Магнітна жорсткість

На заряджену частинку, що рухається в постійному магнітному полі ${\displaystyle \mathbf {B} \ }$ зі швидкістю ${\displaystyle \mathbf {v} \ }$ , діє сила Лоренца (в системі СГС)

${\displaystyle {\mathbf {F} }=(q/c)[\mathbf {v} \times \mathbf {B} ]\ }$ .

За другим законом Ньютона, рівняння руху записуються як

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}(m\mathbf {v} )={\frac {q}{c}}[\mathbf {v} \times \mathbf {B} ],}$

де для релятивістського руху маса частинки визначається через масу спокою ${\displaystyle m_{0}\ }$ як

${\displaystyle m=m_{0}/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}.}$

Сила Лоренца, напрямлена перпендикулярно до вектора швидкості та вектора магнітної індукції, роботи не виконує, тому модуль швидкості частинки та її релятивська маса в постійному магнітному полі не змінюватимуться. Змінюватиметься тільки напрям вектора швидкості, причому паралельна до поля складова швидкості ${\displaystyle \mathbf {v_{y}} ||\mathbf {B} \ }$ залишатиметься сталою, а перпендикулярна складова ${\displaystyle \mathbf {v_{x}} \bot \mathbf {B} \ }$ повертатиметься. Таким чином,

${\displaystyle m{\frac {d\mathbf {v_{x}} }{dt}}={\frac {q}{c}}[\mathbf {v_{x}} \times \mathbf {B} ],}$

де ${\displaystyle {\frac {dv_{x}}{dt}}={\frac {v_{x}^{2}}{R}}}$ буде доцентровим прискоренням. Зважаючи на те, що проєкція імпульсу на площину, перпендикулярну до ${\displaystyle \mathbf {B} \ }$ , дорівнює ${\displaystyle p_{x}=mv_{x}\ }$ , маємо

${\displaystyle {\frac {mv_{x}\cdot v_{x}}{R}}={\frac {q}{c}}v_{x}B\quad \Rightarrow \quad {\frac {p_{x}c}{q}}=BR.}$

Траєкторією частинки буде спіраль з радіусом кривини ${\displaystyle R\ }$ , «накручена» на силову лінію.