Тригонометричні тотожності — математичні вирази з тригонометричними функціями , що виконуються для всіх значень аргумента зі спільної області визначення.
Основні позначення
Кути В цій статті кути позначені грецькими буквами α , β , γ {\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma } градусах або радіанах :
1 повне коло = 360 градусів = 2 π {\displaystyle \pi } В наступній таблиці наведено спвівідношення між значеннями в градусах і радіанах для деяких кутів
Градуси 30° 60° 120° 150° 210° 240° 300° 330° Радіани π 6 {\displaystyle {\frac {\pi }{6}}\!} π 3 {\displaystyle {\frac {\pi }{3}}\!} 2 π 3 {\displaystyle {\frac {2\pi }{3}}\!} 5 π 6 {\displaystyle {\frac {5\pi }{6}}\!} 7 π 6 {\displaystyle {\frac {7\pi }{6}}\!} 4 π 3 {\displaystyle {\frac {4\pi }{3}}\!} 5 π 3 {\displaystyle {\frac {5\pi }{3}}\!} 11 π 6 {\displaystyle {\frac {11\pi }{6}}\!} Градуси 45° 90° 135° 180° 225° 270° 315° 360° Радіани π 4 {\displaystyle {\frac {\pi }{4}}\!} π 2 {\displaystyle {\frac {\pi }{2}}\!} 3 π 4 {\displaystyle {\frac {3\pi }{4}}\!} π {\displaystyle \pi \!} 5 π 4 {\displaystyle {\frac {5\pi }{4}}\!} 3 π 2 {\displaystyle {\frac {3\pi }{2}}\!} 7 π 4 {\displaystyle {\frac {7\pi }{4}}\!} 2 π {\displaystyle 2\pi \!}
Якщо не сказано інакше, то всі кути задано у радіанах, а кути, що закінчуються символом (°) — в градусах.
Тригонометричні функції У статті будуть наведені співвідношення та тотожності для шести основних тригонометричних функцій:
синус sin α , {\displaystyle \sin \alpha ,} косинус cos α , {\displaystyle \cos \alpha ,} тангенс tg α = sin α cos α , α ≠ π 2 + π n , n ∈ Z , {\displaystyle \operatorname {tg} \alpha ={\frac {\sin \alpha }{\cos \alpha }},\quad \alpha \neq {\frac {\pi }{2}}+\pi n,\,n\in \mathbb {Z} ,}
котангенс ctg α = cos α sin α , α ≠ π n , n ∈ Z , {\displaystyle \operatorname {ctg} \alpha ={\frac {\cos \alpha }{\sin \alpha }},\quad \alpha \neq \pi n,\,n\in \mathbb {Z} ,}
секанс sec α = 1 cos α , α ≠ π 2 + π n , n ∈ Z , {\displaystyle \operatorname {sec} \alpha ={\frac {1}{\cos \alpha }},\quad \alpha \neq {\frac {\pi }{2}}+\pi n,\,n\in \mathbb {Z} ,}
косеканс csc α = 1 sin α , α ≠ π n , n ∈ Z , {\displaystyle \operatorname {csc} \alpha ={\frac {1}{\sin \alpha }},\quad \alpha \neq \pi n,\,n\in \mathbb {Z} ,} В англомовній літературі тангенс та котангенс зазвичай позначають tan α {\displaystyle \tan \alpha } cot α , {\displaystyle \cot \alpha ,}
Обернені тригонометричні функції Обернені тригонометричні функції це такі функції, композиція яких зі звичайними тригонометричними функціями дає тотожне відображення. Наприклад, функція обернена до синуса, відома як обернений синус (sin−1 ) або арксинус (arcsin or asin), задовольняє співвідношення
sin ( arcsin x ) = x , | x | ≤ 1 {\displaystyle \sin(\arcsin x)=x,\quad \quad |x|\leq 1} та
arcsin ( sin x ) = x , | x | ≤ π 2 . {\displaystyle \arcsin(\sin x)=x,\quad \quad |x|\leq {\frac {\pi }{2}}.} Тригонометричні функції та обернені до них наведені в наступній таблиці:
Функція sin cos tg ctg sec csc Обернена arcsin arccos arctg arcctg arcsec arccsc
Екзотичні тригонометричні функції Крім основних шести, також використовують інші тригонометричні функції кута. Їх використовували раніше при розв'язуванні різних навігаційних задач, однак з розвитком обчислювальної техніки вони втратили свою актуальність.
Назва Скорочене позн. Значення синус-верзус versin ( θ ) {\displaystyle \operatorname {versin} (\theta )} vers ( θ ) {\displaystyle \operatorname {vers} (\theta )} ver ( θ ) {\displaystyle \operatorname {ver} (\theta )} 1 − cos ( θ ) {\displaystyle 1-\cos(\theta )} косинус-верзус vercosin ( θ ) {\displaystyle \operatorname {vercosin} (\theta )} 1 + cos ( θ ) {\displaystyle 1+\cos(\theta )} коверсинус coversin ( θ ) {\displaystyle \operatorname {coversin} (\theta )} cvs ( θ ) {\displaystyle \operatorname {cvs} (\theta )} 1 − sin ( θ ) {\displaystyle 1-\sin(\theta )} коверкосинус covercosin ( θ ) {\displaystyle \operatorname {covercosin} (\theta )} 1 + sin ( θ ) {\displaystyle 1+\sin(\theta )} гаверсинус haversin ( θ ) {\displaystyle \operatorname {haversin} (\theta )} 1 − cos ( θ ) 2 {\displaystyle {\frac {1-\cos(\theta )}{2}}} гаверкосинус havercosin ( θ ) {\displaystyle \operatorname {havercosin} (\theta )} 1 + cos ( θ ) 2 {\displaystyle {\frac {1+\cos(\theta )}{2}}} когаверсинус hacoversin ( θ ) {\displaystyle \operatorname {hacoversin} (\theta )} 1 − sin ( θ ) 2 {\displaystyle {\frac {1-\sin(\theta )}{2}}} когаверкосинус hacovercosin ( θ ) {\displaystyle \operatorname {hacovercosin} (\theta )} 1 + sin ( θ ) 2 {\displaystyle {\frac {1+\sin(\theta )}{2}}} ексеканс exsec ( θ ) {\displaystyle \operatorname {exsec} (\theta )} sec ( θ ) − 1 {\displaystyle \sec(\theta )-1} екскосеканс excsc ( θ ) {\displaystyle \operatorname {excsc} (\theta )} csc ( θ ) − 1 {\displaystyle \csc(\theta )-1} хорда crd ( θ ) {\displaystyle \operatorname {crd} (\theta )} 2 sin θ 2 {\displaystyle 2\sin {\frac {\theta }{2}}}
Таблиці значень тригонометричних функцій
Основні тригонометричні формули
Формули зведення
Формули для суми аргументів Візуалізація формули (6) Формули для суми аргументів sin ( α ± β ) = sin α cos β ± cos α sin β {\displaystyle \sin \left(\alpha \pm \beta \right)=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta } (5) cos ( α ± β ) = cos α cos β ∓ sin α sin β {\displaystyle \cos \left(\alpha \pm \beta \right)=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta } (6) t g ( α ± β ) = t g α ± t g β 1 ∓ t g α t g β {\displaystyle \mathop {\mathrm {tg} } \left(\alpha \pm \beta \right)={\frac {\mathop {\mathrm {tg} } \alpha \pm \mathop {\mathrm {tg} } \beta }{1\mp \mathop {\mathrm {tg} } \alpha \mathop {\mathrm {tg} } \beta }}} (7) ctg ( α ± β ) = c t g α c t g β ∓ 1 c t g α ± c t g β {\displaystyle \operatorname {ctg} \left(\alpha \pm \beta \right)={\frac {\mathop {\mathrm {ctg} } \alpha \mathop {\mathrm {ctg} } \beta \mp 1}{\mathop {\mathrm {ctg} } \alpha \pm \mathop {\mathrm {ctg} } \beta }}}
Формула (7) отримана діленням (5) на (6) .
Синус і косинус від нескінченної суми sin ( ∑ i = 1 ∞ α i ) = ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k ∑ A ⊆ { 1 , 2 , 3 , … } | A | = 2 k + 1 ( ∏ i ∈ A sin α i ∏ i ∉ A cos α i ) , {\displaystyle \sin \left(\sum _{i=1}^{\infty }\alpha _{i}\right)=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}\sum _{\begin{smallmatrix}A\subseteq \{\,1,2,3,\dots \,\}\\\left|A\right|=2k+1\end{smallmatrix}}\left(\prod _{i\in A}\sin \alpha _{i}\prod _{i\not \in A}\cos \alpha _{i}\right),} cos ( ∑ i = 1 ∞ α i ) = ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k ∑ A ⊆ { 1 , 2 , 3 , … } | A | = 2 k ( ∏ i ∈ A sin α i ∏ i ∉ A cos α i ) . {\displaystyle \cos \left(\sum _{i=1}^{\infty }\alpha _{i}\right)=\sum _{k=0}^{\infty }~(-1)^{k}~~\sum _{\begin{smallmatrix}A\subseteq \{\,1,2,3,\dots \,\}\\\left|A\right|=2k\end{smallmatrix}}\left(\prod _{i\in A}\sin \alpha _{i}\prod _{i\not \in A}\cos \alpha _{i}\right).} У правих частинах рівності суму взято по всіх підмножинах натуральних чисел з 2k+1 або 2k елементів відповідно.
Тангенси від сум аргументів Нехай e k = e k ( x 1 , … , x n ) , k = 0 , 1 , 2 , … , n = 1 , 2 , 3 … , {\displaystyle e_{k}=e_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n}),\,k=0,1,2,\ldots ,n=1,2,3\ldots ,} елементарні симетричні многочлени степеня k від n змінних
x i = tg α i i = 1 , 2 , … , n . {\displaystyle x_{i}=\operatorname {tg} \alpha _{i}\quad i=1,2,\ldots ,n.} Наприклад:
e 0 = 1 , {\displaystyle e_{0}=1,} e 1 = ∑ i = 1 n x i = ∑ i tg α i , {\displaystyle e_{1}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}=\sum _{i}\operatorname {tg} \alpha _{i},} e 2 = ∑ 1 ≤ i < j ≤ n x i x j = ∑ i < j tg α i tg α j , {\displaystyle e_{2}=\sum _{1\leq i<j\leq n}x_{i}x_{j}=\sum _{i<j}\operatorname {tg} \alpha _{i}\operatorname {tg} \alpha _{j},} e 3 = ∑ 1 ≤ i < j < k ≤ n x i x j x k = ∑ i < j < k tg α i tg α j tg α k . {\displaystyle e_{3}=\sum _{1\leq i<j<k\leq n}x_{i}x_{j}x_{k}=\sum _{i<j<k}\operatorname {tg} \alpha _{i}\operatorname {tg} \alpha _{j}\operatorname {tg} \alpha _{k}.} Тоді
tg ( ∑ i = 1 2 k α i ) = e 1 − e 3 + e 5 − ⋯ + ( − 1 ) k + 1 e 2 k − 1 e 0 − e 2 + e 4 − ⋯ + ( − 1 ) k e 2 k = ∑ i = 1 k ( − 1 ) i + 1 e 2 i − 1 ∑ i = 0 k ( − 1 ) i e 2 i , {\displaystyle \operatorname {tg} \left(\sum _{i=1}^{2k}\alpha _{i}\right)={\frac {e_{1}-e_{3}+e_{5}-\cdots +(-1)^{k+1}e_{2k-1}}{e_{0}-e_{2}+e_{4}-\cdots +(-1)^{k}e_{2k}}}={\frac {\sum _{i=1}^{k}(-1)^{i+1}e_{2i-1}}{\sum _{i=0}^{k}(-1)^{i}e_{2i}}},\!} tg ( ∑ i = 1 2 k + 1 α i ) = e 1 − e 3 + e 5 − ⋯ + ( − 1 ) k e 2 k + 1 e 0 − e 2 + e 4 − ⋯ + ( − 1 ) k e 2 k = ∑ i = 1 k ( − 1 ) i e 2 i + 1 ∑ i = 0 k ( − 1 ) i e 2 i . {\displaystyle \operatorname {tg} \left(\sum _{i=1}^{2k+1}\alpha _{i}\right)={\frac {e_{1}-e_{3}+e_{5}-\cdots +(-1)^{k}e_{2k+1}}{e_{0}-e_{2}+e_{4}-\cdots +(-1)^{k}e_{2k}}}={\frac {\sum _{i=1}^{k}(-1)^{i}e_{2i+1}}{\sum _{i=0}^{k}(-1)^{i}e_{2i}}}.\!} Наприклад:
t g ( α 1 + α 2 ) = e 1 e 0 − e 2 = x 1 + x 2 1 − x 1 x 2 = t g α 1 + t g α 2 1 − t g α 1 t g α 2 , t g ( α 1 + α 2 + α 3 ) = e 1 − e 3 e 0 − e 2 = ( x 1 + x 2 + x 3 ) − ( x 1 x 2 x 3 ) 1 − ( x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 ) = t g α 1 + t g α 2 + t g α 3 − t g α 1 t g α 2 t g α 3 1 − ( t g α 1 t g α 2 + t g α 1 t g α 3 + t g α 2 t g α 3 ) , t g ( α 1 + α 2 + α 3 + α 4 ) = e 1 − e 3 e 0 − e 2 + e 4 = ( x 1 + x 2 + x 3 + x 4 ) − ( x 1 x 2 x 3 + x 1 x 2 x 4 + x 1 x 3 x 4 + x 2 x 3 x 4 ) 1 − ( x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 1 x 4 + x 2 x 3 + x 2 x 4 + x 3 x 4 ) + ( x 1 x 2 x 3 x 4 ) {\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {tg} (\alpha _{1}+\alpha _{2})&={\frac {e_{1}}{e_{0}-e_{2}}}={\frac {x_{1}+x_{2}}{1\ -\ x_{1}x_{2}}}={\frac {\mathrm {tg} \,\alpha _{1}+\mathrm {tg} \,\alpha _{2}}{1\ -\ \mathrm {tg} \,\alpha _{1}\mathrm {tg} \,\alpha _{2}}},\\[8pt]\mathrm {tg} (\alpha _{1}+\alpha _{2}+\alpha _{3})&={\frac {e_{1}-e_{3}}{e_{0}-e_{2}}}={\frac {(x_{1}+x_{2}+x_{3})\ -\ (x_{1}x_{2}x_{3})}{1\ -\ (x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3})}}={\frac {\mathrm {tg} \,\alpha _{1}+\mathrm {tg} \,\alpha _{2}+\mathrm {tg} \,\alpha _{3}-\mathrm {tg} \,\alpha _{1}\mathrm {tg} \,\alpha _{2}\mathrm {tg} \,\alpha _{3}}{1-(\mathrm {tg} \,\alpha _{1}\,\mathrm {tg} \,\alpha _{2}+\mathrm {tg} \,\alpha _{1}\,\mathrm {tg} \,\alpha _{3}+\mathrm {tg} \,\alpha _{2}\mathrm {tg} \,\alpha _{3})}},\\[8pt]\mathrm {tg} (\alpha _{1}+\alpha _{2}+\alpha _{3}+\alpha _{4})&={\frac {e_{1}-e_{3}}{e_{0}-e_{2}+e_{4}}}\\[8pt]&={\frac {(x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4})\ -\ (x_{1}x_{2}x_{3}+x_{1}x_{2}x_{4}+x_{1}x_{3}x_{4}+x_{2}x_{3}x_{4})}{1\ -\ (x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{1}x_{4}+x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+x_{3}x_{4})\ +\ (x_{1}x_{2}x_{3}x_{4})}}\end{aligned}}} і так далі.
Секанс і косеканс від суми аргументів sec ( ∑ i n α i ) = ∏ i n sec α i e 0 − e 2 + e 4 − ⋯ = ∏ i n sec α i ∑ 0 ≤ 2 k ≤ n ( − 1 ) k e 2 k csc ( ∑ i n α i ) = ∏ i n sec α i e 1 − e 3 + e 5 − ⋯ = ∏ i n sec α i ∑ 1 ≤ 2 k + 1 ≤ n ( − 1 ) k e 2 k + 1 {\displaystyle {\begin{aligned}\sec \left(\sum _{i}^{n}\alpha _{i}\right)&={\frac {\displaystyle \prod _{i}^{n}\sec \alpha _{i}}{e_{0}-e_{2}+e_{4}-\cdots }}={\frac {\displaystyle \prod _{i}^{n}\sec \alpha _{i}}{\displaystyle \sum _{0\leq 2k\leq n}(-1)^{k}e_{2k}}}\\[8pt]\csc \left(\sum _{i}^{n}\alpha _{i}\right)&={\frac {\displaystyle \prod _{i}^{n}\sec \alpha _{i}}{e_{1}-e_{3}+e_{5}-\cdots }}={\frac {\displaystyle \prod _{i}^{n}\sec \alpha _{i}}{\displaystyle \sum _{1\leq 2k+1\leq n}(-1)^{k}e_{2k+1}}}\end{aligned}}} де e k елементарні симетричні многочлени степеня k від n змінних (дивись пункт тангенси від сум аргументів )
x i = tg α i i = 1 , 2 , … , n . {\displaystyle x_{i}=\operatorname {tg} \alpha _{i}\quad i=1,2,\ldots ,n.} Наприклад,
sec ( α + β + γ ) = sec α sec β sec γ 1 − t g α t g β − t g α t g γ − t g β t g γ , csc ( α + β + γ ) = sec α sec β sec γ t g α + t g β + t g γ − t g α t g β tg γ . {\displaystyle {\begin{aligned}\sec(\alpha +\beta +\gamma )&={\frac {\sec \alpha \sec \beta \sec \gamma }{1-\mathrm {tg} \,\alpha \,\mathrm {tg} \,\beta -\mathrm {tg} \,\alpha \,\mathrm {tg} \,\gamma -\mathrm {tg} \,\beta \,\mathrm {tg} \,\gamma }},\\[8pt]\csc(\alpha +\beta +\gamma )&={\frac {\sec \alpha \sec \beta \sec \gamma }{\mathrm {tg} \,\alpha +\mathrm {tg} \,\beta +\mathrm {tg} \,\gamma -\mathrm {tg} \,\alpha \,\mathrm {tg} \,\beta \operatorname {tg} \gamma }}.\end{aligned}}}
Формули подвійного кута
Формули потрійного кута Формули потрійного кута sin 3 α = 3 sin α − 4 sin 3 α = 4 sin α sin ( π 3 − α ) sin ( π 3 + α ) {\displaystyle \sin 3\alpha =3\sin \alpha -4\sin ^{3}\alpha =4\sin \alpha \sin \left({\frac {\pi }{3}}-\alpha \right)\sin \left({\frac {\pi }{3}}+\alpha \right)\,} cos 3 α = 4 cos 3 α − 3 cos α = 4 cos α cos ( π 3 − α ) cos ( π 3 + α ) {\displaystyle \cos 3\alpha =4\cos ^{3}\alpha -3\cos \alpha =4\cos \alpha \cos \left({\frac {\pi }{3}}-\alpha \right)\cos \left({\frac {\pi }{3}}+\alpha \right)\,} tg 3 α = 3 tg α − tg 3 α 1 − 3 tg 2 α = t g α tg ( π 3 − α ) tg ( π 3 + α ) {\displaystyle \operatorname {tg} 3\alpha ={\frac {3\operatorname {tg} \alpha -\operatorname {tg} ^{3}\alpha }{1-3\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}=\mathop {\mathrm {tg} } \,\alpha \operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{3}}-\alpha \right)\operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{3}}+\alpha \right)} ctg 3 α = 3 ctg α − ctg 3 α 1 − 3 ctg 2 α = c t g α ctg ( π 3 − α ) ctg ( π 3 + α ) {\displaystyle \operatorname {ctg} 3\alpha ={\frac {3\operatorname {ctg} \alpha -\operatorname {ctg} ^{3}\alpha }{1-3\operatorname {ctg} ^{2}\alpha }}=\mathrm {ctg} \,\alpha \,\operatorname {ctg} \left({\frac {\pi }{3}}-\alpha \right)\operatorname {ctg} \left({\frac {\pi }{3}}+\alpha \right)}
Формули кратних кутів Формули кратних кутів sin ( n α ) = ∑ k = 0 [ n / 2 ] ( − 1 ) k ( n 2 k + 1 ) cos n − 2 k − 1 α sin 2 k + 1 α {\displaystyle \sin(n\alpha )=\sum _{k=0}^{[n/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k+1}}\cos ^{n-2k-1}\alpha \,\sin ^{2k+1}\alpha } cos ( n α ) = ∑ k = 0 [ n / 2 ] ( − 1 ) k ( n 2 k ) cos n − 2 k α sin 2 k α {\displaystyle \cos(n\alpha )=\sum _{k=0}^{[n/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k}}\cos ^{n-2k}\alpha \,\sin ^{2k}\alpha } t g ( n α ) = sin ( n α ) cos ( n α ) = ∑ k = 0 [ n / 2 ] ( − 1 ) k ( n 2 k + 1 ) tg 2 k + 1 α ∑ k = 0 [ n / 2 ] ( − 1 ) k ( n 2 k ) tg 2 k α {\displaystyle \mathrm {tg} (n\alpha )={\frac {\sin(n\alpha )}{\cos(n\alpha )}}={\dfrac {\displaystyle {\sum \limits _{k=0}^{[n/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k+1}}\operatorname {tg} ^{2k+1}\alpha }}{\displaystyle {\sum \limits _{k=0}^{[n/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k}}\operatorname {tg} ^{2k}\alpha }}}} c t g ( n α ) = cos ( n α ) sin ( n α ) = ∑ k = 0 [ n / 2 ] ( − 1 ) k ( n 2 k ) ctg n − 2 k α ∑ k = 0 [ n / 2 ] ( − 1 ) k ( n 2 k + 1 ) ctg n − 2 k − 1 α {\displaystyle \mathrm {ctg} (n\alpha )={\frac {\cos(n\alpha )}{\sin(n\alpha )}}={\dfrac {\displaystyle {\sum \limits _{k=0}^{[n/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k}}\operatorname {ctg} ^{n-2k}\alpha }}{\displaystyle {\sum \limits _{k=0}^{[n/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k+1}}\operatorname {ctg} ^{n-2k-1}\alpha }}}}
де [ n ] {\displaystyle [n]} ціла частина числа n {\displaystyle n} ( n k ) {\displaystyle {\binom {n}{k}}} біноміальний коефіцієнт .
Вивід формул
Формули для кратних кутів виводяться за допомогою формули Муавра
( cos α + i sin α ) n = cos ( n α ) + i sin ( n α ) , i 2 = − 1. {\displaystyle \left(\cos \alpha +i\sin \alpha \right)^{n}=\cos \left(n\alpha \right)+i\sin \left(n\alpha \right),\quad i^{2}=-1.} Розкриємо праву частину рівності за формулою бінома Ньютона
( cos α + i sin α ) n = ∑ q = 0 n ( n q ) ( cos α ) n − q ( i sin α ) q . {\displaystyle \left(\cos \alpha +i\sin \alpha \right)^{n}=\sum _{q=0}^{n}{n \choose q}(\cos \alpha )^{n-q}(i\sin \alpha )^{q}.} Врахувавши, що i 2 k = ( − 1 ) k , i 2 k + 1 = ( − 1 ) k i , k ∈ Z + , {\displaystyle i^{2k}=(-1)^{k},\,i^{2k+1}=(-1)^{k}i,\,k\in \mathbb {Z} _{+},}
( cos α + i sin α ) n = ∑ k = 0 [ n / 2 ] ( n 2 k ) ( − 1 ) k ( cos α ) n − 2 k ( sin α ) 2 k + i ( ∑ k = 0 [ n / 2 ] ( n 2 k + 1 ) ( − 1 ) k ( cos α ) n − 2 k − 1 ( sin α ) 2 k + 1 ) . {\displaystyle \left(\cos \alpha +i\sin \alpha \right)^{n}=\sum _{k=0}^{[n/2]}{n \choose 2k}(-1)^{k}(\cos \alpha )^{n-2k}(\sin \alpha )^{2k}+i\left(\sum _{k=0}^{[n/2]}{n \choose 2k+1}(-1)^{k}(\cos \alpha )^{n-2k-1}(\sin \alpha )^{2k+1}\right).} Підставимо отриману рівність у формулу Муавра
∑ k = 0 [ n / 2 ] ( n 2 k ) ( − 1 ) k ( cos α ) n − 2 k ( sin α ) 2 k + i ( ∑ k = 0 [ n / 2 ] ( n 2 k + 1 ) ( − 1 ) k ( cos α ) n − 2 k − 1 ( sin α ) 2 k + 1 ) = cos ( n α ) + i sin ( n α ) . {\displaystyle \sum _{k=0}^{[n/2]}{n \choose 2k}(-1)^{k}(\cos \alpha )^{n-2k}(\sin \alpha )^{2k}+i\left(\sum _{k=0}^{[n/2]}{n \choose 2k+1}(-1)^{k}(\cos \alpha )^{n-2k-1}(\sin \alpha )^{2k+1}\right)=\cos \left(n\alpha \right)+i\sin \left(n\alpha \right).} Оскільки два комплексні числа рівні тоді і лише тоді коли рівні їхні дійсні та уявні частини, то з останньої рівності отримуємо шукані формули
sin ( n α ) = ∑ k = 0 [ n / 2 ] ( − 1 ) k ( n 2 k + 1 ) cos n − 2 k − 1 α sin 2 k + 1 α , {\displaystyle \sin(n\alpha )=\sum _{k=0}^{[n/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k+1}}\cos ^{n-2k-1}\alpha \,\sin ^{2k+1}\alpha ,} cos ( n α ) = ∑ k = 0 [ n / 2 ] ( − 1 ) k ( n 2 k ) cos n − 2 k α sin 2 k α . {\displaystyle \cos(n\alpha )=\sum _{k=0}^{[n/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k}}\cos ^{n-2k}\alpha \,\sin ^{2k}\alpha .}
Ітераційні формули sin ( n + 1 ) α = 2 sin α cos n α + sin ( n − 1 ) α , {\displaystyle \sin(n+1)\alpha =2\sin \alpha \cos n\alpha +\sin(n-1)\alpha ,} cos ( n + 1 ) α = 2 cos α cos n α + cos ( n − 1 ) α . {\displaystyle \cos(n+1)\alpha =2\cos \alpha \cos n\alpha +\cos(n-1)\alpha .} t g ( n + 1 ) α = t g ( n α ) + tg α 1 − t g ( n α ) tg α . {\displaystyle \mathrm {tg} (n+1)\alpha ={\frac {\mathrm {tg} (n\alpha )+\operatorname {tg} \alpha }{1-\mathrm {tg} (n\alpha )\operatorname {tg} \alpha }}.} c t g ( n + 1 ) α = c t g ( n α ) ctg α − 1 c t g ( n α ) + ctg α . {\displaystyle \mathrm {ctg} (n+1)\alpha ={\frac {\mathrm {ctg} (n\alpha )\operatorname {ctg} \alpha -1}{\mathrm {ctg} (n\alpha )+\operatorname {ctg} \alpha }}.}
З використанням спеціальних многочленів Мають місце такі співвідношення:
cos n α = T n ( cos α ) , sin 2 n α = 1 − T n ( 1 − 2 sin 2 α ) 2 , {\displaystyle \cos n\alpha =T_{n}(\cos \alpha ),\quad \sin ^{2}n\alpha ={\frac {1-T_{n}(1-2\sin ^{2}\alpha )}{2}},} де T n ( x ) {\displaystyle T_{n}(x)} поліном Чебишова першого роду степеня n.
Зображення у вигляді скінченних добутків sin 2 m α = 2 m sin α cos α ∏ k = 1 m − 1 ( 1 − sin 2 α sin 2 π k 2 m ) , cos 2 m α = ∏ k = 1 m ( 1 − sin 2 α sin 2 π ( 2 k − 1 ) 4 m ) , m ∈ N , {\displaystyle \sin 2m\alpha =2m\sin \alpha \cos \alpha \prod _{k=1}^{m-1}\left(1-{\frac {\sin ^{2}\alpha }{\displaystyle \sin ^{2}{\frac {\pi k}{2m}}}}\right),\quad \cos 2m\alpha =\prod _{k=1}^{m}\left(1-{\frac {\sin ^{2}\alpha }{\displaystyle \sin ^{2}{\frac {\pi (2k-1)}{4m}}}}\right),\quad m\in \mathbb {N} ,}
sin ( 2 m − 1 ) α = ( 2 m − 1 ) sin α ∏ k = 1 m − 1 ( 1 − sin 2 α sin 2 π k 2 m − 1 ) , cos ( 2 m − 1 ) α = cos α ∏ k = 1 m ( 1 − sin 2 α sin 2 π ( 2 k − 1 ) 2 ( 2 m − 1 ) ) , m ∈ N , {\displaystyle \sin(2m-1)\alpha =(2m-1)\sin \alpha \prod _{k=1}^{m-1}\left(1-{\frac {\sin ^{2}\alpha }{\displaystyle \sin ^{2}{\frac {\pi k}{2m-1}}}}\right),\quad \cos(2m-1)\alpha =\cos \alpha \prod _{k=1}^{m}\left(1-{\frac {\sin ^{2}\alpha }{\displaystyle \sin ^{2}{\frac {\pi (2k-1)}{2(2m-1)}}}}\right),\quad m\in \mathbb {N} ,}
sin n α = 2 n − 1 ∏ k = 0 n − 1 sin ( α + k π n ) , cos n α = 2 n − 1 ∏ k = 1 n sin ( α + ( 2 k − 1 ) π 2 n ) . {\displaystyle \sin n\alpha =2^{n-1}\prod _{k=0}^{n-1}\sin \left(\alpha +{\frac {k\pi }{n}}\right),\quad \cos n\alpha =2^{n-1}\prod _{k=1}^{n}\sin \left(\alpha +{\frac {(2k-1)\pi }{2n}}\right).}
Формули половинного кута
Формули пониження степеня
Загальні формули пониження степеня
Формули перетворення добутків функцій Формули перетворення добутків функцій sin α sin β = cos ( α − β ) − cos ( α + β ) 2 {\displaystyle \sin \alpha \sin \beta ={\frac {\cos(\alpha -\beta )-\cos(\alpha +\beta )}{2}}} (28) sin α cos β = sin ( α + β ) + sin ( α − β ) 2 {\displaystyle \sin \alpha \cos \beta ={\frac {\sin(\alpha +\beta )+\sin(\alpha -\beta )}{2}}} (29) cos α cos β = cos ( α + β ) + cos ( α − β ) 2 {\displaystyle \cos \alpha \cos \beta ={\frac {\cos(\alpha +\beta )+\cos(\alpha -\beta )}{2}}} (30) tg α tg β = cos ( α − β ) − cos ( α + β ) cos ( α + β ) + cos ( α − β ) {\displaystyle \operatorname {tg} \alpha \operatorname {tg} \beta ={\frac {\cos(\alpha -\beta )-\cos(\alpha +\beta )}{\cos(\alpha +\beta )+\cos(\alpha -\beta )}}} cos α cos β cos γ = cos ( α + β + γ ) + cos ( α − β + γ ) + cos ( α + β − γ ) + cos ( β + γ − α ) 4 {\displaystyle \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma ={\frac {\cos(\alpha +\beta +\gamma )+\cos(\alpha -\beta +\gamma )+\cos(\alpha +\beta -\gamma )+\cos(\beta +\gamma -\alpha )}{4}}} (31) sin α cos β cos γ = sin ( α + β + γ ) + sin ( α − β + γ ) + sin ( α + β − γ ) − sin ( β + γ − α ) 4 {\displaystyle \sin \alpha \cos \beta \cos \gamma ={\frac {\sin(\alpha +\beta +\gamma )+\sin(\alpha -\beta +\gamma )+\sin(\alpha +\beta -\gamma )-\sin(\beta +\gamma -\alpha )}{4}}} (32) sin α sin β cos γ = − cos ( α + β + γ ) + cos ( α − β + γ ) − cos ( α + β − γ ) − cos ( β + γ − α ) 4 {\displaystyle \,\sin \alpha \sin \beta \cos \gamma ={\frac {-\cos(\alpha +\beta +\gamma )+\cos(\alpha -\beta +\gamma )-\cos(\alpha +\beta -\gamma )-\cos(\beta +\gamma -\alpha )}{4}}} (33) sin α sin β sin γ = − sin ( α + β + γ ) + sin ( α − β + γ ) + sin ( α + β − γ ) + sin ( β + γ − α ) 4 {\displaystyle \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma ={\frac {-\sin(\alpha +\beta +\gamma )+\sin(\alpha -\beta +\gamma )+\sin(\alpha +\beta -\gamma )+\sin(\beta +\gamma -\alpha )}{4}}} (34)
Формули перетворення суми функцій Формули перетворення суми функцій sin α ± sin β = 2 sin α ± β 2 cos α ∓ β 2 {\displaystyle \sin \alpha \pm \sin \beta =2\sin {\frac {\alpha \pm \beta }{2}}\cos {\frac {\alpha \mp \beta }{2}}} (35) cos α + cos β = 2 cos α + β 2 cos α − β 2 {\displaystyle \cos \alpha +\cos \beta =2\cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}} (36) cos α − cos β = − 2 sin α + β 2 sin α − β 2 {\displaystyle \cos \alpha -\cos \beta =-2\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}} (37) t g α ± t g β = sin ( α ± β ) cos α cos β {\displaystyle \mathop {\mathrm {tg} } \alpha \pm \mathop {\mathrm {tg} } \beta ={\frac {\sin(\alpha \pm \beta )}{\cos \alpha \cos \beta }}} (38) c t g α ± c t g β = sin ( β ± α ) sin α sin β {\displaystyle \mathop {\mathrm {ctg} } \alpha \pm \mathop {\mathrm {ctg} } \beta ={\frac {\sin(\beta \pm \alpha )}{\sin \alpha \sin \beta }}} (39) t g α ± c t g β = ± cos ( α ∓ β ) cos α sin β {\displaystyle \mathop {\mathrm {tg} } \alpha \pm \mathop {\mathrm {ctg} } \beta ={\frac {\pm \cos(\alpha \mp \beta )}{\cos \alpha \sin \beta }}} (40) t g α + c t g α = 1 cos α sin α = 2 csc 2 α {\displaystyle \mathop {\mathrm {tg} } \alpha +\mathop {\mathrm {ctg} } \alpha ={\frac {1}{\cos \alpha \sin \alpha }}=2\csc 2\alpha } (41) t g α − c t g α = − 2 c t g 2 α {\displaystyle \mathop {\mathrm {tg} } \alpha -\mathop {\mathrm {ctg} } \alpha =-2\mathop {\mathrm {ctg} } 2\alpha } (42) cos α + sin α = 2 cos ( π 4 − α ) = 2 sin ( π 4 + α ) {\displaystyle \cos \alpha +\sin \alpha ={\sqrt {2}}\cos \left({\frac {\pi }{4}}-\alpha \right)={\sqrt {2}}\sin \left({\frac {\pi }{4}}+\alpha \right)} (43) cos α − sin α = 2 sin ( π 4 − α ) = 2 cos ( π 4 + α ) {\displaystyle \cos \alpha -\sin \alpha ={\sqrt {2}}\sin \left({\frac {\pi }{4}}-\alpha \right)={\sqrt {2}}\cos \left({\frac {\pi }{4}}+\alpha \right)} (43)
Загальні суми ∑ k = 1 n cos ( 2 k − 1 ) α = cos α + cos 3 α + cos 5 α + … + cos ( 2 n − 1 ) α = sin 2 n α 2 sin α , n ≥ 1 , {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}\cos(2k-1)\alpha =\cos \alpha +\cos 3\alpha +\cos 5\alpha +\ldots +\cos(2n-1)\alpha ={\frac {\sin 2n\alpha }{2\sin \alpha }},\quad n\geq 1,} {\displaystyle }
∑ k = 0 n sin ( 2 k − 1 ) α = sin α + sin 3 α + sin 5 α + … + sin ( 2 n − 1 ) α = sin 2 n α sin α , n ≥ 1 , {\displaystyle \sum _{k=0}^{n}\sin(2k-1)\alpha =\sin \alpha +\sin 3\alpha +\sin 5\alpha +\ldots +\sin(2n-1)\alpha ={\frac {\sin ^{2}n\alpha }{\sin \alpha }},\quad n\geq 1,} {\displaystyle }
∑ k = 0 n cos ( φ + k α ) = cos φ + cos ( φ + α ) + cos ( φ + 2 α ) + … + cos ( φ + n α ) = cos ( φ + n α 2 ) sin ( n + 1 ) α 2 sin α 2 , α ≠ 0 , n ≥ 1 , {\displaystyle \sum _{k=0}^{n}\cos(\varphi +k\alpha )=\cos \varphi +\cos(\varphi +\alpha )+\cos(\varphi +2\alpha )+\ldots +\cos(\varphi +n\alpha )={\frac {\displaystyle \cos \left(\varphi +{\frac {n\alpha }{2}}\right)\sin {\frac {(n+1)\alpha }{2}}}{\displaystyle \sin {\frac {\alpha }{2}}}},\quad \alpha \neq 0,n\geq 1,}
∑ k = 0 n sin ( φ + k α ) = sin φ + sin ( φ + α ) + sin ( φ + 2 α ) + … + sin ( φ + n α ) = sin ( φ + n α 2 ) sin ( n + 1 ) α 2 sin α 2 , α ≠ 0 , n ≥ 1. {\displaystyle \sum _{k=0}^{n}\sin(\varphi +k\alpha )=\sin \varphi +\sin(\varphi +\alpha )+\sin(\varphi +2\alpha )+\ldots +\sin(\varphi +n\alpha )={\frac {\displaystyle \sin \left(\varphi +{\frac {n\alpha }{2}}\right)\sin {\frac {(n+1)\alpha }{2}}}{\displaystyle \sin {\frac {\alpha }{2}}}},\quad \alpha \neq 0,n\geq 1.}
∑ k = 0 n cos 2 ( k α ) = 3 + 2 n + csc α sin ( 2 n + 1 ) α 4 , ∑ k = 0 n sin 2 ( k α ) = 1 + 2 n − csc α sin ( 2 n + 1 ) α 4 , n ≥ 1 , {\displaystyle \sum _{k=0}^{n}\cos ^{2}(k\alpha )={\frac {\displaystyle 3+2n+\csc \alpha \sin(2n+1)\alpha }{4}},\quad \sum _{k=0}^{n}\sin ^{2}(k\alpha )={\frac {\displaystyle 1+2n-\csc \alpha \sin(2n+1)\alpha }{4}},\quad n\geq 1,}
∑ k = 1 n − 1 k cos ( k α ) = n sin 2 n − 1 2 α 2 sin α 2 − 1 − cos n α 4 sin 2 α 2 , ∑ k = 1 n − 1 k sin ( k α ) = sin n α 4 sin 2 α 2 − n cos 2 n − 1 2 α 2 sin α 2 , n ≥ 2 , {\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}k\cos(k\alpha )={\frac {n\displaystyle \sin {\frac {2n-1}{2}}\alpha }{2\displaystyle \sin {\frac {\alpha }{2}}}}-{\frac {1-\cos n\alpha }{4\displaystyle \sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}},\quad \sum _{k=1}^{n-1}k\sin(k\alpha )={\frac {\sin n\alpha }{4\displaystyle \sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}-{\frac {n\displaystyle \cos {\frac {2n-1}{2}}\alpha }{2\displaystyle \sin {\frac {\alpha }{2}}}},\quad n\geq 2,}
∑ k = 0 n p k cos ( k α ) = 1 − p cos α − p n + 1 cos ( n + 1 ) α − p n + 2 cos n α 1 − 2 p cos α + p 2 , n ≥ 1 , {\displaystyle \sum _{k=0}^{n}p^{k}\cos(k\alpha )={\frac {1-p\cos \alpha -p^{n+1}\cos(n+1)\alpha -p^{n+2}\cos n\alpha }{1-2p\cos \alpha +p^{2}}},\quad n\geq 1,} ∑ k = 0 n p k sin ( k α ) = p sin α − p n + 1 sin ( n + 1 ) α − p n + 2 sin n α 1 − 2 p cos α + p 2 , n ≥ 1. {\displaystyle \sum _{k=0}^{n}p^{k}\sin(k\alpha )={\frac {p\sin \alpha -p^{n+1}\sin(n+1)\alpha -p^{n+2}\sin n\alpha }{1-2p\cos \alpha +p^{2}}},\quad n\geq 1.} p {\displaystyle p} | p | < 1 {\displaystyle |p|<1} n → ∞ {\displaystyle n\rightarrow \infty }
∑ k = 0 ∞ p k cos ( k α ) = 1 − p cos α 1 − 2 p cos α + p 2 , ∑ k = 0 ∞ p k sin ( k α ) = p sin α 1 − 2 p cos α + p 2 . {\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }p^{k}\cos(k\alpha )={\frac {1-p\cos \alpha }{1-2p\cos \alpha +p^{2}}},\quad \sum _{k=0}^{\infty }p^{k}\sin(k\alpha )={\frac {p\sin \alpha }{1-2p\cos \alpha +p^{2}}}.}
Ядро Діріхле та ядро Феєра Сума виду
D n ( x ) = 1 2 + ∑ k = 1 n cos ( k x ) = sin ( ( n + 1 2 ) x ) 2 sin ( x 2 ) . {\displaystyle D_{n}(x)={\frac {1}{2}}+\sum _{k=1}^{n}\cos(kx)={\frac {\sin \left(\left(n+\displaystyle {\frac {1}{2}}\right)x\right)}{2\sin \left(\displaystyle {\frac {x}{2}}\right)}}.} називається ядром Діріхле .
А функція
Φ n ( x ) = 1 n + 1 ∑ k = 0 n D k ( x ) , {\displaystyle \Phi _{n}(x)={\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}D_{k}(x),} називається ядром Феєра
Φ n ( x ) = 1 2 ( n + 1 ) ( sin n + 1 2 x sin x 2 ) 2 = 1 2 ( n + 1 ) 1 − cos ( ( n + 1 ) x ) 1 − cos x {\displaystyle \Phi _{n}(x)={\frac {1}{2(n+1)}}\left({\frac {\sin \displaystyle {\frac {n+1}{2}}x}{\sin \displaystyle {\frac {x}{2}}}}\right)^{2}={\frac {1}{2(n+1)}}{\frac {1-\cos((n+1)x)}{1-\cos x}}} Вони використані при сумуванні рядів Фур'є .
Зображення через нескінченні добутки sin x = x ∏ n = 1 ∞ ( 1 − x 2 π 2 n 2 ) , cos x = ∏ n = 1 ∞ ( 1 − x 2 π 2 ( n − 1 2 ) 2 ) , {\displaystyle \sin x=x\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}n^{2}}}\right),\qquad \cos x=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-\displaystyle {\frac {x^{2}}{\pi ^{2}\left(n-\displaystyle {\frac {1}{2}}\right)^{2}}}\right),}
Співвдношення за додаткових обмежень на значення кутів α + β + γ = π , {\displaystyle \alpha +\beta +\gamma =\pi ,} тоді
sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ = 4 sin α sin β sin γ , {\displaystyle \sin 2\alpha +\sin 2\beta +\sin 2\gamma =4\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma ,\,} sin α + sin β + sin γ = 4 cos α 2 cos β 2 cos γ 2 , {\displaystyle \sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma =4\cos {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\beta }{2}}\cos {\frac {\gamma }{2}},\,} sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ = 2 cos α cos β cos γ + 2 , {\displaystyle \sin ^{2}\alpha +\sin ^{2}\beta +\sin ^{2}\gamma =2\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma +2,\,}
cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = − 4 cos α cos β cos γ − 1 , {\displaystyle \cos 2\alpha +\cos 2\beta +\cos 2\gamma =-4\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma -1,\,} cos α + cos β + cos γ = 4 sin α 2 sin β 2 sin γ 2 + 1 , {\displaystyle \cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma =4\sin {\frac {\alpha }{2}}\sin {\frac {\beta }{2}}\sin {\frac {\gamma }{2}}+1,} cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = − 2 cos α cos β cos γ + 1 , {\displaystyle \cos ^{2}\alpha +\cos ^{2}\beta +\cos ^{2}\gamma =-2\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma +1,\,}
t g α + t g β + t g γ = t g α t g β t g γ , {\displaystyle \mathrm {tg} \,\alpha +\mathrm {tg} \,\beta +\mathrm {tg} \,\gamma =\mathrm {tg} \,\alpha \,\mathrm {tg} \,\beta \,\mathrm {tg} \,\gamma ,\,} t g β 2 t g γ 2 + t g γ 2 t g α 2 + t g α 2 t g β 2 = 1 , {\displaystyle \mathrm {tg} \,{\frac {\beta }{2}}\mathrm {tg} \,{\frac {\gamma }{2}}+\mathrm {tg} \,{\frac {\gamma }{2}}\mathrm {tg} \,{\frac {\alpha }{2}}+\mathrm {tg} \,{\frac {\alpha }{2}}\mathrm {tg} \,{\frac {\beta }{2}}=1,}
c t g α 2 + c t g β 2 + c t g γ 2 = c t g α 2 ⋅ c t g β 2 ⋅ c t g γ 2 , {\displaystyle \mathrm {ctg} \,{\frac {\alpha }{2}}+\mathrm {ctg} \,{\frac {\beta }{2}}+\mathrm {ctg} \,{\frac {\gamma }{2}}=\mathrm {ctg} \,{\frac {\alpha }{2}}\cdot \mathrm {ctg} \,{\frac {\beta }{2}}\cdot \mathrm {ctg} \,{\frac {\gamma }{2}},} c t g α c t g β + c t g β c t g γ + c t g γ c t g α = 1. {\displaystyle \mathrm {ctg} \,\alpha \,\mathrm {ctg} \,\beta +\mathrm {ctg} \,\beta \,\mathrm {ctg} \,\gamma +\mathrm {ctg} \,\gamma \,\mathrm {ctg} \,\alpha =1.\,} Зауважимо, що наведені вище співвідношення справджуються, якщо α , β , γ {\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }
α + β + γ = π 2 , {\displaystyle \alpha +\beta +\gamma ={\frac {\pi }{2}},} тоді
c t g ( α ) + c t g ( β ) + c t g ( γ ) = c t g ( α ) c t g ( β ) c t g ( γ ) . {\displaystyle \mathrm {ctg} (\alpha )+\mathrm {ctg} (\beta )+\mathrm {ctg} (\gamma )=\mathrm {ctg} (\alpha )\,\mathrm {ctg} (\beta )\,\mathrm {ctg} (\gamma ).}
α + β + γ + θ = π , {\displaystyle \alpha +\beta +\gamma +\theta =\pi ,} тоді
sin ( θ + α ) sin ( α + β ) = sin ( α + β ) sin ( β + γ ) = sin ( β + γ ) sin ( γ + θ ) = sin ( γ + θ ) sin ( θ + α ) = sin ( θ ) sin ( β ) + sin ( α ) sin ( γ ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\theta +\alpha )\sin(\alpha +\beta )&=\sin(\alpha +\beta )\sin(\beta +\gamma )\\&=\sin(\beta +\gamma )\sin(\gamma +\theta )\\&=\sin(\gamma +\theta )\sin(\theta +\alpha )\\&=\sin(\theta )\sin(\beta )+\sin(\alpha )\sin(\gamma ).\end{aligned}}}
Обернені тригонометричні функції arcsin ( − x ) = − arcsin ( x ) , arccos ( − x ) = π − arccos ( x ) , arcsin ( x ) + arccos ( x ) = π / 2 {\displaystyle \arcsin(-x)=-\arcsin(x),\quad \arccos(-x)=\pi -\arccos(x),\quad \arcsin(x)+\arccos(x)=\pi /2\;} a r c t g ( − x ) = − a r c t g ( x ) , a r c c t g ( − x ) = π − a r c c t g ( x ) , a r c t g ( x ) + a r c c t g ( x ) = π / 2. {\displaystyle \mathrm {arctg} (-x)=-\mathrm {arctg} (x),\quad \mathrm {arcctg} (-x)=\pi -\mathrm {arcctg} (x),\quad \mathrm {arctg} (x)+\mathrm {arcctg} (x)=\pi /2.\;} a r c t g ( x ) + a r c t g ( 1 / x ) = { π / 2 , x > 0 , − π / 2 , x < 0. {\displaystyle \mathrm {arctg} (x)+\mathrm {arctg} (1/x)=\left\{{\begin{matrix}\pi /2,&x>0,\\-\pi /2,&x<0.\end{matrix}}\right.} Зв'язок між оберненими тригонометричними функціями для x>0 arccos {\displaystyle \arccos } arcsin {\displaystyle \arcsin } a r c t g {\displaystyle \mathrm {arctg} \,} a r c c t g {\displaystyle \mathrm {arcctg} \,} arccos x = {\displaystyle \arccos x=} arccos x {\displaystyle \arccos x} π 2 − arcsin x {\displaystyle {\frac {\pi }{2}}-\arcsin x} a r c t g 1 − x 2 x {\displaystyle \mathrm {arctg} \,{\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}} a r c c t g x 1 − x 2 {\displaystyle \mathrm {arcctg} \,{\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}} arcsin x = {\displaystyle \arcsin x=} π 2 − arccos x {\displaystyle {\frac {\pi }{2}}-\arccos x} arcsin x {\displaystyle \arcsin x} a r c t g x 1 − x 2 {\displaystyle \mathrm {arctg} \,{\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}} a r c c t g 1 − x 2 x {\displaystyle \mathrm {arcctg} \,{\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}} a r c t g x = {\displaystyle \mathrm {arctg} \,x=} arccos 1 1 + x 2 {\displaystyle \arccos {\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}} arcsin x 1 + x 2 {\displaystyle \arcsin {\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}} a r c t g x {\displaystyle \mathrm {arctg} \,x} a r c c t g 1 x {\displaystyle \mathrm {arcctg} \,{\frac {1}{x}}} a r c c t g x = {\displaystyle \mathrm {arcctg} \,x=} arccos x 1 + x 2 {\displaystyle \arccos {\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}} arcsin 1 1 + x 2 {\displaystyle \arcsin {\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}} a r c t g 1 x {\displaystyle \mathrm {arctg} \,{\frac {1}{x}}} a r c c t g x {\displaystyle \mathrm {arcctg} \,x}
Поєднання тригонометричних та обернених їм функцій Поєднання тригонометричних та обернених їм функцій sin [ arccos ( x ) ] = 1 − x 2 {\displaystyle \sin[\arccos(x)]={\sqrt {1-x^{2}}}\,} t g [ arcsin ( x ) ] = x 1 − x 2 {\displaystyle \mathrm {tg} [\arcsin(x)]={\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}} sin [ a r c t g ( x ) ] = x 1 + x 2 {\displaystyle \sin[\mathrm {arctg} (x)]={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}} t g [ arccos ( x ) ] = 1 − x 2 x {\displaystyle \mathrm {tg} [\arccos(x)]={\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}} cos [ a r c t g ( x ) ] = 1 1 + x 2 {\displaystyle \cos[\mathrm {arctg} (x)]={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}} c t g [ arcsin ( x ) ] = 1 − x 2 x {\displaystyle \mathrm {ctg} [\arcsin(x)]={\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}} cos [ arcsin ( x ) ] = 1 − x 2 {\displaystyle \cos[\arcsin(x)]={\sqrt {1-x^{2}}}\,} c t g [ arccos ( x ) ] = x 1 − x 2 {\displaystyle \mathrm {ctg} [\arccos(x)]={\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}}
Додавання обернених тригонометричних функцій Нехай x , y {\displaystyle x,y} | x | ≤ 1 , | y | ≤ 1 {\displaystyle |x|\leq 1,|y|\leq 1}
arcsin ( x ) + arcsin ( y ) = ( − 1 ) ε arcsin ( x 1 − y 2 + y 1 − x 2 ) + ε π , ε = { 0 , x y ≤ 0 , sgn x , x y > 0 , {\displaystyle \arcsin(x)+\arcsin(y)=(-1)^{\varepsilon }\arcsin \left(x{\sqrt {1-y^{2}}}+y{\sqrt {1-x^{2}}}\right)+\varepsilon \pi ,\quad \varepsilon =\left\{{\begin{matrix}0,&xy\leq 0,\\\operatorname {sgn} x,&xy>0,\end{matrix}}\right.} {\displaystyle \quad } arccos ( x ) + arccos ( y ) = ( − 1 ) ε arccos ( x y − 1 − y 2 1 − x 2 ) + ε π , ε = { 0 , x + y ≥ 0 , 1 , x + y < 0 , {\displaystyle \arccos(x)+\arccos(y)=(-1)^{\varepsilon }\arccos \left(xy-{\sqrt {1-y^{2}}}{\sqrt {1-x^{2}}}\right)+\varepsilon \pi ,\quad \varepsilon =\left\{{\begin{matrix}0,&x+y\geq 0,\\1,&x+y<0,\end{matrix}}\right.} {\displaystyle \quad } a r c t g ( x ) + a r c t g ( y ) = arctg ( x + y 1 − x y ) + ε π , ε = { − 1 , x y < 1 , 0 , x y = 1 , 1 , x y > 1. {\displaystyle \mathrm {arctg} (x)+\mathrm {arctg} (y)=\operatorname {arctg} \left({\frac {x+y}{1-xy}}\right)+\varepsilon \pi ,\quad \varepsilon =\left\{{\begin{array}{ll}-1,&xy<1,\\0,&xy=1,\\1,&xy>1.\end{array}}\right.}
Розв'язок найпростіших тригонометричних рівнянь sin x = a {\displaystyle \operatorname {sin} x=a} Якщо | a | > 1 {\displaystyle |a|>1} Якщо | a | ≤ 1 {\displaystyle |a|\leq 1} x = ( − 1 ) n arcsin a + π n ; n ∈ Z {\displaystyle x=(-1)^{n}\arcsin a+\pi n;n\in \mathbb {Z} } cos x = a {\displaystyle \operatorname {cos} x=a} Якщо | a | > 1 {\displaystyle |a|>1} Якщо | a | ≤ 1 {\displaystyle |a|\leq 1} x = ± arccos a + 2 π n ; n ∈ Z {\displaystyle x=\pm \arccos a+2\pi n;n\in \mathbb {Z} } tg x = a {\displaystyle \operatorname {tg} x=a} Розв'язком є число виду x = arctg a + π n ; n ∈ Z {\displaystyle x=\operatorname {arctg} a+\pi n;n\in \mathbb {Z} } ctg x = a {\displaystyle \operatorname {ctg} x=a} Розв'язком є число виду x = arcctg a + π n ; n ∈ Z {\displaystyle x=\operatorname {arcctg} a+\pi n;n\in \mathbb {Z} }
Розв'язок найпростіших тригонометричних нерівностей Вид нерівності Множина розв'язків, n ∈ Z {\displaystyle n\in \mathbb {Z} } sin x > a ( | a | ⩽ 1 ) {\displaystyle \sin x>a\quad (|a|\leqslant 1)} x ∈ ( arcsin a + 2 π n , π − arcsin a + 2 π n ) {\displaystyle x\in (\arcsin a+2\pi n,\,\pi -\arcsin a+2\pi n)} sin x < a ( | a | ⩽ 1 ) {\displaystyle \sin x<a\quad (|a|\leqslant 1)} x ∈ ( − π − arcsin a + 2 π n , arcsin a + 2 π n ) {\displaystyle x\in (-\pi -\arcsin a+2\pi n,\,\arcsin a+2\pi n)} cos x > a ( | a | ⩽ 1 ) {\displaystyle \cos x>a\quad (|a|\leqslant 1)} x ∈ ( − arccos a + 2 π n , arccos a + 2 π n ) {\displaystyle x\in (-\arccos a+2\pi n,\,\arccos a+2\pi n)} cos x < a ( | a | ⩽ 1 ) {\displaystyle \cos x<a\quad (|a|\leqslant 1)} x ∈ ( arccos a + 2 π n , 2 π − arccos a + 2 π n ) {\displaystyle x\in (\arccos a+2\pi n,\,2\pi -\arccos a+2\pi n)} t g x > a {\displaystyle \mathrm {tg} \,x>a} x ∈ ( a r c t g a + π n , π 2 + π n ) {\displaystyle x\in \left(\mathrm {arctg} \,a+\pi n,\,{\frac {\pi }{2}}+\pi n\right)} t g x < a {\displaystyle \mathrm {tg} \,x<a} x ∈ ( − π 2 + π n , a r c t g a + π n ) {\displaystyle x\in \left(-{\frac {\pi }{2}}+\pi n,\,\mathrm {arctg} \,a+\pi n\right)} c t g x > a {\displaystyle \mathrm {ctg} \,x>a} x ∈ ( π n , a r c c t g a + π n ) {\displaystyle x\in (\pi n,\,\mathrm {arcctg} \,a+\pi n)} c t g x < a {\displaystyle \mathrm {ctg} \,x<a} x ∈ ( a r c t g a + π n , π n ) {\displaystyle x\in (\mathrm {arctg} \,a+\pi n,\,\pi n)}
Одна корисна нерівність Для довільного x {\displaystyle x} [ − π / 2 , π / 2 ] {\displaystyle [-\pi /2,\pi /2]}
2 π | x | ⩽ | sin ( x ) | ⩽ | x | . {\displaystyle {\frac {2}{\pi }}|x|\leqslant |{\sin(x)}|\leqslant |x|.}
Універсальна тригонометрична підстановка Тотожності мають зміст лише тоді, коли існують обидві частини (тобто при α ≠ π + 2 π n {\displaystyle \alpha \neq \pi +2\pi n}
sin α = 2 tg α 2 1 + tg 2 α 2 , cos α = 1 − tg 2 α 2 1 + tg 2 α 2 , sec α = 1 + tg 2 α 2 1 − tg 2 α 2 ; {\displaystyle \operatorname {sin} \alpha ={\frac {2\operatorname {tg} \displaystyle {\frac {\alpha }{2}}}{1+\operatorname {tg} ^{2}\displaystyle {\frac {\alpha }{2}}}},\qquad \operatorname {cos} \alpha ={\frac {1-\operatorname {tg} ^{2}\displaystyle {\frac {\alpha }{2}}}{1+\operatorname {tg} ^{2}\displaystyle {\frac {\alpha }{2}}}},\qquad \sec \alpha ={\frac {1+\displaystyle \operatorname {tg} ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}{1-\displaystyle \operatorname {tg} ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}};}
tg α = 2 tg α 2 1 − tg 2 α 2 , ctg α = 1 − tg 2 α 2 2 tg α 2 , csc α = 1 + tg 2 α 2 2 tg α 2 . {\displaystyle \operatorname {tg} \alpha ={\frac {2\operatorname {tg} \displaystyle {\frac {\alpha }{2}}}{1-\operatorname {tg} ^{2}\displaystyle {\frac {\alpha }{2}}}},\qquad \operatorname {ctg} \alpha ={\frac {1-\operatorname {tg} ^{2}\displaystyle {\frac {\alpha }{2}}}{2\operatorname {tg} \displaystyle {\frac {\alpha }{2}}}},\qquad \csc \alpha ={\frac {1+\displaystyle \operatorname {tg} ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}{\displaystyle 2\,{\operatorname {tg} }\,{\frac {\alpha }{2}}}}.}
Допоміжний аргумент (метод Юніса) a sin x ± b cos x = a 2 + b 2 sin ( x ± arcsin b a 2 + b 2 ) , {\displaystyle a\sin x\pm b\cos x={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\sin \left(x\pm \arcsin {\frac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\right),}
a cos x ± b sin x = a 2 + b 2 cos ( x ∓ arccos a a 2 + b 2 ) , {\displaystyle a\cos x\pm b\sin x={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\cos \left(x\mp \arccos {\frac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\right),}
b + a t g ( x ) = a 2 + b 2 sin ( x + a r c t g ( b / a ) ) cos x , {\displaystyle b+a\mathrm {tg} (x)={\frac {{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\sin(x+\mathrm {arctg} (b/a))}{\cos x}},}
a + b c t g ( x ) = a 2 + b 2 sin ( x + a r c t g ( b / a ) ) sin x . {\displaystyle a+b\mathrm {ctg} (x)={\frac {{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\sin(x+\mathrm {arctg} (b/a))}{\sin x}}.}
Перші дві формули можуть бути узагальненими
∑ i = 1 n a i sin ( x + δ i ) = a sin ( x + δ ) , {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}\sin(x+\delta _{i})=a\sin(x+\delta ),} де
a 2 = ∑ i , j = 1 n a i a j cos ( δ i − δ j ) , δ = a r c t g ∑ i = 1 n a i sin δ i ∑ i = 1 n a i cos δ i . {\displaystyle a^{2}=\sum _{i,j=1}^{n}a_{i}a_{j}\cos(\delta _{i}-\delta _{j}),\qquad \delta =\mathrm {arctg} \,{\frac {\sum _{i=1}^{n}a_{i}\sin \delta _{i}}{\sum _{i=1}^{n}a_{i}\cos \delta _{i}}}.}
Зв'язок з комплексною екпонентою e i x = cos ( x ) + i sin ( x ) , i 2 = − 1 , {\displaystyle e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x),\,\,i^{2}=-1,} формула Ейлера ,
Експоненційне зображення тригонометричних функцій та обернених їм Функція Обернена функція sin θ = e i θ − e − i θ 2 i {\displaystyle \sin \theta ={\frac {e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{2i}}\,} arcsin x = − i ln ( i x + 1 − x 2 ) {\displaystyle \arcsin x=-i\ln \left(ix+{\sqrt {1-x^{2}}}\right)\,} cos θ = e i θ + e − i θ 2 {\displaystyle \cos \theta ={\frac {e^{i\theta }+e^{-i\theta }}{2}}\,} arccos x = i ln ( x − i 1 − x 2 ) {\displaystyle \arccos x=i\,\ln \left(x-i\,{\sqrt {1-x^{2}}}\right)\,} tg θ = e i θ − e − i θ i ( e i θ + e − i θ ) {\displaystyle \operatorname {tg} \theta ={\frac {e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{i(e^{i\theta }+e^{-i\theta })}}\,} arctg x = i 2 ln ( i + x i − x ) {\displaystyle \operatorname {arctg} x={\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {i+x}{i-x}}\right)\,} csc θ = 2 i e i θ − e − i θ {\displaystyle \csc \theta ={\frac {2i}{e^{i\theta }-e^{-i\theta }}}\,} arccsc x = − i ln ( i x + 1 − 1 x 2 ) {\displaystyle \operatorname {arccsc} x=-i\ln \left(\displaystyle {\frac {i}{x}}+{\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2}}}}}\right)\,} sec θ = 2 e i θ + e − i θ {\displaystyle \sec \theta ={\frac {2}{e^{i\theta }+e^{-i\theta }}}\,} arcsec x = − i ln ( 1 x + 1 − i x 2 ) {\displaystyle \operatorname {arcsec} x=-i\ln \left(\displaystyle {\frac {1}{x}}+{\sqrt {1-\displaystyle {\frac {i}{x^{2}}}}}\right)\,} ctg θ = i ( e i θ + e − i θ ) e i θ − e − i θ {\displaystyle \operatorname {ctg} \theta ={\frac {i(e^{i\theta }+e^{-i\theta })}{e^{i\theta }-e^{-i\theta }}}\,} arcctg x = i 2 ln ( x − i x + i ) {\displaystyle \operatorname {arcctg} x={\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {x-i}{x+i}}\right)\,}
Числові співвідношення sin 2 ( 18 ∘ ) + sin 2 ( 30 ∘ ) = sin 2 ( 36 ∘ ) , {\displaystyle \sin ^{2}(18^{\circ })+\sin ^{2}(30^{\circ })=\sin ^{2}(36^{\circ }),\,} sin 20 ∘ ⋅ sin 40 ∘ ⋅ sin 80 ∘ = 3 8 , {\displaystyle \sin 20^{\circ }\cdot \sin 40^{\circ }\cdot \sin 80^{\circ }={\frac {\sqrt {3}}{8}},} cos 36 ∘ + cos 108 ∘ = 1 2 , {\displaystyle \cos 36^{\circ }+\cos 108^{\circ }={\frac {1}{2}},} cos 24 ∘ + cos 48 ∘ + cos 96 ∘ + cos 168 ∘ = 1 2 , {\displaystyle \cos 24^{\circ }+\cos 48^{\circ }+\cos 96^{\circ }+\cos 168^{\circ }={\frac {1}{2}},} cos ( 2 π 21 ) + cos ( 2 ⋅ 2 π 21 ) + cos ( 4 ⋅ 2 π 21 ) + cos ( 5 ⋅ 2 π 21 ) + cos ( 8 ⋅ 2 π 21 ) + cos ( 10 ⋅ 2 π 21 ) = 1 2 , {\displaystyle {\begin{aligned}&\cos \left({\frac {2\pi }{21}}\right)+\cos \left(2\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)+\cos \left(4\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)\\[10pt]&{}\qquad {}+\cos \left(5\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)+\cos \left(8\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)+\cos \left(10\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)={\frac {1}{2}},\end{aligned}}} cos 20 ∘ ⋅ cos 40 ∘ ⋅ cos 80 ∘ = 1 8 , {\displaystyle \cos 20^{\circ }\cdot \cos 40^{\circ }\cdot \cos 80^{\circ }={\frac {1}{8}},} ∏ k = 1 n − 1 sin ( k π n ) = n 2 n − 1 , {\displaystyle \prod _{k=1}^{n-1}\sin \left({\frac {k\pi }{n}}\right)={\frac {n}{2^{n-1}}},}
∏ k = 1 n − 1 cos ( k π n ) = sin ( π n / 2 ) 2 n − 1 , {\displaystyle \prod _{k=1}^{n-1}\cos \left({\frac {k\pi }{n}}\right)={\frac {\sin(\pi n/2)}{2^{n-1}}},}
∏ k = 1 n − 1 t g ( k π n ) = n sin ( π n / 2 ) , {\displaystyle \prod _{k=1}^{n-1}\mathrm {tg} \,\left({\frac {k\pi }{n}}\right)={\frac {n}{\sin(\pi n/2)}},}
∏ k = 1 m t g ( k π 2 m + 1 ) = 2 m + 1 , {\displaystyle \prod _{k=1}^{m}\mathrm {tg} \,\left({\frac {k\pi }{2m+1}}\right)={\sqrt {2m+1}},}
∏ k = 1 n sin ( ( 2 k − 1 ) π 4 n ) = ∏ k = 1 n cos ( ( 2 k − 1 ) π 4 n ) = 2 2 n , {\displaystyle \prod _{k=1}^{n}\sin \left({\frac {\left(2k-1\right)\pi }{4n}}\right)=\prod _{k=1}^{n}\cos \left({\frac {\left(2k-1\right)\pi }{4n}}\right)={\frac {\sqrt {2}}{2^{n}}},}
π 4 = 4 a r c t g 1 5 − a r c t g 1 239 , {\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=4\mathrm {arctg} \,{\frac {1}{5}}-\mathrm {arctg} \,{\frac {1}{239}},}
π 4 = 5 a r c t g 1 7 + 2 a r c t g 3 79 . {\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=5\mathrm {arctg} \,{\frac {1}{7}}+2\mathrm {arctg} \,{\frac {3}{79}}.}
Різне sin ( π 4 + α ) = cos ( π 4 − α ) , {\displaystyle \sin \left({\frac {\pi }{4}}+\alpha \right)=\cos \left({\frac {\pi }{4}}-\alpha \right),} sin ( π 4 − α ) = cos ( π 4 + α ) , {\displaystyle \sin \left({\frac {\pi }{4}}-\alpha \right)=\cos \left({\frac {\pi }{4}}+\alpha \right),} t g ( α + β 2 ) = sin α + sin β cos α + cos β = − cos α − cos β sin α − sin β , {\displaystyle \mathrm {tg} \left({\frac {\alpha +\beta }{2}}\right)={\frac {\sin \alpha +\sin \beta }{\cos \alpha +\cos \beta }}=-\,{\frac {\cos \alpha -\cos \beta }{\sin \alpha -\sin \beta }},}
1 ± tg α = 2 sin ( π 4 ± α ) cos α , {\displaystyle 1\pm \operatorname {tg} \alpha ={\frac {{\sqrt {2}}\sin \left(\displaystyle {\frac {\pi }{4}}\pm \alpha \right)}{\cos \alpha }},} 1 ± ctg α = 2 sin ( π 4 ± α ) sin α , {\displaystyle 1\pm \operatorname {ctg} \alpha ={\frac {{\sqrt {2}}\sin \left(\displaystyle {\frac {\pi }{4}}\pm \alpha \right)}{\sin \alpha }},} t g ( α ) + sec ( α ) = tg ( α 2 + π 4 ) . {\displaystyle \mathrm {tg} (\alpha )+\sec(\alpha )=\operatorname {tg} \left({\alpha \over 2}+{\pi \over 4}\right).} c t g ( α ) + tg ( α 2 ) = csc ( α ) , {\displaystyle \mathrm {ctg} (\alpha )+\operatorname {tg} \left({\frac {\alpha }{2}}\right)=\csc(\alpha ),}
tg α = sin 2 α cos 2 α + 1 , {\displaystyle \operatorname {tg} \alpha ={\frac {\sin 2\alpha }{\cos 2\alpha +1}},} tg 5 α = tg α ⋅ tg ( π 5 + α ) ⋅ tg ( π 5 − α ) ⋅ tg ( 2 π 5 + α ) ⋅ tg ( 2 π 5 − α ) . {\displaystyle \operatorname {tg} 5\alpha =\operatorname {tg} \alpha \cdot \operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{5}}+\alpha \right)\cdot \operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{5}}-\alpha \right)\cdot \operatorname {tg} \left({\frac {2\pi }{5}}+\alpha \right)\cdot \operatorname {tg} \left({\frac {2\pi }{5}}-\alpha \right).} tg 7 α = tg α ⋅ tg ( π 7 + α ) ⋅ tg ( π 7 − α ) ⋅ tg ( 2 π 7 + α ) ⋅ tg ( 2 π 7 − α ) ⋅ tg ( 3 π 7 + α ) ⋅ tg ( 3 π 7 − α ) . {\displaystyle \operatorname {tg} 7\alpha =\operatorname {tg} \alpha \cdot \operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{7}}+\alpha \right)\cdot \operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{7}}-\alpha \right)\cdot \operatorname {tg} \left({\frac {2\pi }{7}}+\alpha \right)\cdot \operatorname {tg} \left({\frac {2\pi }{7}}-\alpha \right)\cdot \operatorname {tg} \left({\frac {3\pi }{7}}+\alpha \right)\cdot \operatorname {tg} \left({\frac {3\pi }{7}}-\alpha \right).}
cos ( α ) + 2 cos ( 2 α ) + 3 cos ( 3 α ) + ⋯ = ∑ k = 1 n k cos ( k α ) = n sin ( α 2 ) sin ( ( 2 n + 1 ) α 2 ) − 2 sin 2 ( n α 2 ) 2 sin 2 ( α 2 ) {\displaystyle \cos(\alpha )+2\cos(2\alpha )+3\cos(3\alpha )+\cdots =\sum _{k=1}^{n}k\cos(k\alpha )={\frac {\displaystyle n\sin \left({\frac {\alpha }{2}}\right)\sin \left({\frac {(2n+1)\alpha }{2}}\right)-2\sin ^{2}\left({\frac {n\alpha }{2}}\right)}{\displaystyle 2\sin ^{2}\left({\frac {\alpha }{2}}\right)}}} ∑ k = 1 n 1 2 k tg ( α 2 k ) = 1 2 n ctg ( α 2 n ) − ctg α {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{2^{k}}}\operatorname {tg} \left({\frac {\alpha }{2^{k}}}\right)={\frac {1}{2^{n}}}\operatorname {ctg} \left({\frac {\alpha }{2^{n}}}\right)-\operatorname {ctg} \alpha }
cos ( α ) cos ( α 2 ) ⋅ cos ( α 4 ) ⋯ = ∏ n = 0 ∞ cos ( α 2 n ) = sin 2 α 2 α . {\displaystyle \cos(\alpha )\cos \left({\alpha \over 2}\right)\cdot \cos \left({\alpha \over 4}\right)\cdots =\prod \limits _{n=0}^{\infty }\cos \left({\frac {\alpha }{2^{n}}}\right)={\frac {\sin 2\alpha }{2\alpha }}.} cos ( α 2 ) ⋅ cos ( α 4 ) ⋅ cos ( α 8 ) ⋯ = ∏ n = 1 ∞ cos ( α 2 n ) = sin α α {\displaystyle \cos \left({\alpha \over 2}\right)\cdot \cos \left({\alpha \over 4}\right)\cdot \cos \left({\alpha \over 8}\right)\cdots =\prod _{n=1}^{\infty }\cos \left({\alpha \over 2^{n}}\right)={\sin \alpha \over \alpha }} ∏ k = 0 n cos ( 2 k α ) = sin ( 2 n + 1 α ) 2 n + 1 sin α . {\displaystyle \prod \limits _{k=0}^{n}\cos \left(2^{k}\alpha \right)={\frac {\sin \left(2^{n+1}\alpha \right)}{2^{n+1}\sin \alpha }}.} ∏ k = 0 n cos ( α 2 k ) = sin 2 α 2 n + 1 sin ( α 2 n ) . {\displaystyle \prod \limits _{k=0}^{n}\cos \left({\frac {\alpha }{2^{k}}}\right)={\frac {\sin 2\alpha }{2^{n+1}\sin \left(\displaystyle {\frac {\alpha }{2^{n}}}\right)}}.} ∏ k = 1 n cos ( α 2 k ) = sin α 2 n sin ( α 2 n ) . {\displaystyle \prod \limits _{k=1}^{n}\cos \left({\frac {\alpha }{2^{k}}}\right)={\frac {\sin \alpha }{2^{n}\sin \left(\displaystyle {\frac {\alpha }{2^{n}}}\right)}}.} | sin x | = 1 2 ∏ n = 0 ∞ | tg ( 2 n x ) | 2 n + 1 . {\displaystyle |{\sin x}|={\frac {1}{2}}\prod _{n=0}^{\infty }{\sqrt[{2^{n+1}}]{\left|\operatorname {tg} \left(2^{n}x\right)\right|}}.}
Див. також
Література Абрамовиц М., Стиган И. Справочник по специальным функциям. — Москва : Наука, 1979. — 832 с.Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. — Москва : Физматгиз, 1963. — 1100 с.
радіан
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {tg} (\alpha _{1}+\alpha _{2})&={\frac {e_{1}}{e_{0}-e_{2}}}={\frac {x_{1}+x_{2}}{1\ -\ x_{1}x_{2}}}={\frac {\mathrm {tg} \,\alpha _{1}+\mathrm {tg} \,\alpha _{2}}{1\ -\ \mathrm {tg} \,\alpha _{1}\mathrm {tg} \,\alpha _{2}}},\\[8pt]\mathrm {tg} (\alpha _{1}+\alpha _{2}+\alpha _{3})&={\frac {e_{1}-e_{3}}{e_{0}-e_{2}}}={\frac {(x_{1}+x_{2}+x_{3})\ -\ (x_{1}x_{2}x_{3})}{1\ -\ (x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3})}}={\frac {\mathrm {tg} \,\alpha _{1}+\mathrm {tg} \,\alpha _{2}+\mathrm {tg} \,\alpha _{3}-\mathrm {tg} \,\alpha _{1}\mathrm {tg} \,\alpha _{2}\mathrm {tg} \,\alpha _{3}}{1-(\mathrm {tg} \,\alpha _{1}\,\mathrm {tg} \,\alpha _{2}+\mathrm {tg} \,\alpha _{1}\,\mathrm {tg} \,\alpha _{3}+\mathrm {tg} \,\alpha _{2}\mathrm {tg} \,\alpha _{3})}},\\[8pt]\mathrm {tg} (\alpha _{1}+\alpha _{2}+\alpha _{3}+\alpha _{4})&={\frac {e_{1}-e_{3}}{e_{0}-e_{2}+e_{4}}}\\[8pt]&={\frac {(x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4})\ -\ (x_{1}x_{2}x_{3}+x_{1}x_{2}x_{4}+x_{1}x_{3}x_{4}+x_{2}x_{3}x_{4})}{1\ -\ (x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{1}x_{4}+x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+x_{3}x_{4})\ +\ (x_{1}x_{2}x_{3}x_{4})}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd69d1ff8ccfa0792cad858f1f82df4303a170f3)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sec \left(\sum _{i}^{n}\alpha _{i}\right)&={\frac {\displaystyle \prod _{i}^{n}\sec \alpha _{i}}{e_{0}-e_{2}+e_{4}-\cdots }}={\frac {\displaystyle \prod _{i}^{n}\sec \alpha _{i}}{\displaystyle \sum _{0\leq 2k\leq n}(-1)^{k}e_{2k}}}\\[8pt]\csc \left(\sum _{i}^{n}\alpha _{i}\right)&={\frac {\displaystyle \prod _{i}^{n}\sec \alpha _{i}}{e_{1}-e_{3}+e_{5}-\cdots }}={\frac {\displaystyle \prod _{i}^{n}\sec \alpha _{i}}{\displaystyle \sum _{1\leq 2k+1\leq n}(-1)^{k}e_{2k+1}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3755d2c2b05e1e090654cd6a0d3f8b154d60a062)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sec(\alpha +\beta +\gamma )&={\frac {\sec \alpha \sec \beta \sec \gamma }{1-\mathrm {tg} \,\alpha \,\mathrm {tg} \,\beta -\mathrm {tg} \,\alpha \,\mathrm {tg} \,\gamma -\mathrm {tg} \,\beta \,\mathrm {tg} \,\gamma }},\\[8pt]\csc(\alpha +\beta +\gamma )&={\frac {\sec \alpha \sec \beta \sec \gamma }{\mathrm {tg} \,\alpha +\mathrm {tg} \,\beta +\mathrm {tg} \,\gamma -\mathrm {tg} \,\alpha \,\mathrm {tg} \,\beta \operatorname {tg} \gamma }}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1acbb22bf948da0fd49001113166020cec8b08ae)
![{\displaystyle \left(\cos \alpha +i\sin \alpha \right)^{n}=\sum _{k=0}^{[n/2]}{n \choose 2k}(-1)^{k}(\cos \alpha )^{n-2k}(\sin \alpha )^{2k}+i\left(\sum _{k=0}^{[n/2]}{n \choose 2k+1}(-1)^{k}(\cos \alpha )^{n-2k-1}(\sin \alpha )^{2k+1}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f4cc47393dea77e38c64e271f33cef901aacaec)
![{\displaystyle \sum _{k=0}^{[n/2]}{n \choose 2k}(-1)^{k}(\cos \alpha )^{n-2k}(\sin \alpha )^{2k}+i\left(\sum _{k=0}^{[n/2]}{n \choose 2k+1}(-1)^{k}(\cos \alpha )^{n-2k-1}(\sin \alpha )^{2k+1}\right)=\cos \left(n\alpha \right)+i\sin \left(n\alpha \right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9efefe3a1be4dbd42ab34f70ad9be92e5d9f128a)
![{\displaystyle \sin(n\alpha )=\sum _{k=0}^{[n/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k+1}}\cos ^{n-2k-1}\alpha \,\sin ^{2k+1}\alpha ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d61f5389af257e4d5471a991d3c99bdb058a384e)
![{\displaystyle \cos(n\alpha )=\sum _{k=0}^{[n/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k}}\cos ^{n-2k}\alpha \,\sin ^{2k}\alpha .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4e66e170e7324a2610635ae5bcc18e4a2aa6169)
,
.
— дійсних розв'язків не існує.
— розв'язком є число виду
.
.
.
.
.
.
.
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\cos \left({\frac {2\pi }{21}}\right)+\cos \left(2\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)+\cos \left(4\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)\\[10pt]&{}\qquad {}+\cos \left(5\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)+\cos \left(8\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)+\cos \left(10\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)={\frac {1}{2}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e0fcfb5b496ea4e16dc633f6858a3982ee07feb)
![{\displaystyle |{\sin x}|={\frac {1}{2}}\prod _{n=0}^{\infty }{\sqrt[{2^{n+1}}]{\left|\operatorname {tg} \left(2^{n}x\right)\right|}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c6e91a4c02e66fcf96c2a0a49642bde42fee1f9)