4-політоп

4-політоп є замкнутою чотиривимірною фігурою. Він складається з вершин (кутових точок), ребер, граней і комірок^[en]. Комірка — тривимірний відповідник грані і є тривимірним многогранником. Кожна двовимірна грань повинна з'єднувати рівно дві комірки, аналогічно тому, як ребро тривимірного многогранника з'єднує рівно дві грані. Подібно до інших політопів, елементи 4-політопа не можна розділити на дві або більше множин, які також є 4-політопами, тобто він не є складеним.

Найвідомішим 4-політопом є тесеракт (гіперкуб), чотиривимірний відповідник куба.

Приклади подання двадцятичотирьохкомірників

Зріз		Розгортка
Проєкції
Шлегель	2D ортогональна	3D ортогональна

4-політопи неможливо уявити в тривимірному просторі через зайву розмірність. Для візуалізації використовують низку технік.

Ортогональна проєкція

Ортогональні проєкції можна використовувати для показу різних симетрій 4-політопа. Проєкції можна подати у вигляді двовимірних графів, а можна — у вигляді тривимірних тіл як проєктивних оболонок^[en].

Перспективна проєкція

Так само, як тривимірні фігури можна спроєктувати на плоский аркуш, чотиривимірні фігури можна спроєктувати в тривимірний простір або навіть на площину. Найпоширенішим видом проєкції є діаграма Шлегеля, що використовує стереографічну проєкцію точок на поверхню 3-сфери в тривимірному просторі, з'єднаних у тривимірному просторі прямими ребрами, гранями та комірками.

Зріз

Так само, як розріз многогранника виявляє поверхню розрізу, зріз 4-політопа дає «гіперповерхню» в тривимірному просторі. Послідовність таких зрізів можна використати для розуміння будови всієї фігури. Зайву розмірність можна прирівняти до часу для утворення анімації цих перерізів.

Розгортки

Розгортка 4-політопа складається зі многогранних комірок^[en], з'єднаних гранями і розташованих у тривимірному просторі, так само, як многокутні грані розгортки тривимірного многогранника з'єднані ребрами і розташовуються всі в одній площині.

Топологія будь-якого заданого 4-політопа визначається його числами Бетті та коефіцієнтами закруту^[en][3].

Значення ейлерової характеристики, що використовується для характеристики многогранників, не узагальнюється належним чином на вищі розмірності і дорівнює нулю для всіх 4-політопів, якою б не була нижча топологія. Ця невідповідність ейлерової характеристики для достеменного розрізнення топологій у високих розмірностях веде до появи більш витончених чисел Бетті^[3].

Подібно, поняття орієнтованості многогранника недостатньо для характеристики закруту поверхонь тороїдальних многогранників, що приводить до використання коефіцієнтів закруту^[3].

4-політопи можна класифікувати за властивостями, такими як «опуклість» і «симетрія»^[3].

• 4-політоп є опуклим, якщо його межі (включно з комірками, (тривимірними) гранями та ребрами) не перетинають себе (в принципі, грані політопа можуть проходити всередині оболонки) і відрізки, що з'єднують будь-які дві точки 4-політопа, містяться повністю всередині нього. В іншому випадку політоп вважають неопуклим. 4-політопи, що самоперетинаються, відомі також як зірчасті політопи за аналогією зі схожими на зірки формами неопуклих многогранників Кеплера — Пуансо.
• 4-політоп є правильним, якщо він транзитивний відносно його прапорів. Це означає, що всі його комірки є конгруентними правильними многогранниками, а також його вершинні фігури конгруентні іншому виду правильних многогранників.
• Опуклий 4-політоп є напівправильним, якщо він має групу симетрії, за якої всі вершини еквівалентні (вершинно-транзитивні) і комірки є правильними многогранниками. Комірки можуть бути двох і більше видів, за умови, що вони мають один і той же вид граней. Існує лише 3 таких фігури, які 1900 року знайшов Торолд Госсет^[en]: всезрізаний п'ятикомірник, всезрізаний шестисоткомірник^[en] і кирпатий двадцятичотирьохкомірник.
• 4-політоп є однорідним, якщо він має групу симетрії, за якої всі вершини еквівалентні та комірки є однорідними многогранниками. Грані (2-вимірні) однорідного 4-політопа повинні бути правильними многокутниками.
• 4-політоп є рівнореберним політопом^[en][4], якщо він вершинно-транзитивний і має ребра однієї довжини. Тобто дозволяються неоднорідні комірки, наприклад, опуклі многогранники Джонсона.
• Про правильний 4-політоп, що є до того ж опуклим, кажуть як про правильний опуклий 4-політоп^[en].
• 4-політоп є призматичним, якщо він являє собою прямий добуток двох і більше многогранників меншої розмірності. Призматичний 4-політоп є однорідним, якщо його співмножники у прямому добутку однорідні. Гіперкуб є призматичним (добуток двох квадратів або куба і відрізка), але розглядається окремо, оскільки він має вищу симетрію, ніж симетрії, успадковані від співмножників.
• Мозаїка або стільники в тривимірному просторі — це розклади тривимірного евклідового простору на повторювану ґратку^[en] многогранних комірок. Такі мозаїки або замощення нескінченні і не обмежені «4D»-об'ємом, тому є прикладами нескінченних 4-політопів. Однорідна мозаїка тривимірного простору — це мозаїка, в якій вершини конгруентні і пов'язані кристалографічною групою, а комірки є однорідними многогранниками.

Наведемо список різних категорій 4-політопів, класифікований згідно з викладеними вище критеріями:

Однорідний 4-політоп^[en] (вершинно-транзитивний).

• Опуклі однорідні 4-політопи (64 + два нескінченних сімейства)
  • 47 непризматичних опуклих однорідних 4-політопи включають:
    • 6 правильних 4-політопів^[en].
  • Призматичні однорідні політопи^[en]:
    • {} × {p, q} : 18 многогранних призм^[en] (включно з кубічними гіперпризмами, правильними гіперкубами);
    • Призми, побудовані на антипризмах (нескінченне сімейство);
    • {p} × {q} : дуопризми^[en] (нескінченне сімейство)
• Неопуклі однорідні 4-політопи (10 + невідомо):

  

  • 10 (правильних) многогранників Шлефлі — Гесса^[en];
  • 57 гіперпризм, побудованих на неопуклих однорідних многогранниках;
  • Невідома кількість неопуклих однорідних 4-політопів — Норман Джонсон^[en] та інші співавтори знайшли 1849 многогранників (опуклих і зірчастих); усі вони побудовані на вершинних фігурах за допомогою програми Stella4D^[en][5].

Інші опуклі 4-політопи:

• Многогранна піраміда^[en];
• Многогранна призма^[en].

Нескінченні однорідні 4-політопи в евклідовому 3-вимірному просторі (однорідні замощення опуклими однорідними комірками):

• 28 опуклих однорідних стільників^[en] (однорідних опуклих замощень), зокрема:
  • 1 правильне замощення, кубічний стільник^[en]: {4,3,4}.

Нескінченні однорідні 4-політопи гіперболічного тривимірного простору (однорідні замощення опуклими однорідними комірками):

• 76 вітгофових опуклих однорідних стільників у гіперболічному просторі^[en], зокрема:
  • 4 правильних замощення компактного гіперболічного тривимірного простору^[en]: {3,5,3}, {4,3,5}, {5,3,4}, {5,3,5}.

Двоїсті однорідні 4-політопи^[en] (комірко-транзитивні^[en]):

• 41 унікальний двоїстий однорідний 4-політоп;
• 17 унікальних двоїстих однорідних многогранних призм;
• нескінченне сімейство двоїстих опуклих однорідних дуопризм (з неправильними тетраедричними комірками);
• 27 унікальних двоїстих однорідних стільників, зокрема:
  • Ромбічний додекаедричний стільник^[en] ;
  • Рівногранний тетраедричний стільник^[en].

Інші:

• Структура Вейра — Фелана^[en] періодичного стільника з неправильними комірками, що заповнює простір.

Абстрактні правильні 4-політопи:

• Одинадцятикомірник
• П'ятдесятисемикомірник^[en]

Ці категорії включають лише 4-політопи з високим ступенем симетрії. Можливе існування багатьох інших 4-політопів, але їх не вивчали настільки інтенсивно, як перелічені вище.

• Правильний 4-політоп^[en]
• 3-сфера — інша широко обговорювана фігура, в чотиривимірному просторі. Але вона не є 4-політопом, оскільки не обмежена многогранними комірками.
• Дуоциліндр^[en] — фігура в чотиривимірному просторі, пов'язана з дуопризмами, хоча це не многогранник.
• Кубічна піраміда
• Ікосаедрична піраміда

• T. Vialar. Complex and Chaotic Nonlinear Dynamics: Advances in Economics and Finance. — Springer, 2009. — С. 674. — ISBN 978-3-540-85977-2.
• V. Capecchi, P. Capecchi, M. Buscema, B. D'Amore. Applications of Mathematics in Models, Artificial Neural Networks and Arts. — Springer, 2010. — С. 598. — ISBN 978-90-481-8580-1. — DOI:10.1007/978-90-481-8581-8.
• H.S.M. Coxeter:
  • H. S. M. Coxeter, M. S. Longuet-Higgins, J. C. P. Miller: Uniform Polyhedra, Philosophical Transactions of the Royal Society of London, Londne, 1954
  • H.S.M. Coxeter. Regular Polytopes^[en]. — 3rd (1947, 63, 73). — New York : Dover Publications Inc, 1973. — ISBN 0-486-61480-8.
• H.S.M. Coxeter. Kaleidoscopes: Selected Writings of H. S. M. Coxeter / F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss. — Wiley-Interscience Publication, 1995. — ISBN 978-0-471-01003-6.
  • (Paper 22) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi Regular Polytopes I, [Math. Zeit. 46 (1940) 380—407, MR 2,10]
  • (Paper 23) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes II, [Math. Zeit. 188 (1985) 559—591]
  • (Paper 24) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes III, [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
• J.H. Conway, M.J.T. Guy. Proceedings of the Colloquium on Convexity at Copenhagen. — 1965. — С. 38-39.
• Norman Johnson. The Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs. — Ph.D. Dissertation. — University of Toronto, 1966.
• Four-dimensional Archimedean Polytopes (German), Marco Möller, 2004 PhD dissertation [1]

• Weisstein, Eric W. Polychoron(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Weisstein, Eric W. Polyhedral formula(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Weisstein, Eric W. Regular polychoron Euler characteristics(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• George Olshevsky^[pt] Four dimensional figures page
• George Olshevsky^[pt] Polychoron на Glossary for Hyperspace
• Uniform Polychora, Jonathan Bowers
• Uniform polychoron Viewer — Java3D Applet with sources
• Dr. R. Klitzing, polychora