Це список інтегралів (первісних функцій) гіперболічних функцій. Для повнішого списку інтегралів дивись Таблиця інтегралів.
У всіх цих формурах під a мається на увазі ненульова константа, C означає константу інтегрування.
![{\displaystyle \int {\text{sh}}\;ax\;dx={\frac {{\text{ch}}\;ax}{a}}+C\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab6a6dc1037e24617dcfecfe095fe9de071f5fbb)
![{\displaystyle \int {\text{ch}}\;ax\;dx={\frac {{\text{sh}}\;ax}{a}}+C\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32641c6d4e01a56de65b2733a23827a109ffb086)
![{\displaystyle \int {\text{sh}}^{2}ax\,dx={\frac {{\text{sh}}\;2ax}{4a}}-{\frac {x}{2}}+C\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a83e9208eb161ef404d9e3b011a0a97ddd39d06)
![{\displaystyle \int {\text{ch}}^{2}ax\,dx={\frac {{\text{sh}}\;2ax}{4a}}+{\frac {x}{2}}+C\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/677d4e7d85d6f26fb6052fa2dc179dfffbd96bae)
![{\displaystyle \int {\text{th}}^{2}ax\,dx=x-{\frac {{\text{th}}\;ax}{a}}+C\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c44afdf91000da36a145ccaf4ae351c3e5f145af)
для ![{\displaystyle n>0)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/872d7d70baa1a93bf28989636f6d74083d7179e2)
- також:
для ![{\displaystyle n<0{\mbox{, }}n\neq -1)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/717eaf75ce07cd016ca86436c9659d706e683215)
для ![{\displaystyle n>0)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/872d7d70baa1a93bf28989636f6d74083d7179e2)
- також:
для ![{\displaystyle n<0{\mbox{, }}n\neq -1)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/717eaf75ce07cd016ca86436c9659d706e683215)
![{\displaystyle \int {\frac {dx}{{\text{sh}}\;ax}}={\frac {1}{a}}\ln \left|{\text{th}}{\frac {ax}{2}}\right|+C\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ed0c5cfdbf2568a840c36a0695e9b21bf1995b5)
- також:
![{\displaystyle \int {\frac {dx}{{\text{sh}}\;ax}}={\frac {1}{a}}\ln \left|{\frac {{\text{ch}}\;ax-1}{{\text{sh}}\;ax}}\right|+C\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/231c06e9b7c7459aa70454d79aa587123eaad9f7)
- також:
![{\displaystyle \int {\frac {dx}{{\text{sh}}\;ax}}={\frac {1}{a}}\ln \left|{\frac {{\text{sh}}\;ax}{{\text{ch}}\;ax+1}}\right|+C\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1865c6d9113c1a8460dd9a157e8ae81086ab0fc6)
- також:
![{\displaystyle \int {\frac {dx}{{\text{sh}}\;ax}}={\frac {1}{a}}\ln \left|{\frac {{\text{ch}}\;ax-1}{{\text{ch}}\;ax+1}}\right|+C\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b462956a64082f9c3b4bed84b2af62413ff1232)
![{\displaystyle \int {\frac {dx}{{\text{ch}}\;ax}}={\frac {2}{a}}{\text{arctg}}\;e^{ax}+C\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92861a223d06a78a4480905778cf4ce615cde1b1)
для ![{\displaystyle n\neq 1)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f3de0dca59c568f253cbbf9762e65c805cc8c43)
для ![{\displaystyle n\neq 1)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f3de0dca59c568f253cbbf9762e65c805cc8c43)
для ![{\displaystyle m\neq n)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f44ff6d32a31dd72cc01ef09c96fbed27f85948e)
- також:
для ![{\displaystyle m\neq 1)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22d2e568ed1880ffabbbaa97a60388a337e79f00)
- також:
для ![{\displaystyle m\neq 1)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22d2e568ed1880ffabbbaa97a60388a337e79f00)
для ![{\displaystyle m\neq n)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f44ff6d32a31dd72cc01ef09c96fbed27f85948e)
- також:
для ![{\displaystyle n\neq 1)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f3de0dca59c568f253cbbf9762e65c805cc8c43)
- також:
для ![{\displaystyle n\neq 1)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f3de0dca59c568f253cbbf9762e65c805cc8c43)
![{\displaystyle \int x\;{\text{sh}}\;ax\,dx={\frac {x\;{\text{ch}}\;ax}{a}}-{\frac {{\text{sh}}\;ax}{a^{2}}}+C\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db8ac8dc2ccb388a832d346d52a51b728a56e64b)
![{\displaystyle \int x\;{\text{ch}}\;ax\,dx={\frac {x\;{\text{sh}}\;ax}{a}}-{\frac {{\text{ch}}\;ax}{a^{2}}}+C\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3445dce0e52f0265307a4afb38f8551624582641)
![{\displaystyle \int x^{2}{\text{ch}}\;ax\,dx=-{\frac {2x\;{\text{ch}}\;ax}{a^{2}}}+\left({\frac {x^{2}}{a}}+{\frac {2}{a^{3}}}\right){\text{sh}}\;ax+C\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b745bebe60e1a192251a5ecbf9a342293eaffb22)
![{\displaystyle \int {\text{th}}\;ax\,dx={\frac {\ln |{\text{ch}}\;ax|}{a}}+C\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a453a02202cc470eb1ebe6cb02235676d365544a)
![{\displaystyle \int {\text{cth}}\;ax\,dx={\frac {\ln |{\text{sh}}\;ax|}{a}}+C\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5447c0007b546f5cae351b1ccbd743b25927f9d)
![{\displaystyle \int {\text{th}}^{n}ax\,dx=-{\frac {{\text{th}}^{n-1}ax}{a(n-1)}}+\int {\text{th}}^{n-2}ax\,dx\qquad {\mbox{(for }}n\neq 1{\mbox{)}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb84ab6f49424ed08d15c8e5ebe57143a90cacbd)
![{\displaystyle \int {\text{cth}}^{n}ax\,dx=-{\frac {{\text{cth}}^{n-1}ax}{a(n-1)}}+\int {\text{cth}}^{n-2}ax\,dx\qquad {\mbox{(for }}n\neq 1{\mbox{)}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c51dbdc48463e81f3fdac7dd3d9c784be80e83a)
для ![{\displaystyle a^{2}\neq b^{2})\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86604e92a4f7067e33cfc76dfc36df40950d2070)
для ![{\displaystyle a^{2}\neq b^{2})\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86604e92a4f7067e33cfc76dfc36df40950d2070)
для ![{\displaystyle a^{2}\neq b^{2})\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86604e92a4f7067e33cfc76dfc36df40950d2070)
![{\displaystyle \int {\text{sh}}(ax+b)\sin(cx+d)\,dx={\frac {a}{a^{2}+c^{2}}}{\text{ch}}(ax+b)\sin(cx+d)-{\frac {c}{a^{2}+c^{2}}}{\text{sh}}(ax+b)\cos(cx+d)+C\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e814e144690b210e6a90fc6ce9517e247217437)
![{\displaystyle \int {\text{sh}}(ax+b)\cos(cx+d)\,dx={\frac {a}{a^{2}+c^{2}}}{\text{ch}}(ax+b)\cos(cx+d)+{\frac {c}{a^{2}+c^{2}}}{\text{sh}}(ax+b)\sin(cx+d)+C\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f38bf02686d6cdc25258e686a6d3cec6eaf341a2)
![{\displaystyle \int {\text{ch}}(ax+b)\sin(cx+d)\,dx={\frac {a}{a^{2}+c^{2}}}{\text{sh}}(ax+b)\sin(cx+d)-{\frac {c}{a^{2}+c^{2}}}{\text{ch}}(ax+b)\cos(cx+d)+C\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07a9d97bfd0bdd468b9c4f341aa2db9676c8989e)
![{\displaystyle \int {\text{ch}}(ax+b)\cos(cx+d)\,dx={\frac {a}{a^{2}+c^{2}}}{\text{sh}}(ax+b)\cos(cx+d)+{\frac {c}{a^{2}+c^{2}}}{\text{ch}}(ax+b)\sin(cx+d)+C\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b88a3f84697de719f2040f81e5fcc34448a5314)
Джерела
- Двайт Г. Б. Гиперболичесике функции — интегралы // Таблицы интегралов и другие математические формулы / пер. с англ. Н. В. Леви ; под ред. К. А. Семендяева. — М. : Наука, 1978. — С. 134-140. (рос.)