Принцип Кавальєрі

Обчислимо площу круга. Формулу для довжини кола: ${\displaystyle ~L=2\pi R}$ вважаємо відомою.

Розіб'ємо круг на нескінченно малі кільця. Розглянемо також трикутник з довжиною основи L і висотою R, який також розіб'ємо перерізами паралельно до основи. Кожному кільцю радіуса R і довжини ${\displaystyle ~L=2\pi R}$ можна зіставити один з перерізів трикутника такої ж довжини. Тоді, згідно з принципом Кавальєрі, їх площі однакові. А площу трикутника знайти нескладно:

${\displaystyle 2\pi R\cdot R/2=\pi R^{2}}$ .

Якщо відомо, що об'єм конуса це третина основи на висоту, тоді можна використати принцип Кавальєрі щоб отримати той факт, що об'єм сфери це ${\displaystyle {\frac {4}{3}}\pi r^{3}}$ , де ${\displaystyle r}$ це радіус.

Це робиться так: Розглянемо сферу і циліндр радіусу ${\displaystyle r.}$ Всередині циліндра перебуває конус чия верхівка є в центрі сфери, а основа збігається з основою циліндра. За теоремою Піфагора, площина, розташована ${\displaystyle y}$ одиниць над центром перетинає сферу кругом площі ${\displaystyle \pi \left(r^{2}-y^{2}\right)}$ . Площа перетину площини з частиною циліндра, що зовні конуса також ${\displaystyle \pi \left(r^{2}-y^{2}\right)}$ . Вищезгаданий об'єм конуса є ${\displaystyle {\frac {1}{3}}}$ об'єму циліндра, отже об'єм зовні конуса становить ${\displaystyle {\frac {2}{3}}}$ об'єму циліндра. Отже, об'єм верхньої половини сфери становить ${\displaystyle {\frac {2}{3}}}$ об'єму циліндра. Об'єм циліндра є

${\displaystyle {\text{base}}\times {\text{height}}=\pi r^{2}\cdot r=\pi r^{3}}$

(«Base» в одиницях площі; «height» в одиницях відстані. Площа × відстань = об'єм.)

Звідси, об'єм верхньої півсфери є ${\displaystyle \left({\frac {2}{3}}\right)\pi r^{3}}$ і всієї сфери є ${\displaystyle \left({\frac {4}{3}}\right)\pi r^{3}}$ .

У так званій задачі про серветяне кільце, за допомогою принципа Кавальєрі можна показати, що коли дірка висоти h просвердлена через центр сфери, об'єм матеріалу, що залишився на диво не залежить від розміру сфери. Переріз кільця із площиною є плоским кільцем, чия площа є різницею між площами двох кругів. Згідно з теоремою Піфагора, площа одного з двох кругів становить ${\displaystyle \pi (r^{2}-y^{2}),}$ де ${\displaystyle r}$ це радіус сфери і ${\displaystyle y}$ це відстань від площини екватора до площини розтинання, і площа другого круга є ${\displaystyle \pi (r^{2}-(h/2)^{2}).}$ Віднімаючи, отримуємо, що ${\displaystyle r^{2}}$ скорочуються; отже площа не залежить від ${\displaystyle r.}$

• Weisstein, Eric W. Принцип Кавальєрі(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Інтегрування Кавальєрі [Архівовано 2 червня 2016 у Wayback Machine.] (англ.)