Періодична послідовність

(Чисто) періодична послідовність (з періодом p), або p-періодична послідовність, це послідовність a₁, a₂, a₃, ..., у якій

a_n+p = a_n

для всіх значень n^{[1][2][3][4][5]}. Якщо послідовність розглядати як функцію, областю визначення якої є множина натуральних чисел, то періодична послідовність є просто особливим типом періодичної функції. Найменше значення p, для якого періодична послідовність є p-періодичною, називають її найменшим періодом^[1][6] або точним періодом^[6]. 

Кожна стала функція є 1-періодичною^[4].

Послідовність ${\displaystyle 1,2,1,2,1,2\dots }$ є періодичною з найменшим періодом 2^[2].

Послідовність цифр у десятковому розкладі 1/7 є періодичною з періодом 6:

${\displaystyle {\frac {1}{7}}=0.142857\,142857\,142857\,\ldots }$

Загалом, послідовність цифр у десятковому розкладі будь-якого раціонального числа є періодичною (див. нижче)^[7]. 

Послідовність степенів − 1 є періодичною з періодом два:

${\displaystyle -1,1,-1,1,-1,1,\ldots }$

Загальніше, послідовність степенів будь-якого кореня з одиниці є періодичною. Те саме справедливо для степенів будь-якого елемента скінченного порядку в групі^{[джерело?]}.

Періодична точка для функції f : X → X — точка x, орбіта якої

${\displaystyle x,\,f(x),\,f(f(x)),\,f^{3}(x),\,f^{4}(x),\,\ldots }$

є періодичною послідовністю. Тут, ${\displaystyle f^{n}(x)}$ означає n-разову композицію f, застосовану до x^[6].  Періодичні точки важливі в теорії динамічних систем. Кожна функція від скінченної множини на саму себе має періодичну точку; виявлення циклу — це алгоритмічна задача знаходження такої точки.

${\displaystyle \sum _{n=1}^{kp+m}a_{n}=k*\sum _{n=1}^{p}a_{n}+\sum _{n=1}^{m}a_{n}}$ , де k і m<p — натуральні числа^{[джерело?]}.

${\displaystyle \prod _{n=1}^{kp+m}a_{n}=({\prod _{n=1}^{p}a_{n}})^{k}*\prod _{n=1}^{m}a_{n}}$ , де k і m<p — натуральні числа^{[джерело?]}.

Будь-яку періодичну послідовність можна побудувати поелементним додаванням, відніманням, множенням і діленням періодичних послідовностей, що складаються з нулів і одиниць. Періодичні нульові та одиничні послідовності можна виразити як суми тригонометричних функцій:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{1}\cos(-\pi {\frac {n(k-1)}{1}})/1=1,1,1,1,1,1,1,1,1...}$  — період 1,

${\displaystyle \sum _{k=1}^{2}\cos(2\pi {\frac {n(k-1)}{2}})/2=0,1,0,1,0,1,0,1,0...}$  — період 2,

${\displaystyle \sum _{k=1}^{3}\cos(2\pi {\frac {n(k-1)}{3}})/3=0,0,1,0,0,1,0,0,1,0,0,1,0,0,1...}$  — період 3,

${\displaystyle ...}$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{N}\cos(2\pi {\frac {n(k-1)}{N}})/N=0,0,0...,1}$  — період ${\displaystyle N}$ .

Послідовність є зрештою періодичною, якщо її можна зробити періодичною, відкинувши деяку скінченну кількість початкових членів. Наприклад, послідовність цифр у десятковому розкладі 1/56 є періодичною:

1/56 = 0. 0 1 7  8 5 7 1 4 2  8 5 7 1 4 2  8 5 7 1 4 2  ... ^{[джерело?]}

Послідовність є остаточно періодичною, якщо вона задовольняє умову ${\displaystyle a_{k+r}=a_{k}}$ для деякого r і достатньо великого k^[1].

Послідовність є асимптотично періодичною, якщо її члени наближаються до членів періодичної послідовності. Тобто послідовність x₁, х₂, х₃, ... є асимптотично періодичною, якщо існує періодична послідовність a₁, a₂, a₃, ... для якої

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}-a_{n}=0.}$ ^[4][8][9] 

Наприклад, послідовність

1/3,  2/3,  1/4,  3/4,  1/5,  4/5,  . . .

є асимптотично періодичною, оскільки її члени наближаються до членів періодичної послідовності 0, 1, 0, 1, 0, 1, ....