П'ятикутна антипризма

Багатогранник є неправильним додекаедром.

П'ятикутну антипризму можна також назвати двічі протилежно відсіченим ікосаедром ‒ тілом, утвореним відсіканням двох п'ятикутних пірамід^[en] з протилежних вершин правильного ікосаедра, залишаючи дві несуміжні п'ятикутні грані.

Пов'язаний багатогранник, двічі косо відсічений ікосаедр^[en] — J₆₂ (один з правильногранних багатогранників Джонсона), аналогічно формується з ікосаедра видаленням двох пірамід; але в цьому багатограннику п'ятикутні грані стикаються ребром.

Дві п'ятикутні грані обох тіл (5-антипризми та J₆₂) можна наростити пірамідами з утворенням ікосаедра.

П'ятикутна антипризма належить до підкласу призматоїдів, та є (виродженим) типом кирпатих багатогранників^[en].

Перерізом п'ятикутної антипризми площиною, що проходить перпендикулярно до осі симетрії п'ятого порядку через її центр, є правильний десятикутник.

У всіх формулах нижче:

${\displaystyle \varphi =2\cdot \cos \left({\frac {\pi }{5}}\right)={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\approx 1.618033988749}$ — відношення пропорції «золотого перетину».

(послідовність A001622 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS).

Кількість діагоналей опуклого багатогранника: ${\displaystyle {\binom {B}{2}}-P}$ ,

де В — кількість вершин, Р — кількість ребер багатогранника.

Для п'ятикутної антипризми:

${\displaystyle {\binom {10}{2}}-20={\frac {10}{2}}\cdot {\frac {9}{1}}-20=25}$ діагоналей (10 граневих та 15 просторових).

Діагоналі п'ятикутної антипризми з довжиною ребра ${\displaystyle a}$
	Гранева діагональ	${\displaystyle AB={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\cdot a=\varphi \cdot a}$	≈ 1.6180339887 ${\displaystyle \cdot a}$
	Просторові діагоналі	${\displaystyle AC={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\cdot a=\varphi \cdot a}$	≈ 1.6180339887 ${\displaystyle \cdot a}$
		${\displaystyle AD={\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{2}}}\cdot a={\sqrt {\varphi +2}}\cdot a}$	≈ 1.9021130326 ${\displaystyle \cdot a}$

Кут між діагоналями АВ та АС дорівнює 60°.

Для п'ятикутної антипризми з довжиною ребра ${\displaystyle a}$ :
Радіус описаної сфери (проходить через всі вершини)		${\displaystyle R={\frac {1}{4}}\cdot {\sqrt {4+\csc ^{2}\left({\frac {\pi }{10}}\right)}}\cdot a}$	${\displaystyle R={\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{8}}}\cdot a={\frac {\sqrt {\varphi +2}}{2}}\cdot a}$	${\displaystyle \approx 0.95105651\cdot a}$
Радіус напіввписаної сфери (дотикається до всіх ребер)		${\displaystyle \rho ={\frac {1}{4}}\cdot \csc \left({\frac {\pi }{10}}\right)\cdot a}$	${\displaystyle \rho ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{4}}\cdot a={\frac {\varphi }{2}}\cdot a}$	${\displaystyle \approx 0.80901699\cdot a}$
Радіус сфери r3 та r5 (дотична до всіх трикутних граней та відповідно, п'ятикутних граней в їх центрах)	Вписаної сфери п'ятикутна антипризма не має		${\displaystyle r_{3}={\frac {\sqrt {42+18{\sqrt {5}}}}{12}}\cdot a}$ ${\displaystyle ={\frac {{\sqrt {3}}\cdot \left(3+{\sqrt {5}}\right)}{12}}\cdot a={\frac {\varphi ^{2}}{2{\sqrt {3}}}}\cdot a}$	${\displaystyle \approx 0.7557613\cdot a}$
			${\displaystyle r_{5}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{10}}}\cdot a}$	${\displaystyle \approx 0.4253254\cdot a}$
Висота H (Відстань між протилежними п'ятикутними гранями)		${\displaystyle H={\sqrt {1-{\frac {1}{4}}\cdot \sec ^{2}\left({\frac {\pi }{10}}\right)}}\cdot a}$	${\displaystyle H={\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{10}}}\cdot a}$	${\displaystyle \approx 0.8506508\cdot a}$
Площа поверхні		${\displaystyle S={\frac {1}{2}}\cdot 5\left(\mathrm {ctg} \left({\frac {\pi }{5}}\right)+{\sqrt {3}}\right)a^{2}}$	${\displaystyle S={\frac {1}{2}}\cdot \left(5{\sqrt {3}}+{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}\right)a^{2}}$	${\displaystyle \approx 7.7710818\cdot a^{2}}$
Об'єм		${\displaystyle V={\frac {5\cdot \sin \left({\frac {3\pi }{10}}\right)\cdot {\sqrt {4\cos ^{2}\left({\frac {\pi }{10}}\right)-1}}}{12\sin ^{2}\left({\frac {\pi }{5}}\right)}}\cdot a^{3}}$	${\displaystyle V={\frac {5+2{\sqrt {5}}}{6}}\cdot a^{3}}$	${\displaystyle \approx 1.5786893\cdot a^{3}}$

Центр мас лежить на осі антипризми і рівновіддалений від її основ.

Плоскі кути граней при вершині: 60°, 108°

Сума плоских кутів при кожній вершині дорівнює 288°.

Кути багатогранника
Двогранний кут між гранями {3} та {3}	${\displaystyle \alpha =\arccos \left(-{\frac {\sqrt {5}}{3}}\right)=2\cdot \arctan \left(\varphi ^{2}\right)=\pi -2\arctan \left({\frac {3-{\sqrt {5}}}{2}}\right)}$	≈ 2.4118649973628 рад ≈ 138° 11′ 22.866375197′′
Двогранний кут між гранями {3} та {5}	${\displaystyle \beta =\arccos \left(-{\sqrt {\frac {5-2{\sqrt {5}}}{15}}}\right)}$ ${\displaystyle =\pi -\operatorname {arcsec} \left({\sqrt {15+6{\sqrt {5}}}}\right)}$	≈ 1.7595068575784 рад ≈ 100° 48′ 44.341068858′′
Тілесний кут при вершині	${\displaystyle \Omega =8\arctan \left({\sqrt {6}}-{\sqrt {5}}\right)+4\arctan \left({\sqrt {3\cdot \left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}-{\sqrt {5}}-3\right)}$	${\displaystyle \Omega \thickapprox 2.0595584027}$ ср
Тілесний кут, під яким п'ятикутну грань видно з центру протилежної п'ятикутної грані	${\displaystyle \Omega _{1}=2\pi -10\cdot \arcsin \left({\sqrt {\frac {15-4{\sqrt {5}}}{29}}}\right)}$ ${\displaystyle =2\pi -10\cdot \arctan \left({\sqrt {\frac {5-2{\sqrt {5}}}{2}}}\right)}$	${\displaystyle \Omega _{1}\thickapprox 1.5373694805}$ ср
Сферичність	${\displaystyle \Psi ={\frac {2\cdot {\sqrt[{3}]{5\pi \left(9+4{\sqrt {5}}\right)}}}{5{\sqrt {3}}+{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}}}}$	${\displaystyle \Psi \thickapprox 0.843724042}$

Декартові координати 10-ти вершин п'ятикутної антипризми з довжиною ребра ${\displaystyle a=1}$ можна взяти з координат вершин правильного ікосаедра, видаливши з них дві протилежні вершини:

• ${\displaystyle \left(-{\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{10}}},0,-{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{10}}}\right),}$ ${\displaystyle \left({\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {5+2{\sqrt {5}}}{5}}},\pm {\frac {1}{2}},-{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{10}}}\right),}$ ${\displaystyle \left(-{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{10}}},\pm {\frac {{\sqrt {5}}+1}{4}},-{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{10}}}\right);}$
• ${\displaystyle \left({\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{10}}},0,{\frac {1}{2}}\cdot {\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{10}}}\right),}$ ${\displaystyle \left(-{\frac {1}{2}}\cdot {\sqrt {\frac {5+2{\sqrt {5}}}{5}}},\pm {\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}\cdot {\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{10}}}\right),}$ ${\displaystyle \left({\frac {1}{2}}\cdot {\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{10}}},\pm {\frac {{\sqrt {5}}+1}{4}},{\frac {1}{2}}\cdot {\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{10}}}\right).}$

При цьому вершини лежать в двох паралельних площинах (паралельних до площини Oxy), в кожній з яких розташовані як вершини правильного п'ятикутника.

Початок координат збігається з центром багатогранника, що є його центром напіввписаної та описаної сфер.

Вісь Oz збігається з віссю симетрії 5-го порядку.

Площина Oxz є однією з площин симетрії багатогранника.

Граф п'ятикутної антипризми
5-fold symmetry
Вершин	10
Ребер	20
Радіус	3
Діаметр	3
Обхват	3
Хроматичне число	4
Властивості	Регулярний, планарний , Гамільтонів, Ейлерів, квадратичний, циклічний , вершинно-транзитивний

В теорії графів граф п'ятикутної антипрзми — це граф з 10 вершинами та 20 ребрами, що має кістяк п'ятикутної антипризми.^[2]

Всі 10 вершин графа мають степінь 4, а отже, граф є квадратичним (англ. quartic).

Спектр графа : ${\displaystyle Spec(G)=(-{\sqrt {5}})^{2}\left(-1\right)^{4}0^{1}{\sqrt {5}}^{2}4^{1}}$

Гамільтонів цикл — замкнений шлях, що проходить через кожну вершину графа рівно один раз.

Деякі гамільтонові цикли графа:

Гамільтонів цикл графа 5-антипризми

{1 — 2 — 3 — 4 — 5 — 6 — 7 — 8 ‒ 9 ‒ 10 — 1} {1 — 10 — 2 — 9 — 3 — 8 — 4 — 7 ‒ 5 ‒ 6 — 1} {1 — 10 — 2 — 3 — 9 — 8 — 4 — 7 ‒ 5 ‒ 6 — 1} {1 — 10 — 2 — 9 — 3 — 4 — 8 — 7 ‒ 5 ‒ 6 — 1} {1 — 2 — 3 — 9 — 8 — 7 — 4 — 5 ‒ 6 ‒ 10 — 1}

П'ятикутна антипризма має канонічно-двоїстий багатогранник. Середньовписані сфери канонічно двоїстої пари багатогранників збігаються. Для такого способу побудови — двоїстий багатогранник до двоїстого збігається з початковим. Грань двоїстого будується методом Дормана Люка (метод діє лише для однорідних багатогранників).

Канонічно двоїстим багатогранником до 5-антипризми є п'ятикутний трапецоедр.

Має 10 граней: дельтоїди з гострим кутом ${\displaystyle \alpha ={\frac {\pi }{5}}rad=36^{\circ }}$ та трьома тупими кутами ${\displaystyle \beta ={\frac {3\pi }{5}}rad=108^{\circ }}$  ;

20 ребер, 12 вершин.

Якщо ребро 5-антипризми дорівнює ${\displaystyle a}$ , то ребра двоїстого 5-трапецоедра дорівнюють: Коротке ребро: ${\displaystyle l={\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}\cdot a=(\varphi -1)\cdot a\approx 0.6180339\cdot a}$
Довге ребро: ${\displaystyle L={\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}\cdot a=\varphi \cdot a\approx 1.6180339\cdot a}$

• 
  П'ятикутний трапецоедр
• 
  Розгортка п'ятикутного трапецоедра
• 
  Поєднання 5-антипризми та 5-трапецоедра

П'ятикутна антипризма  — призматоїд, у якого дві паралельні грані (основи) — рівні між собою 5-кутники, а решта 10 граней (бокові грані) — різносторонні трикутники.

Пряма п'ятикутна антипризма — п'ятикутна антипризма, основами якої є рівні між собою (конгруентні) правильні п'ятикутники, а бокові грані — рівнобедрені трикутники.

Правильна п'ятикутна антипризма — пряма п'ятикутна рівностороння антипризма. В цьому багатограннику бокові грані — правильні трикутники і він, власне, і є однорідною п'ятикутною антипризмою.

Нехай ребра основи мають довжину ${\displaystyle a}$ , а ребра бічних граней мають довжину ${\displaystyle l}$ .

Тоді, висота антипризми: ${\displaystyle H={\sqrt {l^{2}-{\frac {5-{\sqrt {5}}}{10}}\cdot a^{2}}}}$

П'ятикутні грані основ повернені одна відносно іншої навколо осі на кут ${\displaystyle {\frac {180^{\circ }}{5}}=36^{\circ }}$ (якщо цей кут має інше значення, багатогранник правильніше називати п'ятикутною скрученою призмою).

Пряма, що сполучає центри основ (вісь антипризми), перпендикулярна до площин основ.

Скручена п'ятикутна призма^{[pentagonal gyroprism]} (за годинниковою стрілкою або проти годинникової стрілки) може мати те саме розташування вершин, що і пряма п'ятикутна антипризма.

Багатогранник можна отримати з прямої п'ятикутної призми шляхом повороту однієї з її основ навколо осі призми на деякий кут ${\displaystyle \varphi \neq {\frac {\pi }{5}}}$ . В цьому випадку бокові грані — рівні між собою різносторонні трикутники.

Якщо кут повороту лежить в інтервалі ${\displaystyle 0<\varphi <{\frac {2\pi }{5}}=72^{\circ }}$  , багатогранник буде опуклим. При ${\displaystyle {\frac {2\pi }{5}}<\varphi <\pi =180^{\circ }}$ , багатогранник буде неопуклим без перетину бокових граней.

Пряма, що сполучає центри основ (вісь антипризми), перпендикулярна до площин основ.^[3].

Схрещена п'ятикутна антипризма — багатогранник, топологічно ідентичний п'ятикутній антипризмі, але його неможливо зробити однорідним ; бічні сторони — рівнобедрені трикутники, а розташування вершин^[en] таке ж, як у п'ятикутної призми.

Багатогранник отримується з прямої призми шляхом повороту однієї з 5-кутної граней навколо осі призми відносно іншої на кут ${\displaystyle \varphi ={\frac {6\pi }{5}}=216^{\circ }}$ . В цьому випадку бокові грані перетинають одна одну.

Його вершинна конфігурація 3.3/2.3.5 , з одним ретроградним трикутником. Він має d_5d симетрію, порядку 10.

П'ятикутна антипризма належить до родини однорідних багатогранників — антипризм і є третім багатогранником в цій родині. До цієї родини також належать тетраедр (вироджена двокутна антипризма), октаедр (трикутна антипризма) та квадратна антипризма.

Родина однорідних n-кутних антипризм

• п
• о
• р

Многогранник												...
Сферична мозаїка												Плоска мозаїка
Конфігурація	2.3.3.3	3.3.3.3	4.3.3.3	5.3.3.3	6.3.3.3	7.3.3.3	8.3.3.3	9.3.3.3	10.3.3.3	11.3.3.3	12.3.3.3	...	∞.3.3.3

П'ятикутну антипризму можна наростити п'ятикутною пірамідою, в результаті утвориться багатогранник Джонсона J₁₁ — скручена подовжена п’ятикутна піраміда^[en] .

Якщо п'ятикутну антипризму з довжиною ребра a наростити двома рівносторонніми п'ятикутними пірамідами (що є багатогранниками Джонсона J₂), — утвориться правильний ікосаедр з довжиною ребра a.

При цьому висота нарощених пірамід дорівнює ${\displaystyle OH={\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{10}}}\cdot a={\frac {1}{\sqrt {\varphi +2}}}\cdot a\approx 0.525731\cdot a}$

Таким чином правильний ікосаедр можна назвати скрученою подовженою п'ятикутною біпірамідою.^[4]

В цьому випадку він має діедричну симетрію 5-Антипризми (D_5d^[en], [2⁺,10], (2*5), порядок 20).

Два однорідних з'єднання багатогранників складаються з п'ятикутних антипризм:

Великий кирпатий додекаедр (з'єднання 6-ти 5-антипризм)	Великий двічі-кирпатий додекаедр (з'єднання 12-ти 5-антипризм)

До п'ятикутної антипризми можуть бути застосовані геометричні операції «зрізання» та «часткове видалення» або «альтернування^[en]» до однієї з форм кирпатих антипризм^[en]:

Кирпаті антипризми

Антипризма A5	Зрізання tA5	Альтернування[en] sY5 = htA5
s{2,10}	ts {2,10}	ss {2,10}
5-антипризма	Зрізана 5-антипризма	Кирпата 5-антипризма
(В:10; Р:20; Г:12)	(В:40; Р:60; Г:22)	(В:20; Р:50; Г:32)

• Призматичний однорідний многогранник

• Weisstein, Eric W. Antiprism(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Pentagonal antiprism(англ.) на сайті Polytope Wiki.
• Pentagonal Antiprism (англ.) на сайті dmccooey.com.
• Klitzing, Richard. "pap".
• Quickfur. "The Pentagonal Antiprism"
• George W. Hart Prism and Antiprism [Архівовано 28 травня 2017 у Wayback Machine.] (англ.)
• PolyhedraMath. A guide to the world of polyhedrons.Prisms and Antiprisms
• Pentagonal Antiprism: Interactive Polyhedron Model
• Paper Models of Polyhedra [Архівовано 26 лютого 2013 у Wayback Machine.]
  • Paper Pentagonal Antiprism
• Virtual Reality Polyhedra: The Encyclopedia of Polyhedra