Функція суми квадратів

Функцію визначають як

${\displaystyle r_{k}(n)=|\{(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{k})\in \mathbb {Z} ^{k}\ :\ n=a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots +a_{k}^{2}\}|}$

де ${\displaystyle |\,\ |}$ позначає потужність множини. Іншими словами, r_k(n) — це кількість способів, якими n можна записати як суму k квадратів.

Наприклад, ${\displaystyle r_{2}(1)=4}$ , оскільки ${\displaystyle 1=0^{2}+(\pm 1)^{2}=(\pm 1)^{2}+0^{2}}$ де кожна сума має дві комбінації знаків, а також ${\displaystyle r_{2}(2)=4}$ , оскільки ${\displaystyle 2=(\pm 1)^{2}+(\pm 1)^{2}}$ з чотирма комбінаціями знаків. З іншого боку, ${\displaystyle r_{2}(3)=0}$ , тому що немає способу подати 3 як суму двох квадратів.

Кількість способів запису натурального числа у вигляді суми двох квадратів визначається як r₂(n):

${\displaystyle r_{2}(n)=4(d_{1}(n)-d_{3}(n))}$

де d₁(n) — кількість дільників числа n, рівних 1 за модулем 4, а d₃(n) — кількість дільників числа n, рівних 3 за модулем 4. Використовуючи знак суми, вираз можна записати так:

${\displaystyle r_{2}(n)=4\sum _{d\mid n \atop d\,\equiv \,1,3{\pmod {4}}}(-1)^{(d-1)/2}}$

Розклад на прості множники ${\displaystyle n=2^{g}p_{1}^{f_{1}}p_{2}^{f_{2}}\cdots q_{1}^{h_{1}}q_{2}^{h_{2}}\cdots }$ , де ${\displaystyle p_{i}}$  — прості множники форми ${\displaystyle p_{i}\equiv 1{\pmod {4}},}$ і ${\displaystyle q_{i}}$  — прості множники форми ${\displaystyle q_{i}\equiv 3{\pmod {4}}}$ дає іншу формулу

${\displaystyle r_{2}(n)=4(f_{1}+1)(f_{2}+1)\cdots }$ , якщо всі показники ${\displaystyle h_{1},h_{2},\cdots }$ парні. Якщо один або декілька ${\displaystyle h_{i}}$ непарні, тоді ${\displaystyle r_{2}(n)=0}$ .

Гаусс довів, що для вільного від квадратів числа n > 4

${\displaystyle r_{3}(n)={\begin{cases}24h(-n),&{\text{якщо }}n\equiv 3{\pmod {8}},\\0&{\text{якщо }}n\equiv 7{\pmod {8}},\\12h(-4n)&{\text{в інших випадках}},\end{cases}}}$

де h(m) — номер класу цілого числа m.

Існують розширення формули Гауса на довільне ціле число n^[1][2].

Кількість способів подати n у вигляді суми чотирьох квадратів з'ясував Карл Густав Якоб Якобі: вона у вісім разів перевищує суму дільників n, які не діляться на 4, тобто

${\displaystyle r_{4}(n)=8\sum _{d\,\mid \,n,\ 4\,\nmid \,d}d.}$

Подавши n = 2^km, де m — непарне ціле число, можна виразити ${\displaystyle r_{4}(n)}$ у термінах функції дільників так:

${\displaystyle r_{4}(n)=8\sigma (2^{\min\{k,1\}}m).}$

Кількість способів подати n у вигляді суми шести квадратів визначають так:

${\displaystyle r_{6}(n)=4\sum _{d\mid n}d^{2}{\big (}4\left({\tfrac {-4}{n/d}}\right)-\left({\tfrac {-4}{d}}\right){\big )},}$

де ${\displaystyle \left({\tfrac {\cdot }{\cdot }}\right)}$ є символом Кронекера^[3].

Якобі також знайшов явну формулу для випадку k = 8:^[3]

${\displaystyle r_{8}(n)=16\sum _{d\,\mid \,n}(-1)^{n+d}d^{3}.}$

Твірну функцію послідовності ${\displaystyle r_{k}(n)}$ для фіксованого k можна виразити через тета-функцію Якобі:^[4]

${\displaystyle \vartheta (0;q)^{k}=\vartheta _{3}^{k}(q)=\sum _{n=0}^{\infty }r_{k}(n)q^{n},}$

де

${\displaystyle \vartheta (0;q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n^{2}}=1+2q+2q^{4}+2q^{9}+2q^{16}+\cdots .}$

Перші 30 значень для ${\displaystyle r_{k}(n),\;k=1,\dots ,8}$ наведено в таблиці:

• Weisstein, Eric W. Sum of Squares Function(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Слоун, Ніл (ред.). Sequence A122141 (кількість способів запису n у вигляді суми d квадратів). Інтерактивна енциклопедія цілочислових послідовностей. OEIS Foundation.
• Слоун, Ніл (ред.). Sequence A004018 (Тета-ряд квадратної ґратки, r_2(n)). Інтерактивна енциклопедія цілочислових послідовностей. OEIS Foundation.