Уявна одиниця

Наведене вище рівняння має два розв'язки. Якщо один з них є ${\displaystyle i\ }$ , то іншим розв'язком буде ${\displaystyle -i\ }$ , бо справджується така рівність:

${\displaystyle (-i)^{2}=(-1\cdot i)\cdot (-1\cdot i)=(-1\cdot (-1))\cdot (i\cdot i)=1\cdot i^{2}=i^{2}=-1\ .}$

Таким чином, виникає неоднозначність означення комплексного числа. Проте, хоча ці два числа не рівні між собою, для математики не існує різниці у тому, який саме з двох розв'язків рівняння ${\displaystyle i^{2}=-1\ }$ позначатиметься ${\displaystyle i\ }$ , а яке ${\displaystyle -i\ }$ .

Степені ${\displaystyle i}$  повторюються в циклі:

${\displaystyle \ldots }$

${\displaystyle i^{-3}=i\,}$

${\displaystyle i^{-2}=-1\,}$

${\displaystyle i^{-1}=-i\,}$

${\displaystyle i^{0}=1\,}$

${\displaystyle i^{1}=i\,}$

${\displaystyle i^{2}=-1\,}$

${\displaystyle i^{3}=-i\,}$

${\displaystyle i^{4}=1\,}$

${\displaystyle \ldots }$

Що можна записати для будь-якого степеня у вигляді:

${\displaystyle i^{4n}=1\,}$

${\displaystyle i^{4n+1}=i\,}$

${\displaystyle i^{4n+2}=-1\,}$

${\displaystyle i^{4n+3}=-i.\,}$

де n — будь-яке натуральне число.

Звідси: ${\displaystyle i^{n}=i^{n{\bmod {4}}}\,}$ де mod 4 — це остача від ділення на 4.

Число ${\displaystyle i^{i}}$ є дійсним:

${\displaystyle i^{i}={e^{(i\pi /2)i}}=e^{i^{2}\pi /2}=e^{-\pi /2}=0{,}20787957635\ldots }$

Факторіал уявної одиниці i можна визначити як значення гамма-функції від аргументу 1 + i:

${\displaystyle i!=\Gamma (1+i)\approx 0.4980-0.1549i.}$

Також

${\displaystyle |i!|={\sqrt {\pi \over \sinh(\pi )}}\approx 0.521564....}$ ^[2]

В полі комплексних чисел корінь n-го степеня має n розв'язків. На комплексній площині корені уявної одиниці містяться у вершинах правильного n-кутника, вписаного в коло одиничного радіуса.

${\displaystyle u_{k}=\cos {\frac {{\frac {\pi }{2}}+2\pi k}{n}}+i\ \sin {\frac {{\frac {\pi }{2}}+2\pi k}{n}},\quad k=0,1,...,n-1}$

Це випливає з формули Муавра й того, як уявна одиниця записується у тригонометричному вигляді:

${\displaystyle i=\cos \ {\frac {\pi }{2}}+i\ \sin \ {\frac {\pi }{2}}}$

Зокрема, ${\displaystyle {\sqrt {i}}=\left\{{\frac {1+i}{\sqrt {2}}};\ {\frac {-1-i}{\sqrt {2}}}\right\}}$ та ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{i}}=\left\{-i;\ {\frac {i+{\sqrt {3}}}{2}};\ {\frac {i-{\sqrt {3}}}{2}}\right\}}$

Також корені уявної одиниці можуть бути представлені за допомогою експоненти:

${\displaystyle u_{k}=e^{\frac {({\frac {\pi }{2}}+2\pi k)i}{n}},\quad k=0,1,...,n-1}$

• Дуальні числа і Подвійні числа
• Комплексний аналіз
• Кватерніони
• Гіперкомплексні числа