Мінімальна поверхня обертання

Мінімальна поверхня обертання є підтипом мінімальної поверхні.^[1] Мінімальна поверхня визначається не як поверхня мінімальної площі, а як поверхня із середньою кривиною^[en] 0.^[2] Оскільки нульова середня кривина є необхідною умовою поверхні мінімальної площі, усі мінімальні поверхні обертання є мінімальними поверхнями, але не всі мінімальні поверхні є мінімальними поверхнями обертання. Оскільки точка утворює коло при обертанні навколо осі, знаходження мінімальної поверхні обертання еквівалентно знаходженню мінімальної поверхні, що проходить через два круглі каркаси.^[1] Фізичною реалізацією мінімальної поверхні обертання є мильна плівка, натягнута між двома паралельними круглими дротами: мильна плівка природним чином приймає форму з найменшою площею поверхні.^[3][4]

Якщо півплощина, яка містить дві точки та вісь обертання, задано у декартовій системі координат, то можна вважати, що вісь обертання — це вісь Ox системи координат, тоді криву, що з'єднує точки, можна інтерпретувати як графік функції. Якщо декартові координати двох заданих точок дорівнюють ${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$ , ${\displaystyle (x_{2},y_{2})}$ , то площа поверхні, породжена невід'ємною диференційовною функцією ${\displaystyle f}$ можна виразити математично як

${\displaystyle 2\pi \int _{x_{1}}^{x_{2}}f(x){\sqrt {1+f'(x)^{2}}}dx}$

і задача знаходження мінімальної поверхні обертання перетворюється на задачу знаходження функції, яка мінімізує цей інтеграл, за умови дотримання крайових умов: ${\displaystyle f(x_{1})=y_{1}}$ та ${\displaystyle f(x_{2})=y_{2}}$ .^[5] В цьому випадку оптимальною кривою обов'язково буде ланцюгова лінія.^[1][5] Вісь обертання є директрисою ланцюгової лінії, і мінімальна поверхня обертання, таким чином, буде катеноїдом.^[1][6][7]

Також можуть бути визначені рішення на основі розривних функцій. Зокрема, для деяких розміщень двох точок оптимальне рішення утворюється розривною функцією, відмінною від нуля у двох точках і дорівнює нулю всюди. Ця функція призводить до поверхні обертання, що складається з двох кругових дисків, по одному для кожної точки, з'єднаних виродженим відрізком лінії вздовж осі обертання. Цей розв'язок відомий як рішення Гольдшмідта^[5][8] на честь німецького математика Карла Гольдшмідта^[en][4], який повідомив про своє відкриття у статті 1831 року «Determinatio superficiei minimae rotatione curvae data duo puncta jungentis circa datum axem ortae» («Визначення кривої мінімального обертання поверхні, заданої двома з'єднаними точками навколо заданої осі початку координат»).^[9]

Щоб продовжити наведену вище фізичну аналогію з мильною плівкою, ці розв'язки Гольдшмідта можна візуалізувати як випадки, коли мильна плівка розривається, коли круглі дроти розтягуються.^[4] Однак у фізичній мильній плівці сегмент сполучної лінії не буде присутній. Крім того, якщо мильна плівка розтягується таким чином, існує діапазон відстаней, у межах якого катеноїд, як розв'язок все ще можливий, але має більшу площу, ніж розв'язок Гольдшмідта, тому мильна плівка може розтягнутися в конфігурацію, у якій площа є локальним мінімум, але не глобальним мінімум. Для відстаней, що перевищують цей діапазон, ланцюгова лінія, яка визначає катеноїд, перетинає вісь x і веде до поверхні, що самоперетинається, тому можливий лише розв'язок Гольдшмідта.^[10]

• «Математика в поняттях, означеннях і термінах», Київ, «Радянська школа», 1986 р. С.?