Векторний простір

Поняття векторного простору можна спершу пояснити за допомогою двох окремих прикладів:

У першому прикладі векторний простір складається із «стрілок» на площині, що беруть початок із однієї фіксованої точки, що є початком відліку. У фізиці їх використовують аби описати сили або швидкості. Нехай дано дві такі стрілки, v і w, і паралелограм, що утворений двома цими направленими відрізками містить діагональ, що бере початок з тієї ж точки. Ця нова побудована стрілка є сумою двох попередніх стрілок — v + w. В особливому випадку коли стрілки знаходяться на одній прямій, їхньою сумою буде стрілка на цій прямій, довжина якої дорівнювати сумі або різниці довжин, і залежності від того чи мали стрілки однаковий напрям чи ні. Іншою операцією яку можна виконати над стрілками є масштабування: для будь-якого даного додатного дійсного числа a, стрілка що має такий самий напрямок як v, але його довжина збільшена або зменшена множенням на a, називається добутком вектора v на скаляр a. Він позначається як av. Якщо a від'ємне, av результатом буде стрілка, що вказує в протилежному напрямку.

На наступних зображеннях наведено два приклади: якщо a = 2, результуючий вектор aw має спільний напрямок із w, але збільшену вдвічі довжину відносно w (зображення праворуч знизу). Аналогічно, 2w є сумою w + w. Крім того, (−1)v = −v має протилежний напрям і однакову довжину з v (вектор, що вказує вниз і показаний синім на зображенні праворуч).

• 
  Додавання векторів: сума v + w (чорним) векторів v (синім) і w (червоним).
• 
  Скалярний добуток: множення −v і 2w.

У другому ключовому прикладі векторний простір задано парами дійсних чисел x і y. (Важливим є порядок входження компонент x і y, тому така пара ще називається впорядкованою парою.) Записується вона наступним чином — (x, y). Сума двох таких пар і множення пари чисел на число визначатиметься таким чином:

(x₁, y₁) + (x₂, y₂) = (x₁ + x₂, y₁ + y₂)

і

a (x, y) = (ax, ay).

Перший приклад зводиться до даного прикладу, якщо направлені відрізки буде представлено парою декартових координат їх кінцевих точок.

Лінійний простір над полем ${\displaystyle \mathbb {K} }$  — це множина ${\displaystyle L\!}$ елементи якої називаються векторами, у якій визначені:

• бінарна операція ${\displaystyle \ L\times L\to L}$ додавання векторів: ${\displaystyle ({\vec {u}},{\vec {v}})\mapsto {\vec {u}}+{\vec {v}}}$
• унарна операція ${\displaystyle \ K\times L\to L}$ множення вектора на скаляр: ${\displaystyle (\lambda ,{\vec {u}})\mapsto \lambda {\vec {u}}}$

що задовільняють наступну систему аксіом^[1]:

• ${\displaystyle L}$  — комутативна група відносно операції додавання векторів:
  • ${\displaystyle {\vec {u}}+{\vec {v}}={\vec {v}}+{\vec {u}}}$ (комутативність додавання)
  • ${\displaystyle ({\vec {u}}+{\vec {v}})+{\vec {w}}={\vec {u}}+({\vec {v}}+{\vec {w}})}$ (асоціативність додавання)
  • ${\displaystyle \exists {\vec {0}}\in L:\quad {\vec {u}}+{\vec {0}}={\vec {u}}}$ (існування нульового вектора)
  • ${\displaystyle \exists -{\vec {u}}\in L:\quad {\vec {u}}+(-{\vec {u}})={\vec {0}}}$ (існування протилежного вектора)
• асоціативність та унітарність множення на скаляри:
  • ${\displaystyle \lambda (\mu {\vec {u}})=(\lambda \mu ){\vec {u}}}$ (асоціативність множення на скаляри)
  • ${\displaystyle 1\cdot {\vec {u}}={\vec {u}}}$ (де ${\displaystyle \ 1}$ це одиниця поля ${\displaystyle \mathbb {K} }$ )
• дистрибутивність додавання і множення на скаляр:
  • ${\displaystyle (\lambda +\mu ){\vec {u}}=\lambda {\vec {u}}+\mu {\vec {u}}}$
  • ${\displaystyle \lambda ({\vec {u}}+{\vec {v}})=\lambda {\vec {u}}+\lambda {\vec {v}}}$

${\displaystyle \forall {\vec {u}},{\vec {v}},{\vec {w}}\in L}$

${\displaystyle \forall \lambda ,\mu \in \mathbb {K} }$

Найпоширеніші лінійні простори над полем ${\displaystyle \mathbb {R} }$ дійсних чисел або ${\displaystyle \mathbb {C} }$ комплексних чисел.

• Основними поняттями в лінійному просторі є: лінійна незалежність векторів, базис, підпростір.

• Пізніше за векторний простір було введено загальніше поняття модуля над кільцем, у визначенні якого поле ${\displaystyle \mathbb {K} }$ замінено на кільце ${\displaystyle \mathbb {K} }$ . Але в лінійній алгебрі воно не розглядається через проблеми з існуванням базиса.

Векторні простори беруть початок із афінної геометрії після запровадження координат на площині і в тривимірному просторі. Приблизно в 1636, Декарт і Ферма започатковують аналітичну геометрію, коли починають вирішувати рівняння із двома змінними, що є точками на кривій в площині.^[2] В 1804, аби отримати геометричні рішення без використання координат, Больцано запропонував певні операції над точками, прямими і площинами, що були попередниками векторів.^[3] Його роботу згодом використав Мебіус в 1827 при введені поняття барицентричних координат.^[4] В 1828 Мурей^[en] припустив існування алгебри, що перевершує не тільки звичайну алгебру, але також і двовимірну алгебру, яку він створив в пошуках геометричної інтерпретації комплексних чисел.^[5]

Визначення векторів було засновано на понятті пари точок (англ. bipoint) Беллавітіса, що є орієнтованим сегментом, в якому один кінець є початком, а другий ціллю. Згодом його було опрацьовано Арганом і Гамільтоном із представленням у вигляді Комплексних чисел і згодом при введені понять кватерніонів і бікватерніонів.^[6] Вони є елементами у R², R⁴, і R⁸; ставлення до них як до лінійних комбінацій ввів Едмон Лагерр ще у 1867, який також дав визначення системам лінійних рівнянь.

В 1857, Артур Кейлі запропонував матричну нотацію, що дозволяє гармонізувати та спростити лінійні перетворення. Близько в той самий час, Герман Грассман вивчав барицентричні розрахунки, які започаткував Мебіус. Він уявляв множини із абстрактних об'єктів, над якими виконувалися операції.^[7] В його роботі фігурували поняття лінійної незалежності і розмірність, а також скалярний добуток. Першим хто дав сучасне визначення векторному простору і лінійним відображенням в 1888 р. був Джузеппе Пеано.^[8]

Важливим фактором розвитку векторних просторів була побудова Лебегом функціональних просторів. Близько 1920 це поняття формалізували Стефан Банах і Давид Гільберт.^[9] В той час, алгебра почала взаємодіяти із новою областю - функціональним аналізом, зокрема, за допомогою таких ключових понять як простір p-інтегрованих функцій і Гільбертіві простори.^[10] Векторні простори, в тому числі нескінченно-вимірні, стали тоді добре вкоріненим поняттям, і багато галузей математики почали використовувати його.

Різні базиси дозволяють задати вектор за допомогою послідовності скалярів, що називаються координатами або компонентами вектора. Базис це (скінченна або нескінченна) множина B = {b_i}_{i ∈ I} векторів b_i, для зручності вона часто може індексуватися за допомогою деякої множини індексів I, що охоплює весь простір і є лінійно незалежним. Під поширенням на весь простір розуміють, що будь-який вектор v можна задати як скінченну суму (що називається лінійною комбінацією) із базових елементів:

${\displaystyle \mathbf {v} =a_{1}\mathbf {b} _{i_{1}}+a_{2}\mathbf {b} _{i_{2}}+\cdots +a_{n}\mathbf {b} _{i_{n}},}$

(1)

де a_k це скаляри, що називаються координатами (або компонентами) вектора v відповідно до базису B, і b_ik (k = 1, ..., n) елементів із B. Під лінійною незалежністю розуміють, що координати a_k є однозначно визначені для будь-якого вектору у векторному просторі.

Наприклад, вектори координат e₁ = (1, 0, ..., 0), e₂ = (0, 1, 0, ..., 0), до e_n = (0, 0, ..., 0, 1), утворюють базис із Fⁿ, що називається стандартним базисом, оскільки будь-який вектор (x₁, x₂, ..., x_n) може бути унікально представлений як лінійна комбінація цих векторів:

(x₁, x₂, ..., x_n) = x₁(1, 0, ..., 0) + x₂(0, 1, 0, ..., 0) + ... + x_n(0, ..., 0, 1) = x₁e₁ + x₂e₂ + ... + x_ne_n.

Відповідні координати x₁, x₂, ..., x_n є декартовими координатами вектора.

Кожен векторний простір має базис. Це випливає із леми Цорна, що є еквівалентним формулюванням Аксіоми вибору.^[11] У інші аксіомах із теорії множин Цермело — Френкеля, існування базису також еквівалентне аксіомі вибору.^[12] лема про ультрафільтр, що є слабшою за аксіому вибору, покладається на те, що всі вектори векторного простору мають однакову кількість елементів, або потужність (див. Теорема про вимір векторних просторів^[en]).^[13] Це називають розмірністю векторного простору. Якщо простір складається із нескінченної множини векторів, вищезгадане твердження можливо довести без настільки фундаментального введення в теорію множин.^[14]

Співвідношення двох векторних просторів можна задати за допомогою лінійного відображення або лінійного перетворення. Це такі функції, які відображають структуру векторного простору — тобто, вони зберігають суми і скалярний добуток:

f(x + y) = f(x) + f(y) і f(a · x) = a · f(x) для всіх x і y в V, всіх a в F.^[15]

Ізоморфізм — лінійне відображення f : V → W для якого існує обернене відображення g : W → V, що є таким відображенням, для якого дві можливі композиції f ∘ g : W → W і g ∘ f : V → V є тотожними відображеннями. Відповідно, f буде одночасно ін'єкцією і сюр'єкцією.^[16] Якщо існує ізоморфізм між V і W, ці два простори називають ізоморфними; тоді по суті як векторні простори вони будуть ідентичними, оскільки всі тотожності, що виконуються для V за допомогою f, перетворюються на подібні в W, і навпаки, за допомогою g.

Наприклад, якщо векторні простори «направлених відрізків на площині» і «впорядкованих пар чисел» є ізоморфними: направлений відрізок v на площині, що виходить із початку координат деякої (фіксованої) системи координат можна задати за допомогою впорядкованої пари x- і y-компонент, як показано на малюнку праворуч. І навпаки, для даної пари (x, y), напрям відрізку праворуч (або ліворуч, якщо x є від'ємним) буде задавати значення x , а y — вгору (вниз, якщо y є від'ємним), що дозволяє повернутися назад до направленого відрізку v.

Матриці є зручною нотацію, для описання лінійних відображень.^[17] Вони записуються у вигляді впорядкованого прямокутного масиву скалярів як показано на малюнку праворуч. Будь-яка матриця A розміром m-на-n збільшує лінійне відображення із Fⁿ до F^m, наступним чином

${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})\mapsto \left(\sum _{j=1}^{n}a_{1j}x_{j},\sum _{j=1}^{n}a_{2j}x_{j},\cdots ,\sum _{j=1}^{n}a_{mj}x_{j}\right)}$ , де ${\displaystyle \sum }$ позначає суму, або, використовуючи матричне множення матриці A на вектор координат x:

x ↦ Ax.

Крім того, якщо обрати базиси для V і W, будь-яке лінійне відображення f : V → W однозначно можна задати за допомогою цього рівняння.^[18]

Детермінант det (A) квадратної матриці A є скаляром, який вказує чи є це відображення ізоморфізмом чи ні: аби це було так достатньо і необхідно аби детермінант не дорівнював нулю.^[19] Лінійне перетворення Rⁿ, що відповідає дійсній матриці n-на-n зберігає орієнтацію тоді і лише тоді, коли детермінант є додатнім.

• Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. — Москва : Наука, 1998. — 320 с. — ISBN 5791300158.(рос.)
• Мальцев А. И. Основы линейной алгебры. — 3-е изд. — Новосибирск : Наука, 1970. — 400 с.(рос.)