Одностороння границя

Існує кілька рівносильних визначень границі функції в точці — серед них є сформульовані Коші та Гейне.

Нехай ${\displaystyle A\subset \mathbb {R} }$ , причому ${\displaystyle A\neq \emptyset }$ , і ${\displaystyle x_{0}}$  — гранична точка множини ${\displaystyle A}$ . У подальшому будемо розглядати функції ${\displaystyle f:\,A\to \mathbb {R} }$ .

Означення правосторонньої границі

Нехай ${\displaystyle x_{0}}$ така гранична точка множини ${\displaystyle A}$ , що існує ${\displaystyle \gamma >0}$ таке, що ${\displaystyle (x_{0},x_{0}+\gamma )\subset A}$ . Число ${\displaystyle a}$ називається правосторонньою границею функції ${\displaystyle f}$ в точці ${\displaystyle x_{0}}$ , якщо для довільного додатного ${\displaystyle \varepsilon }$ існує додатне число ${\displaystyle \delta }$ таке, що для довільного ${\displaystyle x\in (x_{0},x_{0}+\delta )}$ виконується ${\displaystyle |f(x)-a|<\varepsilon }$ .

Правосторонню границю прийнято позначати наступним чином:

${\displaystyle \lim \limits _{x\to x_{0}+}f(x),\ \ \lim \limits _{x\to x_{0}+0}f(x),\ \ \lim _{x\downarrow x_{0}}f(x),\ \ \lim _{x\searrow x_{0}}f(x);}$

Означення лівосторонньої границі

Нехай ${\displaystyle x_{0}}$ така гранична точка множини ${\displaystyle A}$ , що існує ${\displaystyle \gamma >0}$ таке, що ${\displaystyle (x_{0}-\gamma ,x_{0})\subset A}$ . Число ${\displaystyle a}$ називається лівосторонньою границею функції ${\displaystyle f}$ в точці ${\displaystyle x_{0}}$ , якщо для довільного додатного ${\displaystyle \varepsilon }$ існує додатне число ${\displaystyle \delta }$ таке, що для довільного ${\displaystyle x\in (x_{0}-\delta ,x_{0})}$ виконується ${\displaystyle |f(x)-a|<\varepsilon }$ .

Для лівосторонньої границі прийняті такі позначення:

${\displaystyle \lim \limits _{x\to x_{0}-}f(x),\ \ \lim \limits _{x\to x_{0}-0}f(x),\ \ \lim _{x\uparrow x_{0}}f(x),\ \ \lim _{x\nearrow x_{0}}f(x).}$

Використовуються також наступні скорочення:

• ${\displaystyle f\left(x_{0}+\right)}$ і ${\displaystyle f\left(x_{0}+0\right)}$ для правої границі;
• ${\displaystyle f\left(x_{0}-\right)}$ і ${\displaystyle f\left(x_{0}-0\right)}$ для лівої границі.

Означення правосторонньої границі

Нехай ${\displaystyle x_{0}}$ така гранична точка множини ${\displaystyle A}$ , що існує ${\displaystyle \gamma >0}$ таке, що ${\displaystyle (x_{0},x_{0}+\gamma )\subset A}$ . Число ${\displaystyle p}$ називається правосторонньою границею фунції ${\displaystyle f}$ в точці ${\displaystyle x_{0}}$ , якщо для будь-якої послідовності ${\displaystyle \{a_{n}\}_{n=0}^{+\infty }\subset A}$ , ${\displaystyle a_{n}>x_{0}}$ при ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ , що збігається до числа ${\displaystyle x_{0}}$ , відповідна послідовність значень функції ${\displaystyle \left\{f\left(x_{n}\right)\right\}_{n=1}^{\infty }}$ збіжна і має границею одне і теж саме число ${\displaystyle p}$ .

Означення лівосторонньої границі

Нехай ${\displaystyle x_{0}}$ така гранична точка множини ${\displaystyle A}$ , що існує ${\displaystyle \gamma >0}$ таке, що ${\displaystyle (x_{0}-\gamma ,x_{0})\subset A}$ . Число ${\displaystyle p}$ називається правосторонньою границею фунції ${\displaystyle f}$ в точці ${\displaystyle x_{0}}$ , якщо для будь-якої послідовності ${\displaystyle \{a_{n}\}_{n=0}^{+\infty }\subset A}$ , ${\displaystyle a_{n}<x_{0}}$ при ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ , що збігається до числа ${\displaystyle x_{0}}$ , відповідна послідовність значень функції ${\displaystyle \left\{f\left(x_{n}\right)\right\}_{n=1}^{\infty }}$ збіжна і має границею одне і теж саме число ${\displaystyle p}$ .

Якщо обидві односторонні границі існують в точці ${\displaystyle x_{0}}$ та рівні в ній, то можна показати, що ${\displaystyle \lim \limits _{x\to x_{0}-}f(x)=\lim \limits _{x\to x_{0}+}f(x)=\lim \limits _{x\to x_{0}}f(x)}$ . Якщо односторонні границі існують в точці ${\displaystyle x_{0}}$ , але не рівні, то границі в точці ${\displaystyle x_{0}}$ не існує. Якщо будь-яка одностороння границя не існує, то і границі також не існує.

Приклад 1: Лівою та правою границями функції ${\displaystyle g(x)=-{\frac {1}{x}}}$ при ${\displaystyle x\to 0}$ є

${\displaystyle \lim _{x\to 0-}{-1/x}=+\infty }$ та ${\displaystyle \lim _{x\to 0+}{-1/x}=-\infty .}$

Причина, чому ${\displaystyle \lim _{x\to 0-}{-1/x}=+\infty }$ , в тому, що ${\displaystyle x}$ від'ємний при ${\displaystyle x\to 0-}$ , що в цьому випадку означає, що ${\displaystyle -1/x}$ додатня, тому ${\displaystyle \lim _{x\to 0-}{-1/x}}$ розходиться до ${\displaystyle +\infty }$ .

Аналогічно, ${\displaystyle \lim _{x\to 0+}{-1/x}=-\infty }$ , бо ${\displaystyle x}$ додатній при ${\displaystyle x\to 0+}$ , що в цьому випадку означає, що ${\displaystyle -1/x}$ від'ємна, тому ${\displaystyle \lim _{x\to 0+}{-1/x}}$ розходиться до ${\displaystyle -\infty .}$

Приклад 2: Одним із прикладів функцій з різними односторонніми границями є ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{1+2^{-1/x}}},}$ для якої ліва границя дорівнює ${\displaystyle \lim _{x\to 0-}f(x)=0}$ , а права границя — ${\displaystyle \lim _{x\to 0+}f(x)=1.}$

Використовуючи попередній приклад, отримуємо:

${\displaystyle \lim _{x\to 0-}2^{-1/x}=+\infty }$ та ${\displaystyle \lim _{x\to 0+}2^{-1/x}=0.}$

Тому

${\displaystyle \lim _{x\to 0+}{\frac {1}{1+2^{-1/x}}}={\frac {1}{1+\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}2^{-1/x}}}={\frac {1}{1+0}}=1,}$

а ${\displaystyle \lim _{x\to 0-}{\frac {1}{1+2^{-1/x}}}=0}$ , бо знаменник прямує до нескінченності, тобто ${\displaystyle \lim _{x\to 0-}(1+2^{-1/x})=+\infty .}$

Отже, ${\displaystyle \lim _{x\to 0-}f(x)\neq \lim _{x\to 0+}f(x),}$ а границі ${\displaystyle \lim _{x\to 0}f(x)}$ не існує.

• Границя функції в точці

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2200+ с.(укр.)
• Дороговцев А. Я. Математичний аналіз. Частина 1. — К. : Либідь, 1993. — 320 с. — ISBN 5-325-00380-1.(укр.)