Задача Бюффона
Задача Бюффона використовується для статистичного обчислення числа Пі. Її запропонував французький учений Бюффон 1777 року.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/f6/Buffon_needle.gif)
Задача
Площина розграфлена паралельними прямими, які розташовані на відстані одна від одної. На площину навмання кидають голку завдовжки
(
). Знайти ймовірність того, що голка перетне одну з прямих.
Розв'язання
Позначимо — відстань від центру голки до найближчої прямої; через
— кут між голкою та прямою (проти годинникової стрілки). Упорядкована пара чисел з одного боку задає на площині точку, що належить прямокутнику
. Тому кидання голки на площину рівносильне киданню голки в прямокутник
. При цьому голка перетинається з прямою тоді і тільки тоді, коли справджується нерівність
. Тобто, якщо голка перетинається з прямою, то точка, що їй відповідає, потрапляє всередину фігури, що обмежена кривою
та віссю
. А оскільки точку кидають навмання, то ймовірність її потрапляння до цієї фігури обчислюється як геометрична ймовірність. Отже, шуканою ймовірністю є:
Обчислення числа Пі
Уявімо що голка кинута на площину n разів, де n — досить велике, і при цьому вона m разів перетнула пряму. Якщо побудована модель адекватно описує експеримент, то при великих n частота числа перетинів має бути близькою до ймовірності, тобто має виконуватись співвідношення , звідки дістанемо:
Див. також
Джерела
- В. М. Турчин (2003). Теорія ймовірностей. Основні поняття, приклади, задачі (укр) . Київ: А.С.К. ISBN 966-319-002-7.
![]() | Це незавершена стаття з математики. Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її. |