Мінор матриці
Мінором -го порядку матриці називається визначник матриці, утвореної елементами на перетині стовпців та рядків.
Формальне означення
Нехай — матриця розміру
, в якій вибрано довільні
- рядків з номерами
та
- стовпців з номерами
Елементи, що знаходяться на перетині обраних рядків та стовпців утворюють квадратну матрицю порядку .
Визначник матриці, яка одержується з викреслюванням всіх рядків та стовпців, окрім вибраних, називається мінором
-го порядку, розташованим в рядках з номерами
та стовпцях з номерами
.
Якщо є квадратною матрицею, визначник матриці, яка одержується викреслюванням тільки вибраних рядків та стовпців з матриці
називається доповнювальним мінором до мінору
- де
та
— номери не вибраних рядків і стовпців.
Пов'язані означення
- Мінором
елемента
квадратної матриці
порядку
називається визначник (n-1) порядку, який одержуємо з визначника
n-го порядку шляхом викреслювання і-го рядка та j-го стовпця, на перетині яких знаходиться елемент
- Нехай
— деякий мінор порядку
матриці
. Мінор порядку
матриці називається оточуючим для мінора
, якщо його матриця містить в собі матрицю мінору
. Таким чином, оточуючий мінор для мінора
можна одержати дописуючи до нього один рядок і один стовпчик.
- Базисним мінором ненульової матриці
(існує ненульовий елемент) називається мінор, який не дорівнює нулю, а всі його оточуючі мінори дорівнюють нулю, або їх не існує. Доведення існування базисного мінора: утворимо мінор з єдиного ненульового елемента і будемо рекурсивно шукати ненульові оточуючі мінори аж до найбільшого. В загальному випадку в матриці може існувати багато базисних мінорів. Розмір базисного мінора матриці називається рангом матриці.
- Для
-матриці
мінори виду
, де
і
називаються головними мінорами. Тобто для цих мінорів обираються однакові номери для рядків і стовпців. Головні мінори переважно розглядають для квадратних матриць.
Приклади
- Розглянемо матрицю
розміру
:
— мінор 2-го порядку.
- Загалом для цієї матриці є
мінорів другого порядку.
- Мінор
квадратної матриці
— визначник матриці, отриманий шляхом викреслювання рядка 2 та стовпчика 3:
Властивості
- Для матриці
розміру
існує
різних мінорів порядку
, де
.
- Теорема Лапласа. Нехай
— квадратна матриця розміру
в якій вибрано довільні
рядків. Тоді визначник матриці
рівний сумі всіляких добутків мінорів
-го порядку, розташованих в цих рядках, на їх алгебраїчні доповнення.
- де підсумовування ведеться по всіх номерах стовпців
Число мінорів, по яких береться сума в теоремі Лапласа, рівне числу способів вибрати
стовпців з
, тобто біноміальному коефіцієнту
.
- Оскільки рядки і стовпці матриці рівносильні щодо властивостей визначника, теорему Лапласа можна сформулювати і для стовпців матриці.
- Рядки ненульової матриці
на яких будується її базисний мінор
є лінійно незалежними.
- Всі інші рядки матриці лінійно виражаються через них.
- Нехай
є матрицею розміру
,
є матрицею розміру
і
є їх добутком. Позначатимемо
мінори відповідних матриць. Тоді для мінора
де
і
є номерами рядків, а
— номерами стовпців, якщо
то
В іншому випадку цей мінор одержується через мінори матриць
і
за допомогою формули:
- Дана формула є узагальненням формули Біне — Коші.
- Із попереднього узагальнення формули Біне — Коші випливає, що сума головних мінорів однакового порядку матриць
і
є однаково.
- Характеристичний многочлен
квадратної матриці
можна записати як
, де
позначає суму головних мінорів порядку
матриці
Як наслідок суми головних мінорів однакового порядку двох подібних матриць є рівними. Зокрема єдиним головним мінором максимального порядку є визначник, а сума головних мінорів порядку 1 називається слідом матриці.
Див. також
Джерела
- Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. — Москва : Наука, 1998. — 320 с. — ISBN 5791300158.(рос.)
- Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — 5-е. — М: : Физматлит, 2010. — 559 с. — ISBN 5-9221-0524-8.(рос.)
- С.С.Шестаков, С.І.Доценко. Визначники, матриці та системи лінійних рівнянь[недоступне посилання з липня 2019]. Курс лекцій з алгебри для студентів факультету кібернетики.
🔥 Top keywords: Головна сторінкаЧемпіонат Європи з футболу 2024Спеціальна:ПошукВікіпедія:Культурна спадщина та видатні постаті (2024)Збірна України з футболуБріджертониЧемпіонат Європи з футболу 2020YouTubeУкраїнаЧемпіонат Європи з футболуЗбірна Румунії з футболуРебров Сергій СтаніславовичГлобальний саміт мируРадіо «Свобода»ДефолтРумуніяЛунін Андрій ОлексійовичНаціональна суспільна телерадіокомпанія УкраїниДень батькаДовбик Артем ОлександровичШевченко Андрій МиколайовичЯрмоленко Андрій МиколайовичЧемпіонат Європи з футболу 2024 (кваліфікаційний раунд)Мудрик Михайло Петрович138-ма зенітна ракетна бригада (Україна)FacebookЄрмак Андрій БорисовичСексВійськові звання України22-га окрема механізована бригада (Україна)Зінченко Олександр ВолодимировичТериторіальний центр комплектування та соціальної підтримкиДумками навиворіт 2Чемпіонат Європи з футболу 2016Список операторів систем розподілу України2024 у телебаченніMegogoСписок українських жіночих іменКиїв