Транзитивне відношення
В математиці, бінарне відношення R на множині X є транзитивним, якщо для будь-яких a, b, та c з X, виконується: коли a відноситься до b і b відноситься до c, то a відноситься до c.
Формально:
Нетранзитивне відношення
- Якщо ця умова дотримується не для всіх трійок a, b, c, то таке відношення називається нетранзитивним. Наприклад, не для всіх трійок
вірно, що
.
- Бінарне відношення R, задане на множині X називається нетранзитивним, якщо
.
Антитранзитивне відношення
- Існує більш «сильна» властивість — антитранзитивність. Під цим терміном розуміється, що для будь-яких трійок a, b, c відсутня транзитивність. Антитранзитивне відношення, наприклад — відношення перемогти в турнірах «на виліт»: якщо A переміг гравця B, а B переміг гравця C, то A не грав з C, отже, не міг його перемогти.
- Бінарне відношення
, задане на множині
називається антитранзитивним, якщо для
.
Особливості
- Якщо відношення
транзитивне, то зворотне відношення
також транзитивне. Нехай
, але за визначенням оберненого відношення
. Так як
транзитивне, то
і
, що й потрібно було довести.
- Якщо відношення
транзитивні, то відношення
транзитивне. Нехай
. З транзитивності
слідує
, але з визначення перетину відносин отримуємо
, що й потрібно було довести.
Приклади транзитивних відношень
- Відношення часткового порядку:
- строга нерівність
- нестрога нерівність
- включення підмножини:
- строга підмножина
- нестрога підмножина
- строга підмножина
- подільність:
- строга нерівність
- Рівність
- Еквівалентність
- Імплікація
- Паралельність
- Відношення подібності геометрических фігур
- Бути предком.
Приклади нетранзитивних відношень
- Харчовий ланцюжок: це відношення не завжди є транзитивним (приклад — вовки їдять оленів, олені їдять траву, але вовки не їдять траву).
- Бути переважніше ніж. Якщо ми хочемо яблуко замість апельсина, а замість яблука ми б хотіли кавун, то це не значить, що ми віддамо перевагу кавуну.
- Бути другом.
- Бути колегою по роботі.
- Бути підлеглим. Наприклад, у часи феодального ладу в Західній Європі була в ходу приказка: «Васал мого васала — не мій васал».
- Бути схожим на іншу людину.
Приклади антитранзитивних відношень
- Бути сином (батьком, бабусею).
- Гра «Камінь, ножиці, папір». Камінь перемагає ножиці, ножиці виграють у паперу, але камінь програє паперові і т. д.
Джерела
- Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств = Set Theory (Teoria mnogości). — М. : Мир, 1970. — 416 с.(рос.)
- Хаусдорф Ф. Теория множеств. — Москва ; Ленинград : ОНТИ, 1937. — 304 с. — ISBN 978-5-382-00127-2.(рос.)
🔥 Top keywords: Головна сторінкаЧемпіонат Європи з футболу 2024Спеціальна:ПошукВікіпедія:Культурна спадщина та видатні постаті (2024)Збірна України з футболуБріджертониЧемпіонат Європи з футболу 2020YouTubeУкраїнаЧемпіонат Європи з футболуЗбірна Румунії з футболуРебров Сергій СтаніславовичГлобальний саміт мируРадіо «Свобода»ДефолтРумуніяЛунін Андрій ОлексійовичНаціональна суспільна телерадіокомпанія УкраїниДень батькаДовбик Артем ОлександровичШевченко Андрій МиколайовичЯрмоленко Андрій МиколайовичЧемпіонат Європи з футболу 2024 (кваліфікаційний раунд)Мудрик Михайло Петрович138-ма зенітна ракетна бригада (Україна)FacebookЄрмак Андрій БорисовичСексВійськові звання України22-га окрема механізована бригада (Україна)Зінченко Олександр ВолодимировичТериторіальний центр комплектування та соціальної підтримкиДумками навиворіт 2Чемпіонат Європи з футболу 2016Список операторів систем розподілу України2024 у телебаченніMegogoСписок українських жіночих іменКиїв