Число Пелля

Числа Пелля задаються лінійним рекурентним співвідношенням:

${\displaystyle P_{n}={\begin{cases}0,n=0;\\1,n=1\\2P_{n-1}+P_{n-2},n>1\end{cases}}}$

і є окремим випадком послідовності Люка.

Перші кілька чисел Пелля

9, 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, 985, 2378, … (послідовність A000129 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS).

Числа Пелля можна виразити формулою

${\displaystyle P_{n}={\frac {(1+{\sqrt {2}})^{n}-(1-{\sqrt {2}})^{n}}{2{\sqrt {2}}}}.}$

Для великих значень n член ${\displaystyle \scriptstyle (1+{\sqrt {2}})^{n}}$ домінує в цьому виразі, так що числа Пелля приблизно пропорційні ступені срібного перетину ${\displaystyle \scriptstyle (1+{\sqrt {2}})}$ , також як швидкість росту чисел Фібоначчі дорівнює ступені золотого перетину.

Можливо і третє визначення — у вигляді матричної формули

${\displaystyle {\begin{pmatrix}P_{n+1}&P_{n}\\P_{n}&P_{n-1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2&1\\1&0\end{pmatrix}}^{n}.}$

Багато тотожностей можуть бути доведені з цих визначень, наприклад тотожність, аналогічне тотожності Кассіні^[ru] для чисел Фібоначчі,

${\displaystyle P_{n+1}P_{n-1}-P_{n}^{2}=(-1)^{n},}$

як негайний наслідок матричної формули (підставляючи визначники матриць ліворуч і праворуч).^[2]

Числа Пелля виникли історично з раціональних наближень до квадратного кореня з двох.Якщо два великих цілих x і y дають рішення рівняння Пелля

${\displaystyle \displaystyle x^{2}-2y^{2}=\pm 1,}$

то їх відношення ${\displaystyle {\tfrac {x}{y}}}$ дає близьке наближення до ${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {2}}}$ .Послідовність наближень цього виду

${\displaystyle 1,{\frac {3}{2}},{\frac {7}{5}},{\frac {17}{12}},{\frac {41}{29}},{\frac {99}{70}},\dots }$

де знаменник кожного дробу — число Пелля, а чисельник дорівнює сумі числа Пелля і його попередника в послідовності. Таким чином, наближення мають вигляд ${\displaystyle {\tfrac {P_{n-1}+P_{n}}{P_{n}}}}$ .

Наближення

${\displaystyle {\sqrt {2}}\approx {\frac {577}{408}}}$

цього типу було відомо математикам Індії в третьому-четвертому столітті до нашої ери.^[3]Грецькі математики п'ятого століття до нашої ери також знали про це наближення.^[4]Платон посилається на чисельники як раціональні діаметри.^[5]У другому столітті нашої ери Теон Смирнський^[ru] використовував терміни сторона і діаметр для опису знаменника і чисельника цієї послідовності.^[6]

Ці наближення можуть бути отримані з ланцюгового дробу ${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {2}}}$ :

${\displaystyle {\sqrt {2}}=1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+\ddots \,}}}}}}}}}}.}$

Скінчена частина ланцюгового дробу дає апроксимацію у вигляді чисел Пелля.Наприклад,

${\displaystyle {\frac {577}{408}}=1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2}}}}}}}}}}}}}}.}$

Як писав Кнут (1994), факт апроксимації числами Пелля ${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {2}}}$ дозволяє використовувати їх для раціонального наближення до правильного восьмикутника з координатами вершин ${\displaystyle (\pm P_{i},\pm P_{i+1})}$ и ${\displaystyle (\pm P_{i+1},\pm P_{i})}$ .Усі вершини цього восьмикутника однаково віддалені від центру і формують майже однакові кути. Водночас точки ${\displaystyle (\pm (P_{i}+P_{i-1}),0)}$ , ${\displaystyle (0,\pm (P_{i}+P_{i-1}))}$ и ${\displaystyle (\pm P_{i},\pm P_{i})}$ формують восьмикутник, у якого вершини майже однаково віддалені від центру та мають однакові кути.

Простим числом Пелля називається число Пелля, що є також простим. Кілька перших простих чисел Пелля

2, 5, 29, 5741, … (послідовність A086383 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS)

Як і у випадку з числами Фібоначчі, число Пелля ${\displaystyle P_{n}}$ може бути простим тільки якщо n просте.

Є всього три числа Пелля, які є квадратами, кубами та іншими вищими ступенями, — це 0, 1, і 169 = 13².^[7]

Попри те, що серед чисел Пелля настільки мало квадратів та інших степенів, вони мають близький зв'язок із квадратними трикутними числами.^[8]Ці числа виникають із наступної тотожності:

${\displaystyle {\bigl (}(P_{k-1}+P_{k})\cdot P_{k}{\bigr )}^{2}={\frac {(P_{k-1}+P_{k})^{2}\cdot \left((P_{k-1}+P_{k})^{2}-(-1)^{k}\right)}{2}}.}$

Ліва частина цієї тотожності дає квадратне число, у той час як права частина дає трикутне число, так що в результаті отримаємо квадратне трикутне число.

Сантана (Santana) і Діац-Барреро (Diaz-Barrero) (2006) довели іншу тотожність, що пов'язує числа Пелля з квадратами. Вони показали, що сума чисел Пелля до ${\displaystyle P_{4n+1}}$ завжди є квадратом:

${\displaystyle \sum _{i=0}^{4n+1}P_{i}=\left(\sum _{r=0}^{n}2^{r}{2n+1 \choose 2r}\right)^{2}=(P_{2n}+P_{2n+1})^{2}.}$

Наприклад, сума чисел Пелля до ${\displaystyle P_{5}}$ , ${\displaystyle 0+1+2+5+12+29=49}$ , є квадратом числа ${\displaystyle P_{2}+P_{3}=2+5=7}$ .

Числа ${\displaystyle P_{2n}+P_{2n+1}}$ , які утворюють квадратні корені таких сум,

1, 7, 41, 239, 1393, 8119, 47321, … (послідовність A002315 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS), відомі як прості числа Ньюмена—Шенкса—Вільямса^[ru].

Якщо прямокутний трикутник має сторони a, b, c (по теоремі Піфагораa²+b²=c²), то (a,b,c) відомі як піфагорові трійки. Мартін (Martin) (1875) писав, що числа Пелля можна застосувати для формування піфагорових трійок, в яких a і b відрізняються на одиницю, що відповідає майже рівнобедреному прямокутному трикутнику. Кожна така трійка має вигляд

${\displaystyle (2P_{n}P_{n+1},P_{n+1}^{2}-P_{n}^{2},P_{n+1}^{2}+P_{n}^{2}=P_{2n+1}).}$

Послідовність піфагорових трійок, отримана таким способом: (4,3,5), (20,21,29), (120,119,169), (696,697,985), ….

Супутні числа Пелля або числа Пелля — Люка визначаються лінійним рекурентним співвідношенням:

${\displaystyle Q_{n}={\begin{cases}2,n=0\\2,n=1\\2Q_{n-1}+Q_{n-2},n>1\end{cases}}}$

Тобто, перші два числа в послідовності рівні 2, а всі інші формуються як сума подвоєного попереднього числа Пелля—Люка та попереднього до нього, або, що еквівалентно, як сума наступного та попереднього чисел Пелля.Так, супутнім для 82 є число 29, і 82 = 2 · 34 + 14 = 70 + 12.

Супутні числа Пелля утворюють послідовність:

2, 2, 6, 14, 34, 82, 198, 478, … (послідовність A002203 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS)

Супутні числа Пелля можна подати формулою:

${\displaystyle Q_{n}=(1+{\sqrt {2}})^{n}+(1-{\sqrt {2}})^{n}.}$

Усі ці числа парні, кожне з них є подвоєним чисельником у наближенні раціональними числами до ${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {2}}}$ .

Наступна таблиця дає декілька перших степенів срібного перетину ${\displaystyle \delta =\delta _{S}=1+{\sqrt {2}}}$ і пов'язаного з ним ${\displaystyle {\bar {\delta }}=1-{\sqrt {2}}}$ .

${\displaystyle n}$	${\displaystyle (1+{\sqrt {2}})^{n}}$	${\displaystyle (1-{\sqrt {2}})^{n}}$
0	${\displaystyle 1+0{\sqrt {2}}=1.0}$	${\displaystyle 1-0{\sqrt {2}}=1.0}$
1	${\displaystyle 1+1{\sqrt {2}}=2.41421\ldots }$	${\displaystyle 1-1{\sqrt {2}}=-0.41421\ldots }$
2	${\displaystyle 3+2{\sqrt {2}}=5.82842\ldots }$	${\displaystyle 3-2{\sqrt {2}}=0.17157\ldots }$
3	${\displaystyle 7+5{\sqrt {2}}=14.07106\ldots }$	${\displaystyle 7-5{\sqrt {2}}=-0.07106\ldots }$
4	${\displaystyle 17+12{\sqrt {2}}=33.97056\ldots }$	${\displaystyle 17-12{\sqrt {2}}=0.02943\ldots }$
5	${\displaystyle 41+29{\sqrt {2}}=82.01219\ldots }$	${\displaystyle 41-29{\sqrt {2}}=-0.01219\ldots }$
6	${\displaystyle 99+70{\sqrt {2}}=197.9949\ldots }$	${\displaystyle 99-70{\sqrt {2}}=0.0050\ldots }$
7	${\displaystyle 239+169{\sqrt {2}}=478.00209\ldots }$	${\displaystyle 239-169{\sqrt {2}}=-0.00209\ldots }$
8	${\displaystyle 577+408{\sqrt {2}}=1153.99913\ldots }$	${\displaystyle 577-408{\sqrt {2}}=0.00086\ldots }$
9	${\displaystyle 1393+985{\sqrt {2}}=2786.00035\ldots }$	${\displaystyle 1393-985{\sqrt {2}}=-0.00035\ldots }$
10	${\displaystyle 3363+2378{\sqrt {2}}=6725.99985\ldots }$	${\displaystyle 3363-2378{\sqrt {2}}=0.00014\ldots }$
11	${\displaystyle 8119+5741{\sqrt {2}}=16238.00006\ldots }$	${\displaystyle 8119-5741{\sqrt {2}}=-0.00006\ldots }$
12	${\displaystyle 19601+13860{\sqrt {2}}=39201.99997\ldots }$	${\displaystyle 19601-13860{\sqrt {2}}=0.00002\ldots }$

Коефіцієнти являють собою половини супутніх чисел Пелля ${\displaystyle H_{n}}$ і числа Пелля ${\displaystyle P_{n}}$ , є невід'ємними розв'язками рівняння${\displaystyle H^{2}-2P^{2}=\pm 1}$ .

Квадратне трикутне число — це число ${\displaystyle N={\frac {t(t+1)}{2}}=s^{2}}$ , яке є як ${\displaystyle t\,}$ трикутним числом так і ${\displaystyle s\,}$ квадратним. Майже рівнобедрені піфагорові трійки є цілими розв'язками${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$ , де ${\displaystyle a+1=b}$ .

Наступна таблиця показує розкладання непарних ${\displaystyle H_{n}}$ на дві майже однакові половинки, що дає квадратне трикутне число, коли n парне, і майже рівнобедрену піфагорову трійку, коли n непарне.

${\displaystyle n}$	${\displaystyle H_{n}}$	${\displaystyle P_{n}}$	t	t+1	s	a	b	c
0	1	0	0	0	0
1	1	1				0	1	1
2	3	2	1	2	1
3	7	5				3	4	5
4	17	12	8	9	6
5	41	29				20	21	29
6	99	70	49	50	35
7	239	169				119	120	169
8	577	408	288	289	204
9	1393	985				696	697	985
10	3363	2378	1681	1682	1189
11	8119	5741				4059	4060	5741
12	19601	13860	9800	9801	6930

Половини супутніх чисел Пелля ${\displaystyle H_{n}}$ і числа Пелля ${\displaystyle P_{n}}$ можна отримати декількома еквівалентними шляхами:

Піднесення до степеня:

${\displaystyle (1+{\sqrt {2}})^{n}=H_{n}+P_{n}{\sqrt {2}}}$

${\displaystyle (1-{\sqrt {2}})^{n}=H_{n}-P_{n}{\sqrt {2}}.}$

Звідки випливає:

${\displaystyle H_{n}={\frac {(1+{\sqrt {2}})^{n}+(1-{\sqrt {2}})^{n}}{2}}.}$

і

${\displaystyle P_{n}{\sqrt {2}}={\frac {(1+{\sqrt {2}})^{n}-(1-{\sqrt {2}})^{n}}{2}}.}$

Парні рекурентні відношення:

${\displaystyle H_{n}={\begin{cases}1,n=0\\H_{n-1}+2P_{n-1},n>0\end{cases}}}$

${\displaystyle P_{n}={\begin{cases}0,n=0;\\H_{n-1}+P_{n-1},n>0\end{cases}}}$

або, в матричному вигляді:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}H_{n}\\P_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&2\\1&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}H_{n-1}\\P_{n-1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&2\\1&1\end{pmatrix}}^{n}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}.}$

Таким чином

${\displaystyle {\begin{pmatrix}H_{n}&2P_{n}\\P_{n}&H_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&2\\1&1\end{pmatrix}}^{n}.}$

Різниця ${\displaystyle H_{n}\,}$ і ${\displaystyle P_{n}{\sqrt {2}}}$ дорівнює ${\displaystyle (1-{\sqrt {2}})^{n}\approx (-0.41421)^{n}}$ , що швидко наближається до нуля.

Таким чином${\displaystyle (1+{\sqrt {2}})^{n}=H_{n}+P_{n}{\sqrt {2}}}$ дуже близьке до ${\displaystyle 2H_{n}\,}$ .

Із цього спостереження випливає, що відношення цілих ${\displaystyle {\frac {H_{n}}{P_{n}}}}$ швидко наближається до ${\displaystyle {\sqrt {2}}\,}$ у той час як ${\displaystyle {\frac {H_{n}}{H_{n-1}}}\,}$ и ${\displaystyle {\frac {P_{n}}{P_{n-1}}}\,}$ швидко наближається до ${\displaystyle 1+{\sqrt {2}}\,}$ .

Оскільки ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ є ірраціональним, неможливо отримати ${\displaystyle {\frac {H}{P}}=2\,}$ , тобто ${\displaystyle {\frac {H^{2}}{P^{2}}}={\frac {2P^{2}}{P^{2}}}\,}$ .Найкраще, що ми можемо отримати, це або ${\displaystyle {\frac {H^{2}}{P^{2}}}={\frac {2P^{2}-1}{P^{2}}}\,}$ або ${\displaystyle {\frac {H^{2}}{P^{2}}}={\frac {2P^{2}+1}{P^{2}}}}$ .

Невід'ємними рішеннями ${\displaystyle H^{2}-2P^{2}=1\,}$ є пари ${\displaystyle H_{n},P_{n}}$ з парним n, і рішеннями ${\displaystyle H^{2}-2P^{2}=-1\,}$ є пари ${\displaystyle H_{n},P_{n}}$ з n непарним.

Щоб зрозуміти це, зауважимо

${\displaystyle H_{n+1}^{2}-2P_{n+1}^{2}=(H_{n}+2P_{n})^{2}-2(H_{n}+P_{n})^{2}=-(H_{n}^{2}-2P_{n}^{2})\,}$

так що, починаючи з ${\displaystyle H_{0}^{2}-2P_{0}^{2}=1\,}$ знак чергується (${\displaystyle 1,-1}$ ).Зауважимо тепер, що кожне позитивне рішення можна отримати з рішення з меншим індексом завдяки рівності ${\displaystyle (2P-H)^{2}-2(H-P)^{2}=-(H^{2}-2P^{2})\,}$ .

Необхідну рівність ${\displaystyle {\frac {t(t+1)}{2}}=s^{2}\,}$ еквівалентно ${\displaystyle 4t^{2}+4t+1=8s^{2}+1\,}$ , що перетворюється в${\displaystyle H^{2}=2P^{2}+1}$ при підстановці ${\displaystyle H=2t+1}$ і ${\displaystyle P=2s}$ . Звідси n-м рішенням буде ${\displaystyle t_{n}={\frac {H_{2n}-1}{2}}}$ і ${\displaystyle s_{n}={\frac {P_{2n}}{2}}.}$

Зауважимо, що ${\displaystyle t}$ і ${\displaystyle t+1}$ взаємно прості, так що ${\displaystyle {\frac {t(t+1)}{2}}=s^{2}\,}$ можливо тільки тоді, коли вони є сусідніми цілими, одне — квадрат ${\displaystyle H^{2}}$ й інше — подвоєний квадрат ${\displaystyle 2P^{2}}$ .

Оскільки ми знаємо всі рішення рівняння, ми отримуємо

${\displaystyle t_{n}={\begin{cases}2P_{n}^{2}&n\equiv 0{\pmod {2}}\\H_{n}^{2}&n\equiv 1{\pmod {2}}\end{cases}}}$

і ${\displaystyle s_{n}=H_{n}P_{n}\,}$

${\displaystyle n}$	${\displaystyle H_{n}}$	${\displaystyle P_{n}}$		t	t+1	s		a	b	c
0	1	0
1	1	1		1	2	1		1	0	1
2	3	2		8	9	6		3	4	5
3	7	5		49	50	35		21	20	29
4	17	12		288	289	204		119	120	169
5	41	29		1681	1682	1189		697	696	985
6	99	70		9800	9801	6930		4059	4060	5741

Рівність ${\displaystyle c^{2}=a^{2}+(a+1)^{2}=2a^{2}+2a+1}$ вірно тільки при ${\displaystyle 2c^{2}=4a^{2}+4a+2}$ , що перетворюється в ${\displaystyle 2P^{2}=H^{2}+1}$ при підстановці ${\displaystyle H=2a+1{\mbox{ and }}P=c}$ .Тоді n-м рішенням є ${\displaystyle a_{n}={\frac {H_{2n+1}-1}{2}}}$ і ${\displaystyle c_{n}={P_{2n+1}}.\,}$

Таблиця вище показує, що з точністю до порядку ${\displaystyle a_{n}}$ і ${\displaystyle b_{n}=a_{n}+1}$ дорівнює ${\displaystyle H_{n}H_{n+1}}$ і ${\displaystyle 2P_{n}P_{n+1}}$ , в той час як ${\displaystyle c_{n}=H_{n+1}P_{n}+P_{n+1}H_{n}.}$

• Рівняння Пелля