Збіжність за мірою

Нехай ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}},\mu )}$  — простір з мірою ${\displaystyle f_{n},f:X\to \mathbb {R} ^{m},\;n=1,2,\ldots }$  — вимірні функції на цьому просторі. Говорять, що послідовність функцій ${\displaystyle \{f_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$ збігається за мірою до функції ${\displaystyle f}$ , якщо: ${\displaystyle \forall \varepsilon >0,\;\lim \limits _{n\to \infty }\mu (\{x\in X\mid \|f_{n}(x)-f(x)\|>\varepsilon \})=0}$ .

Позначення: ${\displaystyle f_{n}{\stackrel {\mu }{\longrightarrow }}f}$ .

Нехай дано імовірнісний простір ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ , з визначеною на ньому послідовністю випадкових величин ${\displaystyle X_{n},X,\;n=1,2,\ldots }$ . Якщо для як завгодно малого ${\displaystyle \varepsilon }$ , ймовірність нерівності ${\displaystyle |X_{n}-X|<\varepsilon }$ зі збільшенням ${\displaystyle n}$ необмежено наближається до нуля, то говорять, що послідовність ${\displaystyle \{X_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$ збігається за ймовірністю до величини ${\displaystyle X}$ .

Тобто,

${\displaystyle \forall \varepsilon >0,\;\lim \limits _{n\to \infty }P(|X_{n}-X|>\varepsilon )=0}$ .

Цю границю можна записати в інший спосіб:

${\displaystyle \forall \varepsilon >0,\;\lim \limits _{n\to \infty }P(|X_{n}-X|<\varepsilon )=1}$ .

Позначення збіжності за ймовірністю: ${\displaystyle X_{n}{\stackrel {P}{\longrightarrow }}X}$ .

Визначення збіжності за мірою (за ймовірністю) може бути узагальнене для відображень (випадкових елементів), що набувають значень у довільному метричному просторі.

• Якщо послідовність функцій ${\displaystyle f_{n}}$ збігається за мірою до ${\displaystyle f}$ , то з неї можна виділити підпослідовність ${\displaystyle f_{n_{k}}}$ , що збігається до ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mu }$  — майже всюди.

• Якщо послідовність функцій ${\displaystyle f_{n}}$ збігається за мірою до ${\displaystyle f}$ , і ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ,\;|f_{n}|\leqslant g}$ , де ${\displaystyle g\in L^{p},\;p\geqslant 1}$ , то ${\displaystyle f_{n},f\in L^{p}}$ , і ${\displaystyle f_{n}}$ збігається до ${\displaystyle f}$ у ${\displaystyle L^{p}}$ .

• Якщо послідовність функцій ${\displaystyle f_{n}}$ збігається ${\displaystyle \mu }$ -майже усюди до ${\displaystyle f}$ , то вона збігається і за мірою. Навпаки, взагалі кажучи, невірно.

• Якщо послідовність функцій ${\displaystyle f_{n}}$ збігається в ${\displaystyle L^{p}}$ до ${\displaystyle f}$ , то вона збігається і за мірою. Навпаки, взагалі кажучи, невірно.

• Якщо послідовність випадкових величин ${\displaystyle X_{n}}$ збігається за ймовірністю до ${\displaystyle X}$ , то вона збігається до ${\displaystyle X}$ і за розподілом.

• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — 4-е изд. — Москва : Наука, 1976. — 544 с. — ISBN 5-9221-0266-4.(рос.)
• Березанский Ю. М., Ус Г. Ф., Шефтель З. Г. Функциональный анализ : курс лекций. — К. : Вища школа, 1990. — 600 с.(рос.)