Теорема Менелая

Теорему Менелая пов'язують з Менелаєм з Александрії (бл. 100 до н. е.), це теорема про трикутник на площині. Нехай дано точки A, B, C, які утворюють трикутник ABC і точки D, E, F, які лежать на прямих BC, AC, AB. Тоді теорема стверджує, що D, E, F колінеарні тоді і тільки тоді, якщо:

${\displaystyle {\frac {AF}{FB}}\cdot {\frac {BD}{DC}}\cdot {\frac {CE}{EA}}=1}$

Обернена теорема Менелая.  Якщо для точок D, E, F, які лежать на прямих BC, CA i AB, що визначають трикутник ABC виконується співвідношення ${\displaystyle {\frac {AF}{FB}}\cdot {\frac {BD}{DC}}\cdot {\frac {CE}{EA}}=1}$ то ці точки лежать на одній прямій.

В цій рівності AB та ін., означають лінійний розмір відрізків, який допускає від'ємне значення. Для прикладу, відношення AF / FB вважається додатнім тільки якщо пряма DEF перетинає сторону AB і так само для інших двох відношень.

Тригонометричний еквівалент:

${\displaystyle {\frac {\sin \angle BAA'}{\sin \angle A'AC}}\cdot {\frac {\sin \angle CBB'}{\sin \angle B'BA}}\cdot {\frac {\sin \angle ACC'}{\sin \angle C'CB}}=-1}$, де всі кути — орієнтовані.

• В сферичній геометрії теорема Менелая набуває вигляду

${\displaystyle {\frac {\sin |AB'|}{\sin |B'C|}}\cdot {\frac {\sin |CA'|}{\sin |A'B|}}\cdot {\frac {\sin |BC'|}{\sin |C'A|}}=1.}$

• В геометрії Лобачевського теорема Менелая набуває вигляду

${\displaystyle {\frac {\operatorname {sh} |AB'|}{\operatorname {sh} |B'C|}}\cdot {\frac {\operatorname {sh} |CA'|}{\operatorname {sh} |A'B|}}\cdot {\frac {\operatorname {sh} |BC'|}{\operatorname {sh} |C'A|}}=1.}$