Декілька нотних прикладів письмової нотації обертонів гармонічного ряду звуків указують на існування плутанини у позначенні висот 11-го та 13-го обертонів.
Для надійного письмового запису висот обертонів гармонічного ряду є особливий нотний приклад,[1] який може допомогти:
Дотримання правопису, що дав Мерсен для розподілу октави на 12 недотонов,[2] переконує, що у першому наближенні (без енгармонічних, тобто мікротонових, виправлень) найбільш вірною може вважатися, наприклад, музична нотація Кетлін Шлезінгер[en] :[3]
Harmonic Series in C
Нотація Шлезінгер, продовжена за правописом Мерсена до 32-го обертону з натякаючими на уточнення фіктами над нотами і подвійними номерами під нотами виглядає так:
Відомо, що будь-яка ска́ла, а натуральна особливо, тісно пов'язана з піфагорійськими висотами .[4] [5] [6] Таке порівняння виявляє у множині перших 32-х обертонів фрагмент піфагорійського ланцюжка з 3-х чистих квінт ,[7] утворений чотирма обертонами з номерами 8, 12, 18, 27; і підмножину обертонів піфагорійських висот, що містить не тільки перераховані обертони, але й такі з октавних ланцюжків, де знаходяться ці перераховані. Цей факт наочно демонструє відношення на множині матричної будови, що відбиває висоти нотного прикладу із залученням буквеної нотації Гельмгольца, де приставками θ {\displaystyle \theta } (від грец. Πυθ αγόρας ) відзначені піфагорійські ноти і стрілками ↙ ↗ {\displaystyle \swarrow \!\!\!\!\!\!\nearrow } ― ланцюжок чистих квінт:
{ : : : : θ c 4 [ 32 1 ] ⋔ a 3 [ 27 1 ] θ g 3 [ 24 1 ] ↙ ↗ θ d 3 [ 18 1 ] θ c 3 [ 16 1 ] ↙ ↗ θ g 2 [ 12 1 ] ↙ ↗ θ d 2 [ 9 1 ] θ c 2 [ 8 1 ] θ g 1 [ 6 1 ] θ c 1 [ 4 1 ] θ g [ 3 1 ] θ c [ 2 1 ] Θ C [ 1 1 ] } ⊂ { : θ c 4 [ 32 1 ] θ ↘ − c 3 [ 31 1 ] θ ↘ − b 3 [ 30 1 ] + b e s 3 [ 29 1 ] ↖ θ ↘ − b e s 3 [ 28 1 ] ⋔ a 3 [ 27 1 ] ⋔ ↘ − a 3 [ 26 1 ] θ ↘ − g i s 3 [ 25 1 ] θ g 3 [ 24 1 ] + f i s 3 [ 23 1 ] ↖ θ + f 3 [ 22 1 ] ↖ θ ↘ − f 3 [ 21 1 ] θ ↘ − e 3 [ 20 1 ] + e s 3 [ 19 1 ] ↖ θ θ d 3 [ 18 1 ] θ ↘ − c i s 3 [ 17 1 ] θ c 3 [ 16 1 ] θ ↘ − b 2 [ 15 1 ] θ ↘ − b e s 2 [ 14 1 ] ⋔ ↘ − a 2 [ 13 1 ] θ g 2 [ 12 1 ] + f 2 [ 11 1 ] ↖ θ θ ↘ − e 2 [ 10 1 ] θ d 2 [ 9 1 ] θ c 2 [ 8 1 ] θ ↘ − b e s 1 [ 7 1 ] θ g 1 [ 6 1 ] θ ↘ − e 1 [ 5 1 ] θ c 1 [ 4 1 ] θ g [ 3 1 ] θ c [ 2 1 ] Θ C [ 1 1 ] } . {\displaystyle \left\{{\begin{matrix}:&&:&&:&&:\\\theta c^{4}[{\frac {32}{1}}]\\&&&&&&\pitchfork a^{3}[{\frac {27}{1}}]\\&&\theta g^{3}[{\frac {24}{1}}]&&&\swarrow \!\!\!\!\!\!\nearrow \\&&&&\theta d^{3}[{\frac {18}{1}}]\\\theta c^{3}[{\frac {16}{1}}]&&&\swarrow \!\!\!\!\!\!\nearrow \\&&\theta g^{2}[{\frac {12}{1}}]\\&\swarrow \!\!\!\!\!\!\nearrow &&&\theta d^{2}[{\frac {9}{1}}]\\\theta c^{2}[{\frac {8}{1}}]\\&&\theta g^{1}[{\frac {6}{1}}]\\\theta c^{1}[{\frac {4}{1}}]\\&&\theta g[{\frac {3}{1}}]\\\theta c[{\frac {2}{1}}]\\\Theta C[{\frac {1}{1}}]\end{matrix}}\right\}\subset \left\{{\begin{matrix}:\\\theta c^{4}[{\frac {32}{1}}]~~\theta \!\!\!\!\!\!\searrow _{-c^{3}[{\frac {31}{1}}]}\\\theta \!\!\!\!\!\!\searrow _{-b^{3}[{\frac {30}{1}}]}\\^{+bes^{3}[{\frac {29}{1}}]}\nwarrow \!\!\!\!\!\!\theta \!\!\!\!\!\!\searrow _{-bes^{3}[{\frac {28}{1}}]}\\\pitchfork a^{3}[{\frac {27}{1}}]~~\pitchfork \!\!\!\!\!\searrow _{-a^{3}[{\frac {26}{1}}]}\\\theta \!\!\!\!\!\!\searrow _{-gis^{3}[{\frac {25}{1}}]}\\\theta g^{3}[{\frac {24}{1}}]\\^{+fis^{3}[{\frac {23}{1}}]}\nwarrow \!\!\!\!\!\!\theta \\^{+f^{3}[{\frac {22}{1}}]}\nwarrow \!\!\!\!\!\!\theta \!\!\!\!\!\!\searrow _{-f^{3}[{\frac {21}{1}}]}\\\theta \!\!\!\!\!\!\searrow _{-e^{3}[{\frac {20}{1}}]}\\^{+es^{3}[{\frac {19}{1}}]}\nwarrow \!\!\!\!\!\!\theta \\\theta d^{3}[{\frac {18}{1}}]\\\theta \!\!\!\!\!\!\searrow _{-cis^{3}[{\frac {17}{1}}]}\\\theta c^{3}[{\frac {16}{1}}]\\\theta \!\!\!\!\!\!\searrow _{-b^{2}[{\frac {15}{1}}]}\\\theta \!\!\!\!\!\!\searrow _{-bes^{2}[{\frac {14}{1}}]}\\\pitchfork \!\!\!\!\!\searrow _{-a^{2}[{\frac {13}{1}}]}\\\theta g^{2}[{\frac {12}{1}}]\\^{+f^{2}[{\frac {11}{1}}]}\nwarrow \!\!\!\!\!\!\theta \\\theta \!\!\!\!\!\!\searrow _{-e^{2}[{\frac {10}{1}}]}\\\theta d^{2}[{\frac {9}{1}}]\\\theta c^{2}[{\frac {8}{1}}]\\\theta \!\!\!\!\!\!\searrow _{-bes^{1}[{\frac {7}{1}}]}\\\theta g^{1}[{\frac {6}{1}}]\\\theta \!\!\!\!\!\!\searrow _{-e^{1}[{\frac {5}{1}}]}\\\theta c^{1}[{\frac {4}{1}}]\\\theta g[{\frac {3}{1}}]\\\theta c[{\frac {2}{1}}]\\\Theta C[{\frac {1}{1}}]\end{matrix}}\right\}.}
Підмножина не піфагорійських обертонів, будучи об'єднанням деяких її внутрішніх підмножин, залишається після видалення піфагорійської підмножини з множини усіх обертонів ряду:
{ { . ⋅ θ ↘ − c 3 [ 31 1 ] + b e s 3 [ 29 1 ] ↖ θ θ ↘ − g i s 3 [ 25 1 ] + f i s 3 [ 23 1 ] ↖ θ + e s 3 [ 19 1 ] ↖ θ θ ↘ − c i s 3 [ 17 1 ] } ∪ ⋔ ↘ − a 2 [ 13 1 ] { . ⋅ θ c [ 2 1 ] ~ θ C [ 1 1 ] ~ } ≡ { . ⋅ ⋔ ↘ − a 3 [ 26 1 ] ⋔ ↘ − a 2 [ 13 1 ] } ∪ + f 2 [ 11 1 ] ↖ θ { . ⋅ θ c [ 2 1 ] ~ θ C [ 1 1 ] ~ } ≡ { . ⋅ + f 3 [ 22 1 ] ↖ θ + f 2 [ 11 1 ] ↖ θ } ∪ θ ↘ − b e s 1 [ 7 1 ] { . ⋅ θ c 1 [ 4 1 ] ~ θ g [ 3 1 ] ~ θ c [ 2 1 ] ~ θ C [ 1 1 ] ~ } ∪ θ ↘ − e 1 [ 5 1 ] { . ⋅ θ g 1 [ 6 1 ] ~ θ c 1 [ 4 1 ] ~ θ g [ 3 1 ] ~ θ c [ 2 1 ] ~ θ C [ 1 1 ] ~ } } = { : θ c 4 [ 32 1 ] θ ↘ − c 3 [ 31 1 ] θ ↘ − b 3 [ 30 1 ] + b e s 3 [ 29 1 ] ↖ θ ↘ − b e s 3 [ 28 1 ] ⋔ a 3 [ 27 1 ] ⋔ ↘ − a 3 [ 26 1 ] θ ↘ − g i s 3 [ 25 1 ] θ g 3 [ 24 1 ] + f i s 3 [ 23 1 ] ↖ θ + f 3 [ 22 1 ] ↖ θ ↘ − f 3 [ 21 1 ] θ ↘ − e 3 [ 20 1 ] + e s 3 [ 19 1 ] ↖ θ θ d 3 [ 18 1 ] θ ↘ − c i s 3 [ 17 1 ] θ c 3 [ 16 1 ] θ ↘ − b 2 [ 15 1 ] θ ↘ − b e s 2 [ 14 1 ] ⋔ ↘ − a 2 [ 13 1 ] θ g 2 [ 12 1 ] + f 2 [ 11 1 ] ↖ θ θ ↘ − e 2 [ 10 1 ] θ d 2 [ 9 1 ] θ c 2 [ 8 1 ] θ ↘ − b e s 1 [ 7 1 ] θ g 1 [ 6 1 ] θ ↘ − e 1 [ 5 1 ] θ c 1 [ 4 1 ] θ g [ 3 1 ] θ c [ 2 1 ] Θ C [ 1 1 ] } ∖ { : θ c 4 [ 32 1 ] ⋔ a 3 [ 27 1 ] θ g 3 [ 24 1 ] θ d 3 [ 18 1 ] θ c 3 [ 16 1 ] θ g 2 [ 12 1 ] θ d 2 [ 9 1 ] θ c 2 [ 8 1 ] θ g 1 [ 6 1 ] θ c 1 [ 4 1 ] θ g [ 3 1 ] θ c [ 2 1 ] Θ C [ 1 1 ] } . {\displaystyle \left\{{\begin{matrix}\left\{{\begin{matrix}&&&&&&.\cdot \\&&&&&\theta \!\!\!\!\!\!\searrow _{-c^{3}[{\frac {31}{1}}]}\\&&&&^{+bes^{3}[{\frac {29}{1}}]}\nwarrow \!\!\!\!\!\!\theta \\&&&\theta \!\!\!\!\!\!\searrow _{-gis^{3}[{\frac {25}{1}}]}\\&&^{+fis^{3}[{\frac {23}{1}}]}\nwarrow \!\!\!\!\!\!\theta \\&^{+es^{3}[{\frac {19}{1}}]}\nwarrow \!\!\!\!\!\!\theta \\\theta \!\!\!\!\!\!\searrow _{-cis^{3}[{\frac {17}{1}}]}\\\end{matrix}}\right\}\\\cup \\\pitchfork \!\!\!\!\!\searrow _{-a^{2}[{\frac {13}{1}}]}\left\{{\begin{matrix}&&.\cdot \\&{\widetilde {\theta {c[{\frac {2}{1}}]}}}\\{\widetilde {\theta {C[{\frac {1}{1}}]}}}\\\end{matrix}}\right\}\equiv \left\{{\begin{matrix}&&.\cdot \\&\pitchfork \!\!\!\!\!\searrow _{-a^{3}[{\frac {26}{1}}]}\\\pitchfork \!\!\!\!\!\searrow _{-a^{2}[{\frac {13}{1}}]}\\\end{matrix}}\right\}\\\cup \\^{+f^{2}[{\frac {11}{1}}]}\nwarrow \!\!\!\!\!\!\theta \left\{{\begin{matrix}&&.\cdot \\&{\widetilde {\theta {c[{\frac {2}{1}}]}}}\\{\widetilde {\theta {C[{\frac {1}{1}}]}}}\\\end{matrix}}\right\}\equiv \left\{{\begin{matrix}&&.\cdot \\&^{+f^{3}[{\frac {22}{1}}]}\nwarrow \!\!\!\!\!\!\theta \\^{+f^{2}[{\frac {11}{1}}]}\nwarrow \!\!\!\!\!\!\theta \\\end{matrix}}\right\}\\\cup \\\theta \!\!\!\!\!\!\searrow _{-bes^{1}[{\frac {7}{1}}]}\left\{{\begin{matrix}&&&&.\cdot \\&&&{\widetilde {\theta {c^{1}[{\frac {4}{1}}]}}}\\&&{\widetilde {\theta {g[{\frac {3}{1}}]}}}\\&{\widetilde {\theta {c[{\frac {2}{1}}]}}}\\{\widetilde {\theta {C[{\frac {1}{1}}]}}}\\\end{matrix}}\right\}\\\cup \\\theta \!\!\!\!\!\!\searrow _{-e^{1}[{\frac {5}{1}}]}\left\{{\begin{matrix}&&&&&.\cdot \\&&&&{\widetilde {\theta {g^{1}[{\frac {6}{1}}]}}}\\&&&{\widetilde {\theta {c^{1}[{\frac {4}{1}}]}}}\\&&{\widetilde {\theta {g[{\frac {3}{1}}]}}}\\&{\widetilde {\theta {c[{\frac {2}{1}}]}}}\\{\widetilde {\theta {C[{\frac {1}{1}}]}}}\\\end{matrix}}\right\}\end{matrix}}\right\}=\left\{{\begin{matrix}:\\\theta c^{4}[{\frac {32}{1}}]~~\theta \!\!\!\!\!\!\searrow _{-c^{3}[{\frac {31}{1}}]}\\\theta \!\!\!\!\!\!\searrow _{-b^{3}[{\frac {30}{1}}]}\\^{+bes^{3}[{\frac {29}{1}}]}\nwarrow \!\!\!\!\!\!\theta \!\!\!\!\!\!\searrow _{-bes^{3}[{\frac {28}{1}}]}\\\pitchfork a^{3}[{\frac {27}{1}}]~~\pitchfork \!\!\!\!\!\searrow _{-a^{3}[{\frac {26}{1}}]}\\\theta \!\!\!\!\!\!\searrow _{-gis^{3}[{\frac {25}{1}}]}\\\theta g^{3}[{\frac {24}{1}}]\\^{+fis^{3}[{\frac {23}{1}}]}\nwarrow \!\!\!\!\!\!\theta \\^{+f^{3}[{\frac {22}{1}}]}\nwarrow \!\!\!\!\!\!\theta \!\!\!\!\!\!\searrow _{-f^{3}[{\frac {21}{1}}]}\\\theta \!\!\!\!\!\!\searrow _{-e^{3}[{\frac {20}{1}}]}\\^{+es^{3}[{\frac {19}{1}}]}\nwarrow \!\!\!\!\!\!\theta \\\theta d^{3}[{\frac {18}{1}}]\\\theta \!\!\!\!\!\!\searrow _{-cis^{3}[{\frac {17}{1}}]}\\\theta c^{3}[{\frac {16}{1}}]\\\theta \!\!\!\!\!\!\searrow _{-b^{2}[{\frac {15}{1}}]}\\\theta \!\!\!\!\!\!\searrow _{-bes^{2}[{\frac {14}{1}}]}\\\pitchfork \!\!\!\!\!\searrow _{-a^{2}[{\frac {13}{1}}]}\\\theta g^{2}[{\frac {12}{1}}]\\^{+f^{2}[{\frac {11}{1}}]}\nwarrow \!\!\!\!\!\!\theta \\\theta \!\!\!\!\!\!\searrow _{-e^{2}[{\frac {10}{1}}]}\\\theta d^{2}[{\frac {9}{1}}]\\\theta c^{2}[{\frac {8}{1}}]\\\theta \!\!\!\!\!\!\searrow _{-bes^{1}[{\frac {7}{1}}]}\\\theta g^{1}[{\frac {6}{1}}]\\\theta \!\!\!\!\!\!\searrow _{-e^{1}[{\frac {5}{1}}]}\\\theta c^{1}[{\frac {4}{1}}]\\\theta g[{\frac {3}{1}}]\\\theta c[{\frac {2}{1}}]\\\Theta C[{\frac {1}{1}}]\end{matrix}}\right\}\setminus \left\{{\begin{matrix}:\\\theta c^{4}[{\frac {32}{1}}]\\\pitchfork a^{3}[{\frac {27}{1}}]\\\theta g^{3}[{\frac {24}{1}}]\\\theta d^{3}[{\frac {18}{1}}]\\\theta c^{3}[{\frac {16}{1}}]\\\theta g^{2}[{\frac {12}{1}}]\\\theta d^{2}[{\frac {9}{1}}]\\\theta c^{2}[{\frac {8}{1}}]\\\theta g^{1}[{\frac {6}{1}}]\\\theta c^{1}[{\frac {4}{1}}]\\\theta g[{\frac {3}{1}}]\\\theta c[{\frac {2}{1}}]\\\Theta C[{\frac {1}{1}}]\end{matrix}}\right\}.}
Перекладення на ноти цього вираження теорії множин відповідає партитурі:
= {\displaystyle =}
= {\displaystyle =}
∖ {\displaystyle \setminus }
Якщо не піфагорійські висоти порівнювати з підхожими піфагорійськими, то перші відрізняються від других на невеликі інтервали, звані комами , серед різноманіття яких є одна з найбільш відомих ― синтонічна кома Дідима [8] (подальше позначення Δ ι , {\displaystyle \Delta \iota {,}} ― від грец. Δί δυμος ― для підвищення, та інвертоване ― ι Δ , {\displaystyle \iota \Delta {,}} ― для пониження):
Δ ι , = 1200 ⋅ log 2 ( 81 / 80 ) ≈ + 21 , 51 C [ Cent ] ; ι Δ , = 1200 ⋅ log 2 ( 80 / 81 ) ≈ − 21 , 51 C . {\displaystyle {\begin{array}{lclcl}\Delta \iota {,}&=&1200\cdot \log _{2}(81/80)&\approx &+21{,}51{\cancel {\mbox{C}}}[{\mbox{Cent}}];\\\iota \Delta {,}&=&1200\cdot \log _{2}(80/81)&\approx &-21{,}51{\cancel {\mbox{C}}}.\end{array}}}
Оскільки непіфагорійські висоти e 1 [ 5 ] , e 2 [ 10 ] , b 2 [ 15 ] {\displaystyle e^{1}[5],e^{2}[10],b^{2}[15]} можуть бути отримані з піфагорійськіх θ e 1 [ 81 / 16 ] , θ e 2 [ 81 / 8 ] , θ b 2 [ 243 / 16 ] {\displaystyle \theta e^{1}[81/16],\theta e^{2}[81/8],\theta b^{2}[243/16]} шляхом пониження останніх на ι Δ , [ 80 / 81 ] {\displaystyle \iota \Delta {,}[80/81]} , їх треба нотувати як ι Δ , θ e 1 [ 5 ] ; ι Δ , θ e 2 [ 10 ] ; ι Δ , θ b 2 [ 15 ] {\displaystyle \iota \Delta {,}\theta e^{1}[5];\iota \Delta {,}\theta e^{2}[10];\iota \Delta {,}\theta b^{2}[15]} . Дійсно:
ι Δ , θ b 2 [ 15 ] = ι Δ , θ b 2 [ ( 80 / 81 ) ⋅ ( 243 / 16 ) ≡ ( 80 / 16 ) ⋅ ( 243 / 81 ) ] = b 2 [ 5 ⋅ 3 ≡ 15 ] ; ι Δ , θ e 2 [ 10 ] = ι Δ , θ e 2 [ ( 80 / 81 ) ⋅ ( 81 / 8 ) ≡ ( 80 / 8 ) ⋅ ( 81 / 81 ) ] = e 2 [ 10 ⋅ 1 ≡ 10 ] ; ι Δ , θ e 1 [ 5 ] = ι Δ , θ e 1 [ ( 80 / 81 ) ⋅ ( 81 / 16 ) ≡ ( 80 / 16 ) ⋅ ( 81 / 81 ) ] = e 1 [ 5 ⋅ 1 ≡ 5 ] . {\displaystyle {\begin{array}{rcccl}\iota \Delta {,}\theta b^{2}[15]&=&\iota \Delta {,}\theta b^{2}[(80/81)\cdot (243/16)\equiv (80/16)\cdot (243/81)]&=&b^{2}[5\cdot 3\equiv 15];\\\iota \Delta {,}\theta e^{2}[10]&=&\iota \Delta {,}\theta e^{2}[(80/81)\cdot (81/8)\equiv (80/8)\cdot (81/81)]&=&e^{2}[10\cdot 1\equiv 10];\\\iota \Delta {,}\theta e^{1}[5]&=&\iota \Delta {,}\theta e^{1}[(80/81)\cdot (81/16)\equiv (80/16)\cdot (81/81)]&=&e^{1}[5\cdot 1\equiv 5].\end{array}}}
Для чіткої нотації висот b e s 1 [ 7 ] , b e s 2 [ 14 ] {\displaystyle bes^{1}[7],bes^{2}[14]} потрібна ще одна кома, відома як септимальна кома Архита [9] (подальше позначення A ρ , {\displaystyle \mathrm {A} \rho {,}} ― від грец. Αρ χύτας ― для підвищення, та інвертоване ― ρ A , {\displaystyle \rho \mathrm {A} {,}} ― для пониження):
A ρ , = 1200 ⋅ log 2 ( 64 / 63 ) ≈ + 27 , 26 C ; ρ A , = 1200 ⋅ log 2 ( 63 / 64 ) ≈ − 27 , 26 C . {\displaystyle {\begin{array}{lclcl}{\mbox{A}}\rho {,}&=&1200\cdot \log _{2}(64/63)&\approx &+27{,}26{\cancel {\mbox{C}}};\\\rho {\mbox{A}}{,}&=&1200\cdot \log _{2}(63/64)&\approx &-27{,}26{\cancel {\mbox{C}}}.\end{array}}}
За допомогою префіксів пониження на ρ A , [ 63 / 64 ] {\displaystyle \rho {\mbox{A}}{,}[63/64]} піфагорійських висот θ b e s 1 [ 64 / 9 ] , θ b e s 2 [ 128 / 9 ] {\displaystyle \theta bes^{1}[64/9],\theta bes^{2}[128/9]} нотація чіткого інтонування для b e s 1 [ 7 ] , b e s 2 [ 14 ] {\displaystyle bes^{1}[7],bes^{2}[14]} отримує вигляд ρ A , θ b e s 1 [ 7 ] , ρ A , θ b e s 2 [ 14 ] {\displaystyle \rho {\mbox{A}}{,}\theta bes^{1}[7],\rho {\mbox{A}}{,}\theta bes^{2}[14]} , істинність якого легко перевіряється:
ρ A , θ b e s 2 [ 14 ] = ρ A , θ b e s 2 [ ( 63 / 64 ) ⋅ ( 128 / 9 ) ≡ ( 63 / 9 ) ⋅ ( 128 / 64 ) ] = b e s 2 [ 7 ⋅ 2 ≡ 14 ] ; ρ A , θ b e s 1 [ 7 ] = ρ A , θ b e s 1 [ ( 63 / 64 ) ⋅ ( 64 / 9 ) ≡ ( 63 / 9 ) ⋅ ( 64 / 64 ) ] = b e s 1 [ 7 ⋅ 1 ≡ 7 ] . {\displaystyle {\begin{array}{rcccl}\rho {\mbox{A}}{,}\theta bes^{2}[14]&=&\rho {\mbox{A}}{,}\theta bes^{2}[(63/64)\cdot (128/9)\equiv (63/9)\cdot (128/64)]&=&bes^{2}[7\cdot 2\equiv 14];\\\rho {\mbox{A}}{,}\theta bes^{1}[7]&=&\rho {\mbox{A}}{,}\theta bes^{1}[(63/64)\cdot (64/9)\equiv (63/9)\cdot (64/64)]&=&bes^{1}[7\cdot 1\equiv 7].\end{array}}}
Висоті f 2 [ 11 ] {\displaystyle f^{2}[11]} необхідна ундецімальна кома аль-Фарабі [10] (позначення Φ α , {\displaystyle \Phi \alpha {,}} ― від грец. αλ-Φα ράμπι ― для підвищення, та інвертоване ― α Φ , {\displaystyle \alpha \Phi {,}} ― для пониження):
Φ α , = 1200 ⋅ log 2 ( 33 / 32 ) ≈ + 53 , 27 C ; α Φ , = 1200 ⋅ log 2 ( 32 / 33 ) ≈ − 53 , 27 C . {\displaystyle {\begin{array}{lclcl}\Phi \alpha {,}&=&1200\cdot \log _{2}(33/32)&\approx &+53{,}27{\cancel {\mbox{C}}};\\\alpha \Phi {,}&=&1200\cdot \log _{2}(32/33)&\approx &-53{,}27{\cancel {\mbox{C}}}.\end{array}}}
Префікс підвищення Φ α , [ 33 / 32 ] {\displaystyle \Phi \alpha {,}[33/32]} призводить піфагорійську нотацію θ f 2 [ 32 / 3 ] {\displaystyle \theta f^{2}[32/3]} до виду Φ α , θ f 2 [ 11 ] {\displaystyle \Phi \alpha {,}\theta f^{2}[11]} , який відповідає чіткому інтонуванню f 2 [ 11 ] {\displaystyle f^{2}[11]} :
Φ α , θ f 2 [ 11 ] = Φ α , θ f 2 [ ( 33 / 32 ) ⋅ ( 32 / 3 ) ≡ ( 33 / 3 ) ⋅ ( 32 / 32 ) ] = f 2 [ 11 ⋅ 1 ≡ 11 ] . {\displaystyle {\begin{array}{rcccl}\Phi \alpha {,}\theta f^{2}[11]&=&\Phi \alpha {,}\theta f^{2}[(33/32)\cdot (32/3)\equiv (33/3)\cdot (32/32)]&=&f^{2}[11\cdot 1\equiv 11].\end{array}}}
Ще одній висоті a 2 [ 13 ] {\displaystyle a^{2}[13]} необхідна тридецімальна кома [11] (позначення ρ ι , {\displaystyle \rho \iota {,}} ― від грец. δεκατρί α ― для підвищення, та інвертоване ― ι ρ , {\displaystyle \iota \rho {,}} ― для пониження):
ρ ι , = 1200 ⋅ log 2 ( 27 / 26 ) ≈ + 65 , 34 C ; ι ρ , = 1200 ⋅ log 2 ( 26 / 27 ) ≈ − 65 , 34 C . {\displaystyle {\begin{array}{lclcl}\rho \iota {,}&=&1200\cdot \log _{2}(27/26)&\approx &+65{,}34{\cancel {\mbox{C}}};\\\iota \rho {,}&=&1200\cdot \log _{2}(26/27)&\approx &-65{,}34{\cancel {\mbox{C}}}.\end{array}}}
Пониження θ a 2 [ 27 / 2 ] {\displaystyle \theta a^{2}[27/2]} на ι ρ , {\displaystyle \iota \rho {,}} дає ι ρ , θ a 2 [ 13 ] {\displaystyle \iota \rho {,}\theta a^{2}[13]} , що означає чітке інтонування a 2 [ 13 ] {\displaystyle a^{2}[13]} :
ι ρ , θ a 2 [ 13 ] = ι ρ , θ a 2 [ ( 26 / 27 ) ⋅ ( 27 / 2 ) ≡ ( 26 / 2 ) ⋅ ( 27 / 27 ) ] = a 2 [ 13 ⋅ 1 ≡ 13 ] . {\displaystyle {\begin{array}{rcccl}\iota \rho {,}\theta a^{2}[13]&=&\iota \rho {,}\theta a^{2}[(26/27)\cdot (27/2)\equiv (26/2)\cdot (27/27)]&=&a^{2}[13\cdot 1\equiv 13].\end{array}}}
Треба врахувати, що подвійність існування кратності гармонічної [12] і субгармонічної,[13] а також інтервалів і тонів,[14] [15] відбилася в подвійності нумерації (через косу, рідше звичайну, дробну рису) висот системи чіткої інтонації. Перед (над) рисою пишуть номер висоти в ряду обертонів, а після (знизу) риси ― номер унтертону, від якого цей ряд збудований.[16]
Обертони нотного прикладу Кетлін Шлезінгер пронумеровані натуральними числами, але гармонічний ряд є підсистема чіткої інтонації. Тотожне перенумерування у подвійній манері, з одиницею після риси, явно виразить, що увесь ряд збудований від першого унтертону (збігається з першим обертоном) і кожен номер перед рисою вказує на його приналежність саме до ряду обертонів від загальної основи, тобто від першого унтертону у ряді таких від цієї загальної основи.
Таким чином, якщо для повної визначеності додати ще й позначенням відсутності будь-якої коми χ , {\displaystyle \chi {,}} (від грец. χ ωρίς ), множина перших 16-ти обертонів має вигляд:
{ χ , θ χ , θ χ , θ χ , θ ι Δ , θ χ , θ ρ A , θ χ , θ χ , θ ι Δ , θ Φ α , θ χ , θ ι ρ , θ ρ A , θ ι Δ , θ χ , θ [ 1 / 1 ] C [ 2 / 1 ] c [ 3 / 1 ] g [ 4 / 1 ] c 1 [ 5 / 1 ] e 1 [ 6 / 1 ] g 1 [ 7 / 1 ] b e s 1 [ 8 / 1 ] c 2 [ 9 / 1 ] d 2 [ 10 / 1 ] e 2 [ 11 / 1 ] f 2 [ 12 / 1 ] g 2 [ 13 / 1 ] a 2 [ 14 / 1 ] b e s 2 [ 15 / 1 ] b 2 [ 16 / 1 ] c 3 ⋯ } {\displaystyle \left\{{\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline _{\chi {,}\theta }&_{\chi {,}\theta }&_{\chi {,}\theta }&_{\chi {,}\theta }&_{\iota \Delta {,}\theta }&_{\chi {,}\theta }&_{\rho \mathrm {A} {,}\theta }&_{\chi {,}\theta }&_{\chi {,}\theta }&_{\iota \Delta {,}\theta }&_{\Phi \alpha {,}\theta }&_{\chi {,}\theta }&_{\iota \rho {,}\theta }&_{\rho \mathrm {A} {,}\theta }&_{\iota \Delta {,}\theta }&_{\chi {,}\theta }\\^{~~C}_{[1/1]}&^{~~c}_{[2/1]}&^{~~g}_{[3/1]}&^{~~c^{1}}_{[4/1]}&^{~~e^{1}}_{[5/1]}&^{~~g^{1}}_{[6/1]}&^{~bes^{1}}_{[7/1]}&^{~~c^{2}}_{[8/1]}&^{~~d^{2}}_{[9/1]}&^{~~e^{2}}_{[10/1]}&^{~~f^{2}}_{[11/1]}&^{~~g^{2}}_{[12/1]}&^{~~a^{2}}_{[13/1]}&^{~bes^{2}}_{[14/1]}&^{~~b^{2}}_{[15/1]}&^{~~c^{3}}_{[16/1]}&^{\cdots }\\\hline \end{array}}\right\}}
Суміщення з нотним прикладом показує, що буквені імена йому сповна відповідають. Тому й нотація Кетлін Шлезінгер виділяється з інших відомих як найбільш вірна для застосування до неї енгармонічних фікт (у цьому прикладі вони над нотами), які наказують всі необхідні мікротонові вигини висот для досягнення їх чіткого інтонування.
Гармонічний ряд in C
χ , θ χ , θ χ , θ χ , θ ι Δ , θ χ , θ ρ A , θ χ , θ χ , θ ι Δ , θ Φ α , θ χ , θ ι ρ , θ ⋔ ρ A , θ ι Δ , θ χ , θ {\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|}\hline _{\chi {,}\theta }&_{\chi {,}\theta }&_{\chi {,}\theta }\\\hline \end{array}}~~~~~~~~~~~~{\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline _{\chi {,}\theta }&_{\iota \Delta {,}\theta }&_{\chi {,}\theta }&_{\rho \mathrm {A} {,}\theta }&_{\chi {,}\theta }&_{\chi {,}\theta }&_{\iota \Delta {,}\theta }&_{\Phi \alpha {,}\theta }&_{\chi {,}\theta }&_{\iota \rho {,}\theta }^{~~~\pitchfork }&_{\rho \mathrm {A} {,}\theta }&_{\iota \Delta {,}\theta }&_{\chi {,}\theta }\\\hline \end{array}}}
[ 1 1 ] C [ 2 1 ] c [ 3 1 ] g [ 4 1 ] c 1 [ 5 1 ] e 1 [ 6 1 ] g 1 [ 7 1 ] b e s 1 [ 8 1 ] c 2 [ 9 1 ] d 2 [ 10 1 ] e 2 [ 11 1 ] f 2 [ 12 1 ] g 2 [ 13 1 ] a 2 [ 14 1 ] b e s 2 [ 15 1 ] b 2 [ 16 1 ] c 3 {\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|}\hline ^{~~C}_{\left[{\frac {1}{1}}\right]}&^{~~c}_{\left[{\frac {2}{1}}\right]}&^{~~g}_{\left[{\frac {3}{1}}\right]}\\\hline \end{array}}~~~~~~~~~{\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline ^{~~c^{1}}_{\left[{\frac {4}{1}}\right]}&^{~~e^{1}}_{\left[{\frac {5}{1}}\right]}&^{~~g^{1}}_{\left[{\frac {6}{1}}\right]}&^{bes^{1}}_{\left[{\frac {7}{1}}\right]}&^{~~c^{2}}_{\left[{\frac {8}{1}}\right]}&^{~~d^{2}}_{\left[{\frac {9}{1}}\right]}&^{~~e^{2}}_{\left[{\frac {10}{1}}\right]}&^{~~f^{2}}_{\left[{\frac {11}{1}}\right]}&^{~~g^{2}}_{\left[{\frac {12}{1}}\right]}&^{~~a^{2}}_{\left[{\frac {13}{1}}\right]}&^{~bes^{2}}_{\left[{\frac {14}{1}}\right]}&^{~~b^{2}}_{\left[{\frac {15}{1}}\right]}&^{~~c^{3}}_{\left[{\frac {16}{1}}\right]}\\\hline \end{array}}}
Звертаючи увагу на факт присутності у кожній енгармонічній фікті символу θ {\displaystyle \theta } , вказуючого піфагорійський рівень висоти, слід пам'ятати, що вигин звичайної темперованої висоти, наприклад, до висоти чіткого інтонування треба спочатку виконати до піфагорійського рівня, а потім або таким й залишити, якщо коматичного префікса немає чи є безкоматичний χ , {\displaystyle \chi {,}} префікс, або від піфагорійського рівня виконати ще вигин, вказаний коматичним префіксом.
Значок ⋔ {\displaystyle \pitchfork } над θ {\displaystyle \theta } висоти a 2 {\displaystyle a^{2}} ув'язує її піфагорійський рівень зі стандартною частотою настройки ,[17] що виражає рівність:
θ ⋔ a 2 [ 27 / 2 ] − ( θ P 8 [ 2 / 1 ] ) = θ ⋔ a ( 2 − 1 ≡ 1 ) [ ( 27 / 2 ) ⋅ ( 1 / 2 ) ≡ ( 27 / 4 ) ] = ⋔ a 1 [ 27 / 4 ] [ 440 Hz ] . {\displaystyle {\begin{array}{rcccl}_{\theta }^{\pitchfork }a^{2}[27/2]-(\theta P8[2/1])&=&_{\theta }^{\pitchfork }a^{(2-1\equiv 1)}[(27/2)\cdot (1/2)\equiv (27/4)]&=&{\pitchfork }a^{1}[27/4][440{\mbox{Hz}}].\end{array}}}
--93.76.19.47 15:04, 7 жовтня 2016 (UTC) --93.76.25.29 19:02, 7 жовтня 2016 (UTC) --93.76.25.243 04:54, 8 жовтня 2016 (UTC) --93.76.24.144 07:18, 8 жовтня 2016 (UTC) --37.53.143.174 10:16, 8 жовтня 2016 (UTC)