Теорема Банаха про нерухому точку

Всяке стискальне відображення повного метричного простору в себе має єдину нерухому точку (яку можна знайти методом послідовних наближень, починаючи з будь-якої точки цього простору).

Нехай (X,d) — повний метричний простір, ${\displaystyle A:X\to X}$ — відображення метричного простору X в себе, тоді існує єдиний елемент x метричного простору X, що при відображенні A переходить в себе, тобто A(x)=x.

Для того, щоб знайти цей елемент, можна побудувати таку послідовність. Потрібно взяти довільний елемент ${\displaystyle x_{0}\in X}$ , потім покласти ${\displaystyle x_{1}=A(x_{0})}$ , після цього взяти ${\displaystyle x_{2}=A(x_{1})}$ , далі — ${\displaystyle x_{3}=A(x_{2})}$ , і так далі. Отрималась послідовність ${\displaystyle (x_{n})}$ , яка прямує до шуканого елемента x (при ${\displaystyle n\to \infty }$ )

Нехай (X,d) — повний метричний простір, ${\displaystyle A:X\to X}$ — стискальне відображення. Розглянемо послідовність наближень ${\displaystyle (x_{n}),x_{n}\in X,n\in \mathbb {N} _{0}}$ , у якій ${\displaystyle x_{n}=A(x_{n-1}),\;n\in \mathbb {N} }$ , а ${\displaystyle x_{0}\in X}$ — довільний елемент. Потрібно довести існування нерухомої точки і єдиність.

Існування. Покажемо, що ця послідовність є фундаментальною, тобто, що для будь-якого ε>0 для всіх m і n, більших деякого ${\displaystyle n_{0}\in \mathbb {N} }$ виконуватиметься нерівність ${\displaystyle d(x_{n},x_{m})<\epsilon }$ . Дійсно, оскільки A - стискальне відображення, тоді існує ${\displaystyle \alpha \in [0,1)}$ (α - коефіцієнт стиснення) таке, що для всіх ${\displaystyle x,y\in X}$ виконуватиметься нерівність: ${\displaystyle d(A(x),A(y))\leq \alpha d(x,y)}$ . Візьмемо ε>0, а також ${\displaystyle n_{0}}$ таке, щоб ${\displaystyle d(x_{1},x_{0}){\frac {\alpha ^{n_{0}}}{1-\alpha }}<\varepsilon }$ (очевидно, що це завжди можна зробити, бо ${\displaystyle d(x_{1},x_{0}){\frac {\alpha ^{n_{0}}}{1-\alpha }}}$ прямує до 0 при ${\displaystyle n_{0}\to \infty }$ ). Розглянемо ${\displaystyle d(x_{m},x_{n})}$ , не зменшуючи загальності, можна вважати, що m>n: ${\displaystyle d(x_{m},x_{n})\leq d(x_{m},x_{m-1})+d(x_{m-1},x_{n})\leq d(x_{m},x_{m-1})+d(x_{m-1},x_{m-2})+d(x_{m-2},x_{n})\leq ...\leq }$ ${\displaystyle \leq d(x_{m},x_{m-1})+d(x_{m-1},x_{m-2})+...+d(x_{n+1},x_{n})\leq }$ ${\displaystyle \leq \alpha ^{m-1}d(x_{1},x_{0})+\alpha ^{m-2}d(x_{1},x_{0})+...+\alpha ^{n}d(x_{1},x_{0})=}$ ${\displaystyle =d(x_{1},x_{0})(\alpha ^{m-1}+\alpha ^{m-2}+...+\alpha ^{n})<d(x_{0},x_{1}){\frac {\alpha ^{n}}{1-\alpha }}<d(x_{0},x_{1}){\frac {\alpha ^{n_{0}}}{1-\alpha }}<\varepsilon }$ , що і означає фундаментальність послідовності ${\displaystyle (x_{n})}$ . Оскільки метричний простір X — повний, то послідовність ${\displaystyle (x_{n})}$ збіжна у ньому. Позначимо границю цієї послідовності через x. Тоді ${\displaystyle x=\lim _{n\to \infty }x_{n}=\lim _{n\to \infty }A(x_{n-1})=A(\lim _{n\to \infty }x_{n-1})=A(x)}$ , тобто A(x)=x. Існування доведено.

Єдиність. Припустимо, що існують відмінні один від одного ${\displaystyle x\in X}$ і ${\displaystyle {\overline {x}}\in X}$ такі, що ${\displaystyle A(x)=x,A({\overline {x}})={\overline {x}}}$ , тоді з одного боку (оскільки x та ${\displaystyle {\overline {x}}}$ — нерухомі точки) ${\displaystyle d(x,{\overline {x}})=d(A(x),A({\overline {x}}))}$ , з іншого, зважаючи на те, що A — стискальне відображення, ${\displaystyle d(A(x),A({\overline {x}}))<d(x,{\overline {x}})}$ . Отримана суперечність доводить єдиність.

Теорему доведено.

• Метричний простір
• Повний метричний простір

• Березанский Ю. М., Ус Г. Ф., Шефтель З. Г. Функциональный анализ : курс лекций. — К. : Вища школа, 1990. — 600 с.(рос.)
• М. І. Жалдак, Г. О. Михалін, С. Я. Деканов. Математичний аналіз. Функції багатьох змінних: Навчальний посібник. — Київ, НПУ імені М. П. Драгоманова, 2007. - 430 с.
• Кирилов А.А., Гвишиани А.Д. Теоремы и задачи функционального анализа.
• Люстерниик Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа.

• ^{[недоступне посилання з липня 2019} Курс диференціальних рівнянь. Розділ 2]^{[недоступне посилання з жовтня 2019]}