Формула Герона

Візьмемо широко відому формулу обчислення площі трикутника: ${\displaystyle S={1 \over 2}ab\cdot \sin {\gamma }}$ , де ${\displaystyle \ \gamma }$  — кут трикутника, що лежить навпроти сторони ${\displaystyle c}$ .

Згідно з теоремою косинусів ${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cdot \cos \gamma }$ . Звідси ${\displaystyle \cos \gamma ={a^{2}+b^{2}-c^{2} \over 2ab}}$ .

Тому ${\displaystyle \ \sin ^{2}\gamma =1-\cos ^{2}\gamma =(1-\cos \gamma )(1+\cos \gamma )=}$

${\displaystyle ={{2ab-a^{2}-b^{2}+c^{2}} \over 2ab}\cdot {{2ab+a^{2}+b^{2}-c^{2}} \over 2ab}={{c^{2}-(a-b)^{2}} \over 2ab}\cdot {{(a+b)^{2}-c^{2}} \over 2ab}=}$

${\displaystyle ={1 \over 4a^{2}b^{2}}(c-a+b)(c+a-b)(a+b-c)(a+b+c)}$ .

Оскільки справедливі рівності ${\displaystyle a+b+c=2p}$ , ${\displaystyle a+b-c=2p-2c}$ , ${\displaystyle a+c-b=2p-2b}$ , ${\displaystyle c-a+b=2p-2a}$ , отримуємо, що

${\displaystyle \sin \gamma ={2 \over ab}{\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}.}$

Таким чином, ${\displaystyle S={1 \over 2}ab\sin \gamma ={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}}$ .

Нехай дано трикутник ${\displaystyle ABC}$ , ${\displaystyle w_{1}}$ та ${\displaystyle w_{2}}$  — вписане та зовнівписане (яке дотикається до сторони ${\displaystyle BC}$ ) коло відповідно, ${\displaystyle I}$  — центр вписаного кола ${\displaystyle w_{1}}$ (інцентр, точка перетину бісектрис), ${\displaystyle I_{a}}$  — центр зовнівписаного кола ${\displaystyle w_{2}}$ (точка перетину внутрішньої та двох зовнішніх бісектрис).

Нехай ${\displaystyle K}$  — точка дотику вписаного кола до сторони ${\displaystyle AB}$ , а ${\displaystyle T}$  — точка дотику зовнівписаного кола до продовження сторони ${\displaystyle AB}$ . Тоді ${\displaystyle IK=r}$  — радіус вписаного кола ${\displaystyle w_{1}}$ , ${\displaystyle I_{a}T=r_{a}}$  — радіус зовнівписаного кола ${\displaystyle w_{2}}$ , і нехай ${\displaystyle p={\frac {a+b+c}{2}}}$  — півпериметр трикутника ${\displaystyle ABC}$ ..

З властивостей вписаного та зовнівписаних кіл відомо, що ${\displaystyle AK=p-a}$ , ${\displaystyle KB=p-b}$ , ${\displaystyle BT=p-c}$ , a ${\displaystyle AT=p}$ , причому ${\displaystyle IK\perp AB}$ та ${\displaystyle I_{a}T\perp AB}$ .

Звідси маємо, що трикутники ${\displaystyle AIK}$ та ${\displaystyle AI_{a}T}$ подібні (як прямокутні трикутники зі спільним гострим кутом ${\displaystyle \angle IAK}$ ). Тому ${\displaystyle {\frac {AK}{AT}}={\frac {IK}{I_{a}T}}}$ , тобто ${\displaystyle {\frac {p-a}{p}}={\frac {r}{r_{a}}}}$ . Звідси ${\displaystyle r_{a}(p-a)=pr=S}$ .

Знайдемо кут ${\displaystyle \angle BI_{a}T}$ . Оскільки ${\displaystyle \bigtriangleup BI_{a}T}$  — прямокутний, то ${\displaystyle \angle BI_{a}T=90^{\circ }-\angle I_{a}BT}$ . За побудовою ${\displaystyle BI_{a}}$  — бісектриса кута ${\displaystyle \angle CBT=180^{\circ }-\angle B}$ (як зовнішній кут), а тому ${\displaystyle \angle I_{a}BT={\frac {\angle CBT}{2}}={\frac {180^{\circ }-\angle B}{2}}=90^{\circ }-{\frac {\angle B}{2}}}$ . Звідси ${\displaystyle \angle BI_{a}T={\frac {\angle B}{2}}}$ .

Але також ${\displaystyle \angle BIK={\frac {\angle B}{2}}}$ , оскільки ${\displaystyle BI}$  — бісектриса кута ${\displaystyle \angle B}$ . Отримали, що трикутники ${\displaystyle BI_{a}T}$ та ${\displaystyle BIK}$ подібні (як прямокутні за рівними гострими кутами). Тому ${\displaystyle {\frac {I_{a}T}{BK}}={\frac {BT}{IK}}}$ , тобто ${\displaystyle {\frac {r_{a}}{p-b}}={\frac {p-c}{r}}}$ . Звідси ${\displaystyle r_{a}r=(p-b)(p-c)}$ .

З рівностей ${\displaystyle r_{a}(p-a)=pr=S}$ одержимо, що ${\displaystyle S^{2}=p(p-a)r_{a}r}$ . Замінивши ${\displaystyle r_{a}r}$ по вище доведеній формулі ${\displaystyle r_{a}r=(p-b)(p-c)}$ , одержимо остаточно ${\displaystyle S^{2}=p(p-a)(p-b)(p-c)}$ , або, що те саме, ${\displaystyle S={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}}$ .

• Формулу Герона можна записати за допомогою визначника у вигляді^[1]:

  ${\displaystyle -16S^{2}={\begin{vmatrix}0&a^{2}&b^{2}&1\\a^{2}&0&c^{2}&1\\b^{2}&c^{2}&0&1\\1&1&1&0\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}a&b&c&0\\b&a&0&c\\c&0&a&b\\0&c&b&a\end{vmatrix}}}$

Перший визначник останньої формули є окремим випадком визначника Келі — Менгера^[en] для обчислення гіпероб'єму симплекса.

• Низка формул для площі трикутника подібні за структурою до формули Герона, але виражається через інші параметри трикутника. Наприклад, через довжини медіан ${\displaystyle m_{a}}$ , ${\displaystyle m_{b}}$ и ${\displaystyle m_{c}}$ і їх півсуму ${\displaystyle \sigma =(m_{a}+m_{b}+m_{c})/2}$ ^[2]:

${\displaystyle S={\frac {4}{3}}{\sqrt {\sigma (\sigma -m_{a})(\sigma -m_{b})(\sigma -m_{c})}}}$ ;

через довжини висот ${\displaystyle h_{a}}$ , ${\displaystyle h_{b}}$ и ${\displaystyle h_{c}}$ і півсуму їх обернених величин ${\displaystyle H=(h_{a}^{-1}+h_{b}^{-1}+h_{c}^{-1})/2}$ ^[3]:

${\displaystyle S^{-1}=4{\sqrt {H(H-h_{a}^{-1})(H-h_{b}^{-1})(H-h_{c}^{-1})}}}$ ;

через кут трикутника ${\displaystyle \alpha }$ , ${\displaystyle \beta }$ і ${\displaystyle \gamma }$ , півсуму їх синусів ${\displaystyle s=(\sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma )/2}$ і діаметр описаного кола ${\displaystyle D={\tfrac {a}{\sin \alpha }}={\tfrac {b}{\sin \beta }}={\tfrac {c}{\sin \gamma }}}$ ^[4]:

${\displaystyle S=D^{2}{\sqrt {s(s-\sin \alpha )(s-\sin \beta )(s-\sin \gamma )}}.}$

Для тетраедрів існує формула Герона — Тартальї, узагальнена також на випадок інших багатогранників (згинаний многогранник): якщо в тетраедра довжини ребер рівні ${\displaystyle l_{1},l_{2},l_{3},l_{4},l_{5},l_{6}}$ , то для його об'єму ${\displaystyle V}$ істинний вираз:

${\displaystyle {\begin{aligned}144V^{2}=\;\;&l_{1}^{2}l_{5}^{2}(l_{2}^{2}+l_{3}^{2}+l_{4}^{2}+l_{6}^{2}-l_{1}^{2}-l_{5}^{2})\\+&l_{2}^{2}l_{6}^{2}(l_{1}^{2}+l_{3}^{2}+l_{4}^{2}+l_{5}^{2}-l_{2}^{2}-l_{6}^{2})\\+&l_{3}^{2}l_{4}^{2}(l_{1}^{2}+l_{2}^{2}+l_{5}^{2}+l_{6}^{2}-l_{3}^{2}-l_{4}^{2})\\-&l_{1}^{2}l_{2}^{2}l_{4}^{2}-l_{2}^{2}l_{3}^{2}l_{5}^{2}-l_{1}^{2}l_{3}^{2}l_{6}^{2}-l_{4}^{2}l_{5}^{2}l_{6}^{2}\end{aligned}}}$ .

Формулу Герона — Тартальї можна виписати для тетраедра в явному вигляді: якщо ${\displaystyle U}$ , ${\displaystyle V}$ , ${\displaystyle W}$ , ${\displaystyle u}$ , ${\displaystyle v}$ , ${\displaystyle w}$  — довжини ребер тетраедра (перші три з них утворюють трикутник; і, наприклад, ребро ${\displaystyle u}$ протлежне ребру ${\displaystyle U}$ і так далі), то справедливі формули^[5][6]:

${\displaystyle {\text{V}}={\frac {\sqrt {\,(-a+b+c+d)\,(a-b+c+d)\,(a+b-c+d)\,(a+b+c-d)}}{192\,u\,v\,w}}}$

де:

${\displaystyle {\begin{aligned}a&={\sqrt {xYZ}}\\b&={\sqrt {yZX}}\\c&={\sqrt {zXY}}\\d&={\sqrt {xyz}}\\X&=(w-U+v)\,(U+v+w)\\x&=(U-v+w)\,(v-w+U)\\Y&=(u-V+w)\,(V+w+u)\\y&=(V-w+u)\,(w-u+V)\\Z&=(v-W+u)\,(W+u+v)\\z&=(W-u+v)\,(u-v+W)\end{aligned}}}$ .

За теоремою Люїльє площа сферичного трикутника виражається через його сторони ${\displaystyle \theta _{a}={\frac {a}{R}},\theta _{b}={\frac {b}{R}},\theta _{c}={\frac {c}{R}}}$ как:

${\displaystyle S=4R^{2}\,\operatorname {arctg} {\sqrt {\operatorname {tg} \left({\frac {\theta _{s}}{2}}\right)\operatorname {tg} \left({\frac {\theta _{s}-\theta _{a}}{2}}\right)\operatorname {tg} \left({\frac {\theta _{s}-\theta _{b}}{2}}\right)\operatorname {tg} \left({\frac {\theta _{s}-\theta _{c}}{2}}\right)}}}$ ,

де ${\displaystyle \theta _{s}={\frac {\theta _{a}+\theta _{b}+\theta _{c}}{2}}}$  — півпериметр.

Формула Брамагупти є узагальненням формули Герона для площі трикутника. А саме, площа S вписаного у коло чотирикутника зі сторонами a, b, c, d і півпериметр p дорівнює

${\displaystyle S={\sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}}.}$

У цьому випадку трикутник виявляється граничним випадком уписаного чотирикутника при прямуванні довжини однієї зі сторін до нуля. Та ж формула Брахмагупти через визначник^[7]:

${\displaystyle S={\frac {1}{4}}{\sqrt {-{\begin{vmatrix}a&b&c&-d\\b&a&-d&c\\c&-d&a&b\\-d&c&b&a\end{vmatrix}}}}}$

• Weisstein, Eric W. Формула Герона(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Кушнир И. А. Геометрия. Поиск и вдохновение. — М.: МЦНМО, 2013. — 592 с.: ил. ISBN 978-5-4439-0058-2

Це незавершена стаття з геометрії. Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її.