Простий елемент
У комутативній алгебрі термін простий елемент є узагальненням поняття простого числа для довільного комутативного кільця з одиницею.
Визначення
Елемент комутативного кільця з одиницею
називається простим, якщо
не є рівним 0, не є оборотним і якщо для довільних елементів
з того що
ділить добуток
випливає, що
ділить також хоча б один з елементів
або
.
Властивості
- Якщо
є простим елементом і
є оборотним елементом, то добуток
теж є простим елементом.
- Для елемента
породжений ним ідеал
є простим тоді і тільки тоді, коли
є простим елементом.
- Якщо кільце є областю цілісності, то будь-який простий елемент є незвідним:
- Припустимо, що
є простим елементом і існує розклад на добуток елементів
Тоді
або
Нехай
тоді
Оскільки
є областю цілісності то
Тож
є оборотним елементом і
є незвідним.
- Для довільного комутативного кільця це твердження не є правильним (див. приклади).
- Навпаки для області цілісності незвідні елементи можуть не бути простими. Але, наприклад, у факторіальному кільці кожен незвідний елемент є простим і довільний елемент кільця розкладається на добуток простих елементів і цей розклад є єдиним з точністю до перестановки множників і до множень на оборотні елементи.
Приклади
- Оскільки для поля всі ненульові елементи є оборотними, то у полі немає простих елементів.
- Для кільця цілих чисел простими елементами е прості числа (2, 3, 5, 7, 11, …).
- Простими елементами в кільці гаусових чисел
є добуток
і простих чисел виду
, а також числа
, для яких
є простим числом, зокрема
Числа
,
і
не є простими.
- Область цілісності
(множина чисел виду
де
разом із звичайними операціями комплексних чисел) не є факторіальним кільцем і є прикладом області цілісності в якій є незвідні але не прості елементи. Зокрема
проте 2 не ділить жодне з чисел
. В іншому випадку норма числа 2
ділила б норму котрогось з цих чисел. Але
Тож 2 не є простим елементом у цьому кільці. Натомість 2 є незвідним елементом. В іншому разі його необоротний дільник
мав би задовольнять рівність
що неможливо.
- В кільці
що не є областю цілісності елементи 2, 3 є простими але
тож вони не є незвідними.
Див. також
Джерела
- (укр.) Гаврилків В. М. Елементи теорії груп та теорії кілець. — І.-Ф. : Голіней, 2023. — 153 с.
- Курош А. Г. Общая алгебра. — М. : Мир, 1970. — 162 с.(рос.)
- Ленг С. Алгебра. — Москва : Мир, 1968. — 564 с. — ISBN 5458320840.(рос.)
- Бондаренко Є.В. (2012). Теорія кілець: навчальний посібник (PDF). Київ: РВЦ “Київський університет„. с. 64. (укр.)
🔥 Top keywords: Головна сторінкаЧемпіонат Європи з футболу 2024Спеціальна:ПошукВікіпедія:Культурна спадщина та видатні постаті (2024)Збірна України з футболуБріджертониЧемпіонат Європи з футболу 2020YouTubeУкраїнаЧемпіонат Європи з футболуЗбірна Румунії з футболуРебров Сергій СтаніславовичГлобальний саміт мируРадіо «Свобода»ДефолтРумуніяЛунін Андрій ОлексійовичНаціональна суспільна телерадіокомпанія УкраїниДень батькаДовбик Артем ОлександровичШевченко Андрій МиколайовичЯрмоленко Андрій МиколайовичЧемпіонат Європи з футболу 2024 (кваліфікаційний раунд)Мудрик Михайло Петрович138-ма зенітна ракетна бригада (Україна)FacebookЄрмак Андрій БорисовичСексВійськові звання України22-га окрема механізована бригада (Україна)Зінченко Олександр ВолодимировичТериторіальний центр комплектування та соціальної підтримкиДумками навиворіт 2Чемпіонат Європи з футболу 2016Список операторів систем розподілу України2024 у телебаченніMegogoСписок українських жіночих іменКиїв