Незвідний многочлен
Для довільного поля , многочлен з коефіцієнтами в (такі многочлени утворюють кільце ) називається незвідним у полі , якщо він не рівний константі і не дорівнює добутку двох або більше многочленів з , що не є константами. Дана властивість залежить від поля ; многочлен, що є незвідним в одному полі може розкладатися на добуток в іншому.
Кожен многочлен у може бути розкладений в добуток многочленів, що є незвідними в . Цей розклад на множники є однозначно визначеним з точністю до перестановки множників і множення многочленів у розкладі на константи з поля .
Прості приклади
Наступні п'ять многочленів демонструють деякі елементарні властивості незвідних многочленів:
,
,
,
,
.
Над кільцем цілих чисел, перші два многочлени є звідними, останні два є незвідними. (Третій, звичайно, не є многочленом над цілими числами.)
Над полем раціональних чисел, перші три многочлени є звідними, двоє інших — незвідні.
Над полем дійсних чисел, перші чотири многочлени — звідні, але
є незвідним.
Над полем комплексних чисел, всі п'ять многочленів звідні. Фактично, кожен відмінний від константи многочлен
над
може бути розкладений на множники виду:
де — степінь многочлена,
— старший коефіцієнт,
— корені
. Тому єдиними незвідними многочленами над
є лінійні многочлени (основна теорема алгебри).
Дійсні і комплексні числа
Як показано вище, тільки лінійні многочлени є незвідними в полі комплексних чисел. В полі дійсних чисел незвідними є лінійні многочлени і квадратичні многочлени без дійсних коренів . Наприклад розклад многочлена в полі дійсних чисел має вигляд
Обидва множники в даному розкладі є незвідними многочленами.
Скінченні поля
Многочлени з цілочисельними коефіцієнтами, які є незвідними над полем можуть бути звідними над скінченним полем. Наприклад, многочлен
є незвідним над
але над полем
з двох елементів може бути звідним. Наприклад у
, ми маємо:
Незвідність многочлена над цілими числами пов'язана з незвідністю у полі
з
елементів (для простого числа
). А саме, якщо многочлен
над
з старшим коефіцієнтом
є звідним у
тоді він є звідним у
для будь-якого простого числа
. Зворотне твердження невірне.
Див. також
Література
- Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — Москва : Наука, 1975. — 623 с. — ISBN 5-8114-0552-9.(рос.)
- Ленг С. Алгебра. — Москва : Мир, 1968. — 564 с. — ISBN 5458320840.(рос.)
Посилання
- Незвідний многочлен на PlanetMath.(англ.)