Узагальнена послідовність
Узагальнена послідовність ( також послідовність Мура — Сміта, направленість, також сітка, мережа від англійської net) в загальній топології — узагальнення поняття послідовності у якому областю визначення є довільна направлена множина (а не лише натуральні числа, як для звичайної послідовності).
Значення цього узагальнення полягає в тому, що воно дозволяє для довільних топологічних просторів дати твердження еквівалентні твердженням класичного аналізу. Зокрема через поняття збіжності узагальнених послідовностей можна охарактеризувати неперервність функцій, замкнутість і компактність множин так як це робиться у математичному аналізі.
Означення
Узагальненою послідовністю в топологічному просторі називається відображення з деякої направленої по зростанню множини
в
. Для узагальнених послідовностей використовуються позначення:
або просто
.
Будь-яка послідовність є узагальненою послідовністю, в цьому випадку направленою множиною є множина натуральних чисел .
Інший приклад узагальненої послідовності можна отримати розглянувши системи околів точок топологічного простору. Для деякої точки топологічного простору система околів
із відношенням включення є направленою множиною: для двох околів
маємо
, якщо
. Якщо у кожному околі
вибрати довільну точку
, то відображення
є узагальненою послідовністю.
Пов'язані означення
Границя узагальненої послідовності
Узагальнена послідовність називається збіжною до точки
, якщо для будь-якого околу
точки
існує індекс
такий, що
для будь-якого
. Точка
називається границею узагальненої послідовності
і позначається
.
Множина всіх границь узагальненої послідовності позначається як
. Якщо узагальнена послідовність має точно одну границю
, то пишуть
Узагальнена підпослідовність
Поняття підпослідовності можна узагальнити для узагальнених послідовностей. Узагальнена послідовність називається узагальненою підпослідовністю узагальненої послідовності
, якщо для будь-якого
існує такий індекс
, що для будь-якого
існує
, що задовольняє рівності
.
Фундаментальна узагальнена послідовність
Фундаментальна узагальнена послідовність (або узагальнена послідовність Коші) є узагальненням звичайної фундаментальної послідовності для рівномірних топологічних просторів.[1]
Узагальнена послідовність називається фундаментальною, якщо для будь-якого оточення
існує елемент
, такий що для всіх
, елементи
.[1][2]
Верхні і нижні границі узагальнених послідовностей
Для узагальненої послідовності за означенням верхня границя є рівною
Нижня границя за означенням є рівною:
Верхні і нижні границі узагальнених послідовностей задовольняють багато властивостей, що є справедливими для звичайних послідовностей. Наприклад:
і у випадку збіжності хоча б однієї узагальненої послідовності цей вираз перетворюється у рівність.
Властивості
- Нехай
і
— топологічні простори і
. Відображення
є неперервною в точці
тоді і тільки тоді, коли для будь-якої узагальненої послідовності
, що збігається до
у просторі
, узагальнена послідовність
збігається до точки
у просторі
.
- Якщо
є неперервною в точці
, то для кожного околу
точки
у просторі
, множина
є околом
у
. Тому якщо
є узагальненою послідовністю, що збігається до точки
у
то існує
для якого
для всіх
, тобто
, і
збігається до
у
.
- Навпаки, припустимо, що
не є неперервною в точці
і позначимо
направлену систему околів точки
. Існує окіл
точки
у
, такий що для всіх
,
. Оберемо точки
для всіх
(з використанням аксіоми вибору). Тоді
збігається до
в
але
не збігається до
у
.
- Якщо
- Якщо топологічний простір є гаусдорфовим, то кожна збіжна узагальнена послідовність має точно одну границю. Навпаки, якщо кожна збіжна узагальнена послідовність має точно одну границю, то простір є гаусдорфовим.
- Поняття границі узагальненої послідовності тісно пов'язане з поняттям точки дотику: точка є точкою дотику множини тоді і тільки тоді, коли існує збіжна до цієї точки узагальнена послідовність елементів цієї множини.
- Підмножина топологічного простору є замкнутою тоді і тільки тоді, коли для кожної збіжної узагальненої послідовності її елементів границя послідовності теж належить цій множині.
- Узагальнена послідовність є збіжною тоді і тільки тоді коли всі її узагальнені підпослідовності є збіжними. Границя узагальненої послідовності тоді є рівною границі будь-якої її підпослідовності.
- Топологічний простір є компактним тоді і тільки тоді, коли для кожної узагальненої послідовності його елементів існує збіжна узагальнена підпослідовність.
- Нехай X є компактним. Якщо I є деякою множиною і
— сім'єю замкнутих підмножин X таких що
для кожної скінченної підмножини
. Тоді також
. В іншому разі,
було б відкритим покриттям X для якого не існувало б скінченного підпокриття, що неможливо. Нехай A — направлена множина і
— узагальнена послідовність у X. Для всіх
позначимо
Сім'я множин
має властивість, що довільна скінченна підмножина множин має непустий перетин. Тому також
. Ця множина буде множиною точок дотику узагальненої послідовності
, що є рівною точкам збіжності узагальнених підпослідовностей у
. Тому
має збіжну узагальнену підпослідовність.
- Навпаки припустимо, що кожна узагальнена послідовність у X має збіжну узагальнену підпослідовність. Припустимо, що
є відкритим покриттям X, що не містить скінченного підпокриття. Розглянемо
. Тоді D є направленою множиною щодо включення і для кожної
, існує
таке що
для всіх
. Розглянемо узагальнену послідовність
. Для неї не існує збіжної узагальненої підпослідовності, тому що для всіх
існує
таке що
є околом x;проте для всіх
, маємо
. Ця суперечність завершує доведення.
- Нехай X є компактним. Якщо I є деякою множиною і
Примітки
Див. також
Література
- Gaal, Steven A.(1966), Point set topology, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-47222-5 (англ.)
- Kelley, John L. (1991). General Topology. Springer. ISBN 3-540-90125-6.
- Willard, Stephen (2004). General Topology. Dover Publications. ISBN 0-486-43479-6.