Тензор електромагнітного поля

4-тензор електромагнітного поля визначається, як похідні від 4-потенціалу ^[1]:

${\displaystyle F_{ik}={\frac {\partial A_{k}}{\partial x^{i}}}-{\frac {\partial A_{i}}{\partial x^{k}}}}$ .

4-тензор електромагнітного поля визначається через звичайні тривимірні складові векторів напруженості електричного поля й магнітної індукції так:

${\displaystyle F_{ik}=\left({\begin{matrix}0&E_{x}&E_{y}&E_{z}\\-E_{x}&0&-H_{z}&H_{y}\\-E_{y}&H_{z}&0&-H_{x}\\-E_{z}&-H_{y}&H_{x}&0\end{matrix}}\right)}$

${\displaystyle F^{ik}=\left({\begin{matrix}0&-E_{x}&-E_{y}&-E_{z}\\E_{x}&0&-H_{z}&H_{y}\\E_{y}&H_{z}&0&-H_{x}\\E_{z}&-H_{y}&H_{x}&0\end{matrix}}\right)}$

Перша форма — це коваріантний тензор, друга форма — контраваріантний тензор.

Записане у 4-векторній формі рівняння руху зарядженої частки в електромагнітному полі набирає вигляду

${\displaystyle mc{\frac {du^{i}}{ds}}={\frac {q}{c}}F^{ik}u_{k}}$ ,

де ${\displaystyle u^{k}}$ — 4-швидкість, q — електричний заряд частки, c — швидкість світла, m — маса спокою. Права частина цього рівняння це сила Лоренца.

Основні рівняння електродинаміки записуються через 4-тензор електромагнітного поля так:

${\displaystyle {\frac {\partial F_{ik}}{\partial x^{j}}}+{\frac {\partial F_{kj}}{\partial x^{i}}}+{\frac {\partial F_{ji}}{\partial x^{k}}}=0}$ .

${\displaystyle {\frac {\partial F^{ik}}{\partial x^{k}}}=-{\frac {4\pi }{c}}j^{i}}$ .

де ${\displaystyle j^{i}}$ — 4-вектор густини електричного струму.

• Векторний потенціал електромагнітного поля