Алгебраїчні числа
Алгебраїчні числа, також алгебричні числа, — підмножина комплексних чисел, кожне з яких є коренем хоча б одного многочлена певного степеня з раціональними коефіцієнтами. Тобто число є алгебраїчним, якщо існує многочлен
- ,
де і .
У цьому визначенні можна було вимагати, щоб коефіцієнти многочлена були цілими числами. Числа, що не є алгебраїчними, називаються трансцендентними.
Якщо число є коренем многочлена зі старшим коефіцієнтом рівним одиниці, то це число називається цілим алгебраїчним числом.
Приклади
- Всі раціональні числа є алгебраїчними: число
є, наприклад, коренем рівняння
.
- Уявна одиниця, число
є алгебраїчним, як корінь рівняння
.
- Числа e, π, eπ є трансцендентними. Статус числа πe невідомий.
- Якщо
— алгебраїчні числа, тоді
— трансцендентне число.
- Числа
і
є алгебраїчними (кути в градусах).
- Цей факт випливає з тригонометричної рівності:
- Тому якщо визначити послідовність многочленів:
- то
Звідси одержуємо:
тобто
є коренем многочлена
що й доводить твердження.
- Для
достатньо зазначити, що всі степені
в
є парними і що
.
Мінімальний многочлен
Якщо — алгебраїчне число, то серед всіх многочленів з раціональними коефіцієнтами, для яких
є коренем, існує єдиний многочлен найменшого степеня із старшим коефіцієнтом, рівним
. Такий многочлен є незвідним, він називається мінімальним многочленом алгебраїчного числа
.
- Степінь мінімального многочлена
називається степенем алгебраїчного числа
.
- Інші корені мінімального многочлена
називаються спряженими до
.
- Висотою алгебраїчного числа
називається найбільша з абсолютних величин коефіцієнтів в незвідному і примітивному многочлені з цілими коефіцієнтами, для якого
є коренем.
Мінімальний многолен числа має коефіцієнти цілі числа тоді і тільки тоді, коли
— ціле алгебраїчне число.
Приклади
- Раціональні числа, і лише вони, є алгебраїчними числами 1-го степеня.
- Уявна одиниця
так само як
є алгебраїчними числами 2-го степеня. Спряженими до цих чисел є відповідно
та
.
- При будь-якому натуральному
,
є алгебраїчним числом
-го степеня.
Поле алгебраїчних чисел
Однією з найважливіших властивостей алгебраїчних чисел є той факт, що вони утворюють поле, тобто якщо і
— алгебраїчні числа то їх обернені елементи
і
, а також сума
і добуток
також є алгебраїчними числами.
Доведення
- Спершу доведемо алгебраїчність
. Якщо
— многочлен з цілими коефіцієнтами для якого
є коренем, то
буде коренем многочлена
. Тобто
— алгебраїчне число.
- Якщо
— корінь многочлена
, то
є коренем многочлена
, отже
теж є алгебраїчним числом.
- Доведемо тепер алгебраїчність
. Припустимо α є коренем многочлена
і
є коренем многочлена
. Нехай
— всі корені
(враховуючи їх кратність, так що степінь
рівний
) і нехай
— всі корені
. Розглянемо многочлен:
.
- Множина
є комутативним кільцем. З теореми Вієта випливає, що коефіцієнти
є симетричними многочленами від чисел
. Тому якщо,
— елементарні симетричні многочлени від
і
— деякий коефіцієнт (при
) многочлена
, тоді з фундаментальної теореми про симетричні многочлени випливає, що
для деякого многочлена
з цілими коефіцієнтами. Проте коефіцієнти
також є симетричними многочленами від чисел
. Нехай
і
— елементарні симетричні многочлени від
тому з фундаментальної теореми про симетричні многочлени
для деякого многочлена
з цілими коефіцієнтами. З теореми Вієта випливає, що всі
є раціональними і тому раціональним є також коефіцієнт
. Тому
і оскільки
є коренем
це число є алгебраїчним.
- Алгебраїчність числа
доводиться аналогічно до випадку
, розглядаючи многочлен:
.
Властивості
- Множина алгебраїчних чисел є зліченною (Теорема Кантора).
- Множина алгебраїчних чисел є щільною в комплексній площині.
- Корінь многочлена коефіцієнтами якого є алгебраїчні числа, теж є алгебраїчним числом, тобто поле алгебраїчних чисел є алгебраїчно замкнутим.
- Для довільного алгебраїчного числа
існує таке натуральне
, що
— ціле алгебраїчне число.
- Алгебраїчне число
степеня
має
різних спряжених чисел (включаючи саме число
).
і
спряжені тоді і тільки тоді, коли існує автоморфізм поля
, що переводить
у
.
- В певному розумінні алгебраїчні числа, що не є раціональними не можуть бути достатньо добре наближені раціональними числами. Два результати, що прояснюють суть цього твердження
- Теорема Ліувіля: якщо
є коренем многочлена
степінь якого рівний
, тоді існує число
залежне від
, що
- Теорема Ліувіля: якщо
, для довільного раціонального числа
.
- Теорема Туе — Зігеля — Рота: якщо
є алгебраїчним числом, тоді для довільного
існує лише скінченна кількість пар цілих чисел
де
для яких:
- Теорема Туе — Зігеля — Рота: якщо
Див. також
Посилання
- Нестеренко Ю.В. Лекции об алгебраических числах[недоступне посилання з лютого 2019] // Конспект курсу лекцій.
- M. Filaseta Algebraic number theory. Instructors notes
Література
- Айерлэнд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию чисел. — Москва : Мир, 1987. — 416 с.(рос.)
- Алгебраическая теория чисел / Под ред. Касселса Дж., Фрелиха А. — М., 1969.
- Боревич 3. И.. И. Г. Шафаревич. Теория чисел. — М., 1985.
- Вейль Г. Алгебраическая теория чисел. — М., 1947.
- Гекке Э. Лекции по теории алгебраических чисел. М.:Л., 1940.
- Дринфельд Г.И. Трансцендентность чисел пи и е, — Харків, — 1952
- Ленг С, Алгебраические числа, пер. с англ., М., 1966.
- Ireland, Kenneth; Rosen, Michael (1990), A Classical Introduction to Modern Number Theory, Graduate Texts in Mathematics, 84 (Second ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 0-387-97329-X