=2}^{\infty }\left({\frac {1}{\left\lfloor {\sqrt {k}}\right\rfloor ^{2}}}-{\frac {1}{k}}\right)\\[5pt]&=\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {k-\left\lfloor {\sqrt {k}}\right\rfloor ^{2}}{k\left\lfloor {\sqrt {k}}\right\rfloor ^{2}}}\\[5pt]&={\frac {1}{2}}+{\frac {2}{3}}+{\frac {1}{2^{2}}}\sum _{k=1}^{2\cdot 2}{\frac {k}{k+2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}\sum _{k=1}^{3\cdot 2}{\frac {k}{k+3^{2}}}+\cdots \end{aligned}}}$

Із розкладу в ряд Мальстена^[en]—Куммера для логарифма гамма-функції^[32]отримуємо

${\displaystyle \gamma =\log \pi -4\log \left(\Gamma ({\tfrac {3}{4}})\right)+{\frac {4}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k+1}{\frac {\log(2k+1)}{2k+1}}.}$

Важливий розклад у ряд сталої Ейлера отримали Фонтаною^[en] і Маскероні:

${\displaystyle \gamma =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {|G_{n}|}{n}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{24}}+{\frac {1}{72}}+{\frac {19}{2880}}+{\frac {3}{800}}+\cdots ,}$

де ${\displaystyle G_{n}}$ — коефіцієнти Грегорі.^[33][34][35]Цей ряд є частинним випадком (при ${\displaystyle k=1}$ ) наступного розкладів:

${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=H_{k-1}-\log k+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(n-1)!|G_{n}|}{k(k+1)\cdots (k+n-1)}}&&\\&=H_{k-1}-\log k+{\frac {1}{2k}}+{\frac {1}{12k(k+1)}}+{\frac {1}{12k(k+1)(k+2)}}+{\frac {19}{120k(k+1)(k+2)(k+3)}}+\cdots &&\end{aligned}}}$

які є збіжними при^[36].

Аналогічний ряд записаний з використанням чисел Коші другого роду ${\displaystyle C_{n}}$ має вигляд:^[37]

${\displaystyle \gamma =1-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {C_{n}}{n\,(n+1)!}}=1-{\frac {1}{4}}-{\frac {5}{72}}-{\frac {1}{32}}-{\frac {251}{14400}}-{\frac {19}{1728}}-\ldots }$

Благоучин (2018) знайшов цікаве узагальнення ряду Фонтана—Машероні

${\displaystyle \gamma =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{2n}}{\Big \{}\psi _{n}(a)+\psi _{n}{\Big (}-{\frac {a}{1+a}}{\Big )}{\Big \}},\quad a>-1}$

де ${\displaystyle \psi _{n}(a)}$  — многочлени Бернуллі другого роду^[en], які визначаються твірною функцією

${\displaystyle {\frac {z(1+z)^{s}}{\log(1+z)}}=\sum _{n=0}^{\infty }z^{n}\psi _{n}(s),\qquad |z|<1,}$

Для будь-якого раціонального ${\displaystyle a}$ цей ряд містить лише раціональні доданки.Наприклад, при ${\displaystyle a=1}$ маємо^[38][39]

${\displaystyle \gamma ={\frac {3}{4}}-{\frac {11}{96}}-{\frac {1}{72}}-{\frac {311}{46080}}-{\frac {5}{1152}}-{\frac {7291}{2322432}}-{\frac {243}{100352}}-\ldots }$

Інші ряди з такими ж многочленами включають такі приклади:

${\displaystyle \gamma =-\log(a+1)-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}\psi _{n}(a)}{n}},\qquad \Re (a)>-1}$

та

${\displaystyle \gamma =-{\frac {2}{1+2a}}\left\{\log \Gamma (a+1)-{\frac {1}{2}}\log(2\pi )+{\frac {1}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}\psi _{n+1}(a)}{n}}\right\},\qquad \Re (a)>-1}$

де ${\displaystyle \Gamma (a)}$  — гамма-функція.Ряд, пов'язаний з алгоритмом Акіяма—Танігави, має вигляд

${\displaystyle \gamma =\log(2\pi )-2-2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}G_{n}(2)}{n}}=\log(2\pi )-2+{\frac {2}{3}}+{\frac {1}{24}}+{\frac {7}{540}}+{\frac {17}{2880}}+{\frac {41}{12600}}+\ldots }$

де ${\displaystyle G_{n}(2)}$  — коефіцієнти Грегорі другого порядку^[35]

Ряд простих чисел:

${\displaystyle \gamma =\lim _{n\to \infty }\left(\log n-\sum _{p\leq n}{\frac {\log p}{p-1}}\right).}$

${\displaystyle \gamma }$ можна визначити за допомогою наступних асимптотичних формул (де ${\displaystyle H_{n}}$ —${\displaystyle n}$ -е гармонічне число):

${\displaystyle \gamma \sim H_{n}-\log n-{\frac {1}{2n}}+{\frac {1}{12n^{2}}}-{\frac {1}{120n^{4}}}+\cdots }$ (Ейлер)

${\displaystyle \gamma \sim H_{n}-\log \left({n+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{24n}}-{\frac {1}{48n^{2}}}+\cdots }\right)}$ (Негой)

${\displaystyle \gamma \sim H_{n}-{\frac {\log n+\log(n+1)}{2}}-{\frac {1}{6n(n+1)}}+{\frac {1}{30n^{2}(n+1)^{2}}}-\cdots }$ (Ернесто)

Третя формула також називається розкладом Рамануджана.

Алабдулмохсін отримав у замкненій формі співвідношення для сум похибок цих наближень.^[37]Він показав, що (теорема A.1):$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\log n+\gamma -H_{n}+{\frac {1}{2n}}={\frac {\log(2\pi )-1-\gamma }{2}}}$$ $${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\log {\sqrt {n(n+1)}}+\gamma -H_{n}={\frac {\log(2\pi )-1}{2}}-\gamma }$$ $${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\Big (}\log n+\gamma -H_{n}{\Big )}={\frac {\log \pi -\gamma }{2}}}$$

Стала ${\displaystyle {\rm {{e}^{\gamma }}}}$ є важливою в теорії чисел.Деякі автори позначають цю величину просто як ${\displaystyle \gamma '}$ .${\displaystyle {\rm {{e}^{\gamma }}}}$ дорівнює наступній границі, де ${\displaystyle p_{n}}$ — ${\displaystyle n}$ -е просте число:

${\displaystyle e^{\gamma }=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{\log p_{n}}}\prod _{i=1}^{n}{\frac {p_{i}}{p_{i}-1}}.}$

Це підтверджує третю теорему Мертенса.^[40].Числове значення ${\displaystyle {\rm {{e}^{\gamma }}}}$ :^[41]

1.78107241799019798523650410310717954916964521430343....

Інші нескінченні добутки, що пов'язані з ${\displaystyle {\rm {e}}^{\gamma }}$ , включають:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {e^{1+{\frac {\gamma }{2}}}}{\sqrt {2\pi }}}&=\prod _{n=1}^{\infty }e^{-1+{\frac {1}{2n}}}\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}\\{\frac {e^{3+2\gamma }}{2\pi }}&=\prod _{n=1}^{\infty }e^{-2+{\frac {2}{n}}}\left(1+{\frac {2}{n}}\right)^{n}.\end{aligned}}}$

Ці доданки є результатом G-функції Барнса^[en].

Додатково

${\displaystyle e^{\gamma }={\sqrt {\frac {2}{1}}}\cdot {\sqrt[{3}]{\frac {2^{2}}{1\cdot 3}}}\cdot {\sqrt[{4}]{\frac {2^{3}\cdot 4}{1\cdot 3^{3}}}}\cdot {\sqrt[{5}]{\frac {2^{4}\cdot 4^{4}}{1\cdot 3^{6}\cdot 5}}}\cdots }$

де ${\displaystyle n}$ -й множник — це ${\displaystyle (n+1)}$ -й корінь з

${\displaystyle \prod _{k=0}^{n}(k+1)^{(-1)^{k+1}{n \choose k}}.}$

Цей нескінченний добуток, вперше відкритий Сером у 1926 році, був перевідкритий Сонду за допомогою гіпергеометричних функцій.^[42]Також справедлива наступна формула:^[43]

${\displaystyle {\frac {e^{\frac {\pi }{2}}+e^{-{\frac {\pi }{2}}}}{\pi e^{\gamma }}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left(e^{-{\frac {1}{n}}}\left(1+{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{2n^{2}}}\right)\right).}$

Розклад ланцюгового дробу для сталої ${\displaystyle \gamma }$ починається з ${\displaystyle [0;1,1,2,1,2,1,4,3,13,5,1,1,8,1,2,4,1,1,40,\dots ]}$ ^[2],і немає видимої закономірності.Відомо, що цей ланцюговий дріб має щонайменше 475 006 доданків і має нескінченно багато доданків тоді й лише тоді,^[44]коли стала^[45] є ірраціональним числом.

Узагальнені сталі Ейлера визначаються як

${\displaystyle \gamma _{\alpha }=\lim _{n\to \infty }\left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{\alpha }}}-\int _{1}^{n}{\frac {1}{x^{\alpha }}}\,dx\right),}$

для ${\displaystyle 0<\alpha <1}$ , де ${\displaystyle \gamma }$ є особливим випадком при ${\displaystyle \alpha =1}$ .^[46]Подальші узагальнення мають вигляд

${\displaystyle c_{f}=\lim _{n\to \infty }\left(\sum _{k=1}^{n}f(k)-\int _{1}^{n}f(x)\,dx\right)}$

для деякої довільної спадної функції ${\displaystyle f}$ .Наприклад,

${\displaystyle f_{n}(x)={\frac {(\log x)^{n}}{x}}}$

приводить до констант Стілтьєса, а

${\displaystyle f_{a}(x)=x^{-a}}$

дає

${\displaystyle \gamma _{f_{a}}={\frac {(a-1)\zeta (a)-1}{a-1}}}$

де знову з'являється границя

${\displaystyle \gamma =\lim _{a\to 1}\left(\zeta (a)-{\frac {1}{a-1}}\right)}$

Двовимірним граничним узагальненням є константа Массера — Гремена.

Сталі Ейлера — Лемера визначаються шляхом підсумовування обернених чисел у загальному класі за модулем:

${\displaystyle \gamma (a,q)=\lim _{x\to \infty }\left(\sum _{0<n\leq x \atop n\equiv a{\pmod {q}}}{\frac {1}{n}}-{\frac {\log x}{q}}\right).}$

Основними властивостями яких є

${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma (0,q)&={\frac {\gamma -\log q}{q}},\\\sum _{a=0}^{q-1}\gamma (a,q)&=\gamma ,\\q\gamma (a,q)&=\gamma -\sum _{j=1}^{q-1}e^{-{\frac {2\pi aij}{q}}}\log \left(1-e^{\frac {2\pi ij}{q}}\right),\end{aligned}}}$

і якщо^[47], то

${\displaystyle q\gamma (a,q)={\frac {q}{d}}\gamma \left({\frac {a}{d}},{\frac {q}{d}}\right)-\log d.}$

Спочатку Ейлер обчислив значення константи з точністю до 6 знаків після коми.У 1781 році він обчислив його до 16 знаків після коми.Маскероні спробував обчислити константу з точністю до 32 знаків після коми, але допустив помилку в 20-22 і 31-32 знаках після коми; починаючи з 20-ї цифри, він обчислив ${\displaystyle \dots 1811209008239}$ , хоча правильне значення дорівнює ${\displaystyle \dots 0651209008240}$ .