Ортогональність (математика)
Ортогональність (від грец. ὀρθός — прямий і грец. γωνία — кут) — термін, яким позначають перпендикулярність векторів.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/84/Perpendicular-coloured.svg/220px-Perpendicular-coloured.svg.png)
Визначення
Нехай — прегільбертів простір. Елементи
,
називаються ортогональними, якщо їх скалярний добуток дорівнює 0, тобто
; що позначається
.[1]
Множина векторів називається ортогональною, якщо довільна пара з цієї множини ортогональна. Якщо всі вектори цієї множини одиничні, то вона називається множиною ортнормованих векторів. Не-нульові ортогональні вектори лінійно незалежні.[2]
Якщо для системи векторів простору
визначник Грамма дорівнює 0, то ці вектори лінійно залежні.
В Евклідовому просторі
В 2- або 3- вимірному Евклідовому просторі два вектори ортогональні, якщо скалярний добуток цих векторів дорівнює нулю, тобто кут між ними 90° або π/2 радіан. Таким чином, ортогональність векторів є узагальненням перпендикулярності.
В Евклідових підпросторах ортогональним доповненням прямої є площина, і навпаки.
Ортогональні функції
Дві дійсні функції та
є ортогональними одна щодо одної у інтервалі
якщо
Аналогією до поняття ортогональності є векторна теорія, де (у трьохвимірному випадку) два вектори є ортогональними, коли
У -вимірному просторі вектори ортогональні, якщо
У
-вимірному просторі, у якому
мають неперервний розподіл,
є неперервною змінною
таким чином
переходить у
Поняття функції переводиться таким чином у поняття вектора у
-вимірному просторі. Інтеграл
визначає скалярний добуток у функціональному просторі. У такому просторі скалярний (внутрішній) добуток визначається так само, як й у скінченних векторних просторах, відповідно, таким самим чином можна визначити ортогональність.
Якщо дана похідна, неперервна на відрізку , функції
і необхідно розкласти її по набору лінійно незалежних функцій
для якої існує
то можна усереднено апроксимувати її лінійною сукупністю
Коефіцієнти підібрати важко, якщо набір є ортонормованим. У процесі ортогоналізації функції
замінюється таким самим числом числом нових функцій
які є лінійними комбінаціями попередніх функцій, тобто
Такий алгоритм має назву процесу Грама — Шмідта.
На контурах також можна застосовувати ортогоналізацію. В такому випадку замінюється на
Функція
має вигляд
де
отримується з умови
Маємо
Таким чином, знаходячи перші функцій
приходимо до функції
яка повинна бути лінійною комбінацією цих функцій, а також функції
Відповідно,
- цей вираз можна помножити на
й проінтегрувати отриманий вираз
Умова дає
Щоб послідовно обчислити
можна застосувати рівняння
Або через визначники можна записати
де - Визначник Грама для функції
Функції є лінійно незалежними, якщо визначник дорівнює нулю.
Посилання
Література
- Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2200+ с.(укр.)
Див. також
![]() | Це незавершена стаття з математики. Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її. |